清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用課件

1、2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用1作業(yè)作業(yè)P201 習(xí)題習(xí)題7.1 1(5) 2. 8(2). 預(yù)習(xí)預(yù)習(xí): P211218P210 習(xí)題習(xí)題7.2 11(1). 15(1) P218 綜合題綜合題 5. P113 習(xí)題習(xí)題4.3 15(2). 2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用2 第十九講第十九講 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用（一）（一）二、幾何應(yīng)用二、幾何應(yīng)用一、微元分析法一、微元分析法2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用3.,)1(baxA的的某某個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間自自變變量量依依賴賴于于不不均均勻勻變變化化的的整整體體量量 niiAA1,.)2( 即

2、即具具有有可可加加性性iiiixfAA )()3(求求得得近近似似值值可可“以以不不變變代代變變”部部分分量量可以應(yīng)用定積分計(jì)算的量有如下特點(diǎn)可以應(yīng)用定積分計(jì)算的量有如下特點(diǎn):一、微元分析法一、微元分析法2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用4x)(xAxx A xyab)(xfy o xadttfxA)()(dxxfAd)( )()(xfxA ,)(baCxf dxxfAdA)( )0()()( xxodxxfA 關(guān)鍵是關(guān)鍵是部分量部分量的近似的近似)()(bAdttfba 2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用5局局部部量量的的近近似似值值寫寫出出“不不變變代代變變

3、”的的小小區(qū)區(qū)間間取取具具有有代代表表性性第第一一步步：分分割割區(qū)區(qū)間間,xxxba xxfA )(得得定定積積分分就就是是整整體體量量無無限限積積累累上上微微元元在在區(qū)區(qū)間間第第二二步步：令令, 0bax badxxfA)(微分近似微分近似)()(xxxfA 要要求求：微元分析法微元分析法2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用6二、二、幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用（一）平面圖形的面積（一）平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算直角坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算Axfyxbxax所所圍圍曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積曲曲線線軸軸和和連連續(xù)續(xù)及及由由直直線線)(,)1( 根據(jù)定積分的定義和

4、幾何意義知根據(jù)定積分的定義和幾何意義知 badxxfA)(2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用7,)()(,baxxfxg 先先看看Abxaxxgyxfy所所圍圍成成的的面面積積和和直直線線由由曲曲線線 ,)(),()2( badxxgxfA)()(面積微元面積微元xdxx dxxgxfdA)()( badxxgxfA)()(xabyo)(xfy )(xgy 2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用8xyxy 1 xy2 xo21)1, 1(.2,11Axxyxy所所圍圍成成的的面面積積及及直直線線求求由由曲曲線線例例 xyyx1解解方方程程組組 1121xx解解 21

5、)1(dxxxA2ln23)ln2(|212 xx2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用9滿滿足足設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(),(yy ,)()(0dcyyy Adycyyxyx所所圍圍成成的的面面積積和和直直線線求求由由曲曲線線 ,),(),( 面面積積公公式式： dcdyyyA)()( x)(yx cd)(yx yoydyy 2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用10.1,5222Ayxyx的的面面積積所所圍圍成成求求由由曲曲線線例例 2215yxyx 212121yy解解方方程程組組解解oxy21yx 25yx 210221)51(22dyyyAA32)34(2|2

6、103 yy211A 2102)41(2dyy2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用11面面積積微微元元：小小圓圓扇扇形形 ddA)(212 d面積微元面積微元 )( o2. 極坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算極坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算.,)(所所圍圍成成的的面面積積及及射射線線求求曲曲線線 dA)(2122021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用12.)cos1(3Aa的的面面積積所所圍圍成成求求心心臟臟線線例例 利利用用對(duì)對(duì)稱稱性性12AA 0422cos4dao 2042cos8 tdta解解 02)cos1(da223a 02)(212d2021-10-26清華大學(xué)微積

7、分19定積分的應(yīng)用13所所圍圍面面積積。求求星星形形線線：例例2, 0sincos433 ttaytaxa3.3.參數(shù)方程下求圖形面積參數(shù)方程下求圖形面積2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用14 解解 利利用用對(duì)對(duì)稱稱性性14AA aydx04dtttata)sin(cos3sin42023 20242)sin1(sin12 dxtta)221436522143(122 a283a 2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用15體體積積 badxxAV)(xbaxdxx A(x)（二）空間立體的體積（二）空間立體的體積1. 已知平行截面面積立體的體積已知平行截面面積立體的

8、體積2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用16xab babadxxfdxyV)(22 xdxx 2. 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積2)(yxA o)(xfy y2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用17xo)(yx cd2)(xyA dcdcdyydyxV)(22 yyy+dy2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用18.152222Vxbyax旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成繞繞求求橢橢圓圓例例 xa上上半半橢橢圓圓方方程程為為22xaaby )(axa o得得到到利利用用對(duì)對(duì)稱稱性性 , adxyVV02122 adxxaab02222)(2 |

9、03222)3(2axxaab 解解234ab y2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用19旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積？軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成繞繞軸軸所所圍圍圖圖形形和和直直線線怎怎樣樣求求由由曲曲線線例例yxxxy,2,6 2o2, 0.的的變變化化區(qū)區(qū)間間分分即即為為積積分分變變量量取取yy 202222dyxV 20424dyy 251625424 解法一解法一y+dyy2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用202 , 0.的的變變化化區(qū)區(qū)間間分分即即為為積積分分變變量量取取xx體體積積微微元元是是什什麼麼？xdxx 2o薄薄壁壁圓圓桶桶dxyxdV 2 202dxx

10、xV 為為積積分分變變量量？何何時(shí)時(shí)選選擇擇為為積積分分變變量量？何何時(shí)時(shí)選選擇擇思思考考：yx解法二解法二 2516522|2025 x2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用21 niiiMM11iiniMM11max 0lim lABxyoiixx ix（三）平面曲線的弧長(zhǎng)（三）平面曲線的弧長(zhǎng)何謂曲線的長(zhǎng)何謂曲線的長(zhǎng) ？?jī)?nèi)接折線長(zhǎng)的極限內(nèi)接折線長(zhǎng)的極限1M1 iMiM0M nM 2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用22設(shè)設(shè)曲曲線線段段方方程程為為)1()()(bxaxfy 上上連連續(xù)續(xù)在在即即曲曲線線是是光光滑滑的的,)(,baxf ), 2, 1()()(221

11、niyxMMiiii 中中值值定定理理得得到到由由Lagrangeiiiiixfxfxfy )()()(1)(1iiixx ), 2, 1()(121nixfMMiiii niiiniiixfMM1211)(1 2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用23iiniMM11max 記記 inix 1max iiiMMx1從從而而得得到到有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)故故. 0,0, baniiiniiidxxfxfMMl2120110)(1)(1limlim 弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)： babadxydxxfl221)(12021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用24出出設(shè)設(shè)曲曲線線段段由由參參數(shù)數(shù)方方程程給給

12、)2( )()(tyytxx)( t且且不不同同時(shí)時(shí)為為零零,)(),( Ctytx 0,0,;, dldtBtAt有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)即即對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)終終點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)起起點(diǎn)點(diǎn) dttytxl)()(22弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)公公式式：2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用25給給出出設(shè)設(shè)曲曲線線段段由由極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程)3()()( 上上連連續(xù)續(xù)在在,)( 作作為為參參數(shù)數(shù)選選 )(sin)(cos)( yx弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)公公式式： dl)()(222021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用262021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用27則則有有的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于變變動(dòng)動(dòng)區(qū)區(qū)間間

13、設(shè)設(shè)光光滑滑曲曲線線),(,),()(xlxabxaxfy xadxdxdyxl2)(1)(存存在在定定理理得得到到由由原原函函數(shù)數(shù)上上連連續(xù)續(xù)在在因因?yàn)闉?)(baxf 2)(1)(dxdydxxdl 2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用28dxxydl2)(1 弧弧微微分分公公式式：從從而而有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng), 0,0 dxdldxdxdydl2)(1 即即dttytxdl22)()( ddl22)()( 2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用29yxyBNTdxMAdxx xadyb2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用30求求懸懸鏈鏈線線例例 7xyoa

14、a )0()(2 aaxacheeayaxaxlaxax一一段段的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)到到從從 aadxaxshdxyl0202)(1212)(1222100| eeaashaxashdxaxchaa解解2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用31求求旋旋輪輪線線例例 8)0()cos1()sin( atayttaxl第第一一拱拱的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)a 2ot解解)cos1 ()(tatx tatysin)( dttadttadttytxdl2sin2)cos1(2)()(22 adttadttal82sin22sin22020 2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用32（四）曲率與曲率半

15、徑（四）曲率與曲率半徑曲率問題就是研究曲線的彎曲程度問題曲率問題就是研究曲線的彎曲程度問題0MM 0TTlMM 之間的弧長(zhǎng)為之間的弧長(zhǎng)為設(shè)設(shè),0之之間間的的為為MMl,0 處處的的曲曲率率為為曲曲線線在在則則稱稱存存在在定定義義：若若000lim,limMlklll 平均曲率平均曲率2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用33lkl 0lim dld y tany arctan dxyyd 211 dxydl21 而而232)1(yyk 曲率公式曲率公式二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)設(shè)曲線設(shè)曲線)(xfy 的的曲曲率率半半徑徑處處在在稱稱為為曲曲線線0)(Mxfy kR1 2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用34xdxx MTxabyo)(xfy （五）旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積（五）旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積用切線用切線MT繞繞x軸軸旋轉(zhuǎn)所得圓臺(tái)的旋轉(zhuǎn)所得圓臺(tái)的側(cè)面積近似側(cè)面積近似2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用35dldyydldldyyy 2)(圓圓臺(tái)臺(tái)側(cè)側(cè)面面積積得得側(cè)側(cè)面面積積微微元元：略略去去！時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(,0dxodldydx dxyyydldS2122 badxyyS212 側(cè)側(cè)面面積積2021-10-26清華大學(xué)微積分19定積分的應(yīng)用36)0(.)()()(9222baSxabyx 面積面積表表的