高三數(shù)列公開課老師講義

1、第2講 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和【2014年高考會(huì)這樣考】1考查運(yùn)用基本量法求解等差數(shù)列的基本量問題2考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式及綜合應(yīng)用【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1掌握等差數(shù)列的定義與性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等2掌握等差數(shù)列的判斷方法，等差數(shù)列求和的方法基礎(chǔ)梳理1等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為ana1(n1)d.3等差中項(xiàng)如果A，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)4等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)

2、d(n，mN*)(2)若an為等差數(shù)列，且mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列(4)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數(shù)列(5)S2n1(2n1)an.(6)若n為偶數(shù)，則S偶S奇；若n為奇數(shù)，則S奇S偶a中(中間項(xiàng))1 / 115等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式若已知首項(xiàng)a1和末項(xiàng)an，則Sn，或等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其前n項(xiàng)和公式為Snna1d.6等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Snn2n，數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件是SnAn2Bn(A，B為常數(shù))7最值問題在等

3、差數(shù)列an中，a10，d0，則Sn存在最大值，若a10，d0，則Sn存在最小值 一個(gè)推導(dǎo)利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sna1a2a3an，Snanan1a1，得：Sn. 兩個(gè)技巧已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題，要善于設(shè)元(1)若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為，a3d，ad，ad，a3d，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元四種方法等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法：對(duì)于n2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證anan1為同一常數(shù)；(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an1anan2(n3，nN*)都成立；(3)通

4、項(xiàng)公式法：驗(yàn)證anpnq；(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證SnAn2Bn.注 后兩種方法只能用來(lái)判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來(lái)證明等差數(shù)列雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)已知an為等差數(shù)列，a2a812，則a5等于( ) A4 B5 C6 D7解析 a2a82a5，a56.答案 C2設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a62且S530，則S8等于( )A31 B32 C33 D34解析 由已知可得解得S88a1d32.答案 B3(2011江西)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：SnSmSnm，且a11.那么a10( )A1 B9 C10 D55解析 由SnSmSnm，得S1S9S10a10S1

5、0S9S1a11.答案 A4(2012杭州質(zhì)檢)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a23，a611，則S7等于( )A13 B35 C49 D63解析 a1a7a2a631114，S749.答案 C5在等差數(shù)列an中，a37，a5a26，則a6_.解析 設(shè)公差為d.則a5a23d6，a6a33d7613.答案 13 考向一 等差數(shù)列基本量的計(jì)算【例1】(2011福建)在等差數(shù)列an中，a11，a33.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an的前k項(xiàng)和Sk35，求k的值審題視點(diǎn) 第(1)問，求公差d；第(2)問，由(1)求Sn，列方程可求k.解 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則ana1(

6、n1)d.由a11，a33可得12d3.解得d2.從而，an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n.所以Sn2nn2.進(jìn)而由Sk35可得2kk235.即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7為所求 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量，知三可求二，如果已知兩個(gè)條件，就可以列出方程組解之如果利用等差數(shù)列的性質(zhì)、幾何意義去考慮也可以體現(xiàn)了用方程思想解決問題的方法考向二 等差數(shù)列的判定或證明【例2】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且滿足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求an的表達(dá)式審題視點(diǎn) (1)化簡(jiǎn)所給式子，然后利用定義證明(2)根據(jù)

7、Sn與an之間關(guān)系求an.(1)證明 anSnSn1(n2)，又an2SnSn1，Sn1Sn2SnSn1，Sn0，2(n2)由等差數(shù)列的定義知是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列(2)解 由(1)知(n1)d2(n1)22n，Sn.當(dāng)n2時(shí)，有an2SnSn1，又a1，不適合上式，an 等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項(xiàng)法，而對(duì)于通項(xiàng)公式法和前n項(xiàng)和公式法主要適合在選擇題中簡(jiǎn)單判斷【訓(xùn)練2】 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn是n的二次函數(shù)，且a12，a22，S36.(1)求Sn；(2)證明：數(shù)列an是等差數(shù)列(1)解 設(shè)SnAn2BnC(A0)，則解得：A2，B4，C0.Sn2n24n.(2)證

8、明 當(dāng)n1時(shí)，a1S12.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n24n2(n1)24(n1)4n6.an4n6(nN*)當(dāng)n1時(shí)符合上式，故an4n6，an1an4，數(shù)列an成等差數(shù)列考向三 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值【例3】設(shè)等差數(shù)列an滿足a35，a109.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求an的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號(hào)n的值審題視點(diǎn) 第(1)問：列方程組求a1與d；第(2)問：由(1)寫出前n項(xiàng)和公式，利用函數(shù)思想解決解 (1)由ana1(n1)d及a35，a109得可解得數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an112n.(2)由(1)知，Snna1d10nn2.因?yàn)镾n(n5)225，所以當(dāng)n5時(shí)，Sn取得最

9、大值 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值(2)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和SnAn2Bn(A、B為常數(shù))為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值【訓(xùn)練3】 在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項(xiàng)和為Sn，且S10S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值解 法一 a120，S10S15，1020d1520d，d.an20(n1)n.a130.即當(dāng)n12時(shí)，an0，n14時(shí)，an0.當(dāng)n12或13時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為S12S131220130.考向四 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【例4】設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，已知前

10、6項(xiàng)和為36，Sn324，最后6項(xiàng)的和為180(n6)，求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n.審題視點(diǎn) 在等差數(shù)列 an中，若mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)用此性質(zhì)可優(yōu)化解題過(guò)程解 由題意可知a1a2a636anan1an2an5180得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216.a1an36.又Sn324，18n324.n18. 本題的解題關(guān)鍵是將性質(zhì)mnpqamanapaq與前n項(xiàng)和公式Sn結(jié)合在一起，采用整體思想，簡(jiǎn)化解題過(guò)程【訓(xùn)練4】 (1)設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a17，且滿足an1an2(nN)，則a1a2a17_.(2)等差數(shù)列an中，a1a2a324，a18a19a2078，則此數(shù)列前20