第十組數(shù)學(xué)建模第三次作業(yè)

1、.易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)我們只要稍加留意就會(huì)發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等) 的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。看來(lái)，這并非偶然，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然，對(duì)于單個(gè)的易拉罐來(lái)說(shuō)，這種最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個(gè)易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了?，F(xiàn)在來(lái)研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題。具體說(shuō)，完成以下的任務(wù)：1 取一個(gè)飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測(cè)量驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說(shuō)明。2 設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體

2、。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說(shuō)明所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說(shuō)，半徑和高之比，等等。3 設(shè)易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說(shuō)明所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸。4 利用對(duì)所測(cè)量的易拉罐的洞察和想象力，做出關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)本題在建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，用LINGO實(shí)證分析了各種標(biāo)準(zhǔn)下易拉罐的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，并將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和模型摸擬結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)論表明，易拉罐的設(shè)計(jì)不但要考慮材料成本(造價(jià))，還要滿足結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、美觀、方便使用等方面的要求。在第二個(gè)問題中，易拉

3、罐被假定為圓柱體，針對(duì)材料最省的標(biāo)準(zhǔn)，得到了不同頂部、底部與側(cè)面材料厚度比時(shí)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。針對(duì)材料厚度的不同，建立兩個(gè)模型：模型一，設(shè)易拉罐各個(gè)部分厚度和材料單價(jià)完全相同，最優(yōu)設(shè)計(jì)方案為半徑與高的比(為圓柱的高，為圓柱的半徑)；模型二，設(shè)易拉罐頂蓋、底部厚度是罐身的3倍，通過計(jì)算得到半徑與高時(shí)，表面積最小。一般情況下，當(dāng)頂蓋、底部厚度是罐身的倍時(shí)，最優(yōu)設(shè)計(jì)方案為。在第三問中，針對(duì)圓柱加圓臺(tái)的罐體，本文也建立了兩個(gè)模型：模型三，設(shè)易拉罐整體厚度相同，利用LINGO軟件對(duì)模型進(jìn)行分析，得出當(dāng)(為圓臺(tái)的高，為圓臺(tái)上蓋的半徑)時(shí)，設(shè)計(jì)最優(yōu)；模型四，假設(shè)罐頂蓋、底部的厚度是罐身的3倍，同樣利用軟件LI

4、NGO對(duì)其進(jìn)行分析，得出，時(shí)材料最省,即頂部為圓錐時(shí)材料最省，模型的結(jié)果在理論上成立，但與實(shí)際數(shù)據(jù)不符。原因是廠商在制作易拉罐時(shí)，不僅要考慮材料最省，還要考慮開蓋時(shí)所受到的壓力、制造工藝、外形美觀、堅(jiān)固耐用等因素。在第四問中，本文根據(jù)第三問中模型最優(yōu)設(shè)計(jì)結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的誤差，調(diào)整了的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，在材料最省的基礎(chǔ)上，加入了方便使用，物理結(jié)構(gòu)更穩(wěn)定等標(biāo)準(zhǔn)。通過比較發(fā)現(xiàn)，前面四個(gè)模型中，模型二和模型四體現(xiàn)了硬度方面的要求。進(jìn)一步對(duì)模型二、四進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)模型四的結(jié)論更優(yōu)。為此，將模型四結(jié)論中的底部也設(shè)計(jì)為圓錐。此時(shí)，材料最省。但是，兩端都設(shè)計(jì)為圓錐時(shí)，無(wú)法使用。因此，將項(xiàng)部和底部設(shè)計(jì)為圓臺(tái)，并考慮拉環(huán)

5、長(zhǎng)度和手指厚度(易于拉動(dòng)拉環(huán))時(shí)，得到圓臺(tái)頂端和底部半徑都為2.7。此時(shí)，易拉罐形狀和尺寸最優(yōu)。如果設(shè)計(jì)為旋轉(zhuǎn)式拉環(huán)，時(shí)，可以得到優(yōu)于現(xiàn)實(shí)中易拉罐的設(shè)計(jì)方案。最后，本文總結(jié)了此次數(shù)學(xué)建模中有益的經(jīng)驗(yàn)-在數(shù)學(xué)建模過程必須靈活應(yīng)用從簡(jiǎn)到繁、由易到難不斷擴(kuò)展的研究方法，并且要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)軟件在優(yōu)化設(shè)計(jì)中無(wú)可比擬的優(yōu)勢(shì)。文中符號(hào)注解R:圓柱半徑r:圓臺(tái)半徑H:圓柱高h(yuǎn):圓臺(tái)高S:易拉罐表面積V:易拉罐體積MIN:最小化為方便在LINGO軟件中計(jì)算，定義：X1:在軟件LINGO中的圓柱半徑(R)X2:在軟件LINGO中的圓柱高(H)X3:在軟件LINGO中的圓臺(tái)半徑(r)X4:在軟件LINGO中的圓臺(tái)高

6、(h)第一問：取一個(gè)飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測(cè)量驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度、厚度等。表1：數(shù)據(jù)測(cè)量結(jié)果1(mm)2(mm)3(mm)4(mm)平均(mm)D1(罐蓋直徑)57.8458.3058.0458.6058.20D2(罐身直徑)65.7065.5665.5165.5865.60D3(罐底直徑)47.5647.6247.1847.7447.53X1(罐蓋厚度)0.3140.3020.3150.3100.310X2(罐身厚度)0.1080.1100.1140.1100.111X3(罐底厚度)0.3270.3200.3390.344

7、0.333H1(罐蓋高度)10.3010.9810.429.9610.42H2(罐身高度)101.98102.06102.36101.92102.08H3(罐底高度)5.625.305.124.865.23L(罐蓋斜邊長(zhǎng)度)0.1930.2040.2100.2010.202拉環(huán)長(zhǎng)度42534248424842514250注：數(shù)據(jù)由測(cè)量可口可樂355ml易拉罐所得。本文測(cè)量以上數(shù)據(jù)是為了在以下建模中，提供數(shù)據(jù)和驗(yàn)證結(jié)果。重要的是，拉環(huán)長(zhǎng)度與易拉罐項(xiàng)部直徑相差約1.53厘米左右，正好是指頭厚度。顯然是使用方便設(shè)計(jì)的。第二問：設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說(shuō)明你們所

8、測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說(shuō)，半徑和高之比，等等。一 問題重述一個(gè)飲料量為355毫升的易拉罐，找出易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)。假設(shè)它是一個(gè)正圓柱體，在不考慮易拉罐受外界影響下，求在正圓柱體的表面積最小時(shí)，底半徑r與高度h的比值。二 問題分析假設(shè)最優(yōu)化條件為保證容積的情況下，使制作易拉罐所需材料最省(表面積為最小)。在表面積為最小時(shí)，設(shè)圓柱形的體積V為常數(shù)，求底半徑r與高度h的比值，如果能求出一定比例，就能找出模型最優(yōu)設(shè)計(jì)。在建立模型之前，必須考慮易拉罐的厚度，一種是在考慮節(jié)約材料前提下，另一種是在考慮材料受力的情況。三 模型假設(shè)、建立與求解(一)易拉罐整體厚度相同時(shí)的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型1、 假設(shè)：(1)易

9、拉罐是正圓柱體 (2)易拉罐整體厚度均相同2、 確定變量和參數(shù)：設(shè)易拉罐內(nèi)半徑為R，高為H，,厚度為a，體積為V，其中r和h是自變量，所用材料的面積S是因變量，而V是固定參數(shù)，則S和V分別為：， 設(shè)3、 模型建立：其中S是目標(biāo)函數(shù)，是約束條件，V是已知的，即要在體積一定的條件下求S的最小值時(shí)，r和h的取值是多少4、模型求解因?yàn)榘凑諏?shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)可知，所以帶，的項(xiàng)可以忽略，且，則有 求的最小值，令其導(dǎo)數(shù)為零，即，解得臨界點(diǎn)為，則因?yàn)?，則，所以當(dāng)R:H=1:2時(shí)，是S最優(yōu)解5.模型結(jié)論在假設(shè)易拉罐是正圓柱體且厚度均相同的條件下，當(dāng)體積為固定參數(shù)，而表面積最小時(shí)，通過對(duì)面積求導(dǎo)，得到高是半徑的兩倍，r

10、:h=1:2，此時(shí)，模型最優(yōu)。（二） 易拉罐頂蓋、底蓋厚度與罐體厚度不同時(shí)的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型1、假設(shè)：(1)易拉罐是正圓柱體 (2)易拉罐頂蓋、底蓋厚度為3a,其它部分厚度為a2、確定變量和參數(shù)：設(shè)飲料內(nèi)半徑為R，高為H，體積為V，易拉罐頂蓋、底蓋厚度為a,其它部分厚度為b。其中r和h是自變量，所用材料的體積S是因變量，而a,b,c和V是固定參數(shù)。則S和V分別為：，設(shè)3、模型建立：其中S是目標(biāo)函數(shù)，是約束條件，厚度比例與V是已知的，即要在體積V一定的條件下求r和h的取值是多少時(shí)體積S最小4、 模型求解因?yàn)榘凑諏?shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)可知，所以帶，的項(xiàng)可以忽略，且，則 求的最小值，令其導(dǎo)數(shù)為零，即，解得臨界點(diǎn)為

11、，則因?yàn)?，則，因此當(dāng)H=6R時(shí)，S為最優(yōu)解觀察模型(一)與模型(二)，可見當(dāng)厚度比例不同時(shí)，半徑與高的比不同，似乎有一定的聯(lián)系，因此我們假設(shè)頂與底蓋厚度為ab，壁的厚度為a，其中b為比例系數(shù)，則因?yàn)榘凑諏?shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)可知，所以帶，的項(xiàng)可以忽略，且，則有 求的最小值，令其導(dǎo)數(shù)為零，即，解得臨界點(diǎn)為，則因?yàn)椋瑒t，因此當(dāng)R:H=1:2b時(shí)，S為最優(yōu)解5.模型結(jié)論在假設(shè)易拉罐是正圓柱體，且頂蓋、底部的厚度是罐身的三倍的條件下，當(dāng)體積為固定參數(shù)，而表面積最小時(shí)，通過對(duì)表面積求導(dǎo)，得到半徑與高的比是一比六，R:H=1:6，此時(shí)，觀察模型(一)與模型(二)，可見當(dāng)厚度比例不同時(shí)，半徑與高的比不同，似乎有一定的

12、聯(lián)系，因此本題假設(shè)頂與底蓋厚度為ab，壁的厚度為a，其中b為比例系數(shù)，則R:H=1:2b。四、模型評(píng)價(jià)在不考慮厚度的情況下，考慮節(jié)約材料前提下得到，底半徑r是高度h的一半時(shí)，圓柱的表面積最小。考慮易拉罐頂蓋、底蓋厚度與罐體厚度不同的情況下，考慮了材料的厚度，因此，建立頂端是側(cè)壁的三倍厚度(因?yàn)榇吮壤欣诠奚硎芰?，便于開蓋)，高度h是底半徑r的6倍時(shí)，圓柱的表面積最小。第一二種模型相較之下，第二種模型更費(fèi)材料，第一種模型設(shè)計(jì)更優(yōu)。所以，在不受力的情況下，假設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體，當(dāng)?shù)装霃絩是高度h的一半時(shí)，模型最優(yōu)。不過，本文通過實(shí)際數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，廠商制作易拉罐時(shí)，不單單是考慮材料最省，可能還考慮

13、到開蓋時(shí)所受到的壓力，外形美觀等因素。第三問：設(shè)易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說(shuō)明所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸。一、 問題描述通常，在現(xiàn)實(shí)生活中，本文所見地易拉罐都不是單純的正圓柱體，一般都是混合的三維圖形。由于實(shí)際生活中，易拉罐是受到外力的影響(如開蓋時(shí)的拉力，堆放時(shí)的壓力等等)，因此，本文依照生活中的易拉罐，設(shè)易拉罐的中心縱斷面如圖1所示，即上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是一個(gè)正圓柱體。通過計(jì)算和測(cè)量，在理論的基礎(chǔ)上，建立易拉罐最優(yōu)設(shè)計(jì)的模型。圖1二、問題分析本文假設(shè)最優(yōu)化條件為保證容積的情況下，使制作易

14、拉罐所需材料最省(表面積為最小)。由于易拉罐形狀不是單純的正圓柱體，所以本文建立模型時(shí)，先假設(shè)易拉罐上部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下部分是一個(gè)正圓柱體。然后，考慮易拉罐的厚度，在厚度一致時(shí)，利用lingo軟件，計(jì)算出模型的最優(yōu)解；通過本文觀察發(fā)現(xiàn)易拉罐頂蓋的厚度是罐身的三倍，所以，假設(shè)另一種模型當(dāng)易拉罐頂蓋、底蓋厚度為a，其余部分為b，且a:b=3：1，體積V=355ml時(shí)，同樣利用lingo軟件，計(jì)算出模型的最優(yōu)解。三 模型假設(shè)、建立與求解(一)第三種易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型1、假設(shè)：(1)易拉罐上部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下部分是一個(gè)正圓柱體 (2)易拉罐整體厚度均相同2、確定變量和參數(shù)：設(shè)易拉罐頂蓋

15、、底部半徑為R，正圓柱體高為H，正圓臺(tái)高為h,體積為V，其中R,r,H,h是自變量，所用材料的體積S是因變量，而V是固定參數(shù)，則S和V分別為：設(shè)3、模型建立：其中S是目標(biāo)函數(shù)，是約束條件，V是已知的，即要在體積一定的條件下求表面積最小值時(shí)，R，r，H，h的取值各是多少4、模型求解利用LINGO求解，設(shè)R=x1,r=x3,H=x2,h=x4,則利用LINGO計(jì)算結(jié)果(見附表一)，得H+h=2R=4r時(shí)，S為最優(yōu)解5.模型結(jié)論在易拉罐上部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下部分是一個(gè)正圓柱體，且厚度均相同的前提下，當(dāng)體積為固體參數(shù)，表面積最小時(shí)，利用軟件(LINGO)計(jì)算，得到圓臺(tái)的高與圓拄的高等于兩倍圓拄的半徑，

16、同時(shí)也等于四倍的圓臺(tái)的半徑，H+h=2R=4r，模型最優(yōu)。（二） 第四種易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型1、假設(shè)：(1)易拉罐上部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下部分是一個(gè)正圓柱體 (2)易拉罐整體厚度(3)V=355ml2、確定變量和參數(shù)：設(shè)易拉罐頂蓋半徑為，底蓋半徑為R，正圓柱體高為H，正圓臺(tái)高為h,體積為V，其中R,r,H,h是自變量，所用材料的體積S是因變量，而V是固定參數(shù)，則S和V分別為：設(shè)3、模型建立：其中S是目標(biāo)函數(shù)，是約束條件，V是已知的，即要在體積一定的條件下求表面積最小值時(shí)，R，r，H，h的取值各是多少4、模型求解利用LINGO求解，設(shè)R=x1,r=x3,H=x2,h=x4,且a=0.33

17、3,b=0.111 則利用LINGO計(jì)算結(jié)果(見附表二)，得，時(shí)，S為最優(yōu)解5.模型結(jié)論：在假設(shè)易拉罐上部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下部分是一個(gè)正圓拄體，且厚度不同，頂蓋、底部半徑是罐身3倍的條件下，當(dāng)體積為固定參數(shù)，而表面積最小時(shí)，通過軟件(LINGO)得到H+h約等于4.5R，模型最優(yōu)。四、模型評(píng)價(jià)以材料節(jié)約、實(shí)用為基礎(chǔ)，建立易拉罐的形狀和尺寸最有設(shè)計(jì)的模型。第三個(gè)模型優(yōu)點(diǎn)在于實(shí)用，第四個(gè)模型更為優(yōu)化。因?yàn)?，本文在建立模型時(shí)發(fā)現(xiàn)，模型四在制作過程中，所用材料更為節(jié)約，造價(jià)更低，所以，第四種模型更為優(yōu)化。第四問：利用對(duì)所測(cè)量的易拉罐的洞察和想象力，做出關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。一、對(duì)現(xiàn)有易拉罐的

18、解釋如果增加兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，考慮易拉罐的穩(wěn)定性和使用的方便性?？紤]穩(wěn)定性時(shí)，只能采用模型二與模型四的設(shè)計(jì)。將厚度比例本題視為已知條件時(shí)，代入測(cè)量所得的數(shù)據(jù)，并利用LINGO求解模型二 目標(biāo)：求 條件：設(shè)r=x1,h=x2,V=355,a=0.111,在LINGO求解(見附錄三)。比較模型二與第三問中模型四的結(jié)果，易見模型四比較優(yōu)化。但模型四脫離了實(shí)際，因?yàn)閷?shí)際中需要在頂蓋設(shè)計(jì)一個(gè)拉環(huán)，所以r必需大于零。 下面考慮取不同值時(shí)，模型的優(yōu)化程度。模型仍為： r分別取0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，3.0，3.5，4.0，5.0，6.0時(shí)，利用LINGO計(jì)算模型中R，

19、H，h，S的最優(yōu)值(見表2)：表2r0.51.01.52.02.52.62.7R3.113 3.1153.1213.1333.1613.1703.180H10.7010.61 10.4910.35 10.2110.1910.16h2.432.191.961.70 1.361.28 1.18 S38.1338.6139.46 40.73 42.4942.91 43.36 r2.82.93.03.54.05.06.0R3.192 3.20623941.9421.40100H10.1410.120 005.934.48h1.080.96 15.4714.8614.3813.569.42 S43.83

20、44.3344.5345.1146.3251.3561.02 表2(續(xù))由表2可見當(dāng)r大于3時(shí)，圖形已非最優(yōu)，省去后面的結(jié)果。即當(dāng)r小于3時(shí)，S的值都小于模型二的結(jié)果，因此可以得出結(jié)論：模型四比模型二的設(shè)計(jì)更優(yōu)。既然模型四比模型二省材料，那么是否可以把模型四的正圓柱底部也改成一個(gè)正圓臺(tái)？考慮上、下都為圓臺(tái)的設(shè)計(jì)方案(模型五)，材料體積S的方程如下：=355利用軟件(LINGO)計(jì)算(見附錄四)，得S=30.20864將上述S與模型四的結(jié)果比較， 易見上下都為圓臺(tái)的設(shè)計(jì)方案更優(yōu)。但考慮到存放方便時(shí)，這樣易拉罐“站”不穩(wěn)，同時(shí)“易拉罐”一定需要有一個(gè)拉環(huán)，如果設(shè)計(jì)在項(xiàng)部，r必需大于零。進(jìn)一步考慮上

21、下都為圓臺(tái)時(shí)，r的合理取值。因?yàn)?=355利用LINGO分析r分別取0.5，1.0，1.5，2.0，2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，3.0得出最優(yōu)解時(shí)R，H，h，S的值(結(jié)果見表3)：表3r0.51.01.52.02.1R3.9134413.9144763.9173703.9234573.925208H6.9106286.894053 6.8747746.8591966.857093h1.2265391.0912850.95875820.81639350.7859263S30.5492631.58040 33.31585 35.7707236.34952

22、表3(續(xù))r2.22.32.42.52.6R3.9271763.9293773.931830 3.9345553.937572H6.8554516.854324 6.853768 6.8538366.854586h0.7546560 0.72253170.6895060 0.65553520.6205793S36.9579437.5961438.2642938.9625539.69110表3(續(xù))r2.72.82.93.03.5R3.9409013.9445663.9485873.9529873.981513H6.8560726.8583536.8614856.8655266.901350h0.5846014 0.54756810.50944940.4702186 0.2566850S40.45011 41.2397742.0602742.9117947.64180在現(xiàn)實(shí)中，拉環(huán)的測(cè)量值為4.25,手指的大小約為1.11，則最優(yōu)設(shè)計(jì)就是拉環(huán)穿過直徑，所以r=(4.25+1.11)/2=2.68,近似為r=2.7，此時(shí)H=6.85。二、比現(xiàn)實(shí)更優(yōu)的設(shè)計(jì)方案因?yàn)樯享?xiàng)半徑越小，材料越省，我們盡量減小上底半徑。一種可行方案是將設(shè)計(jì)旋轉(zhuǎn)型的拉環(huán)(現(xiàn)實(shí)中的拉環(huán)不可旋轉(zhuǎn)，是直的，導(dǎo)致上底半徑大)，拉環(huán)長(zhǎng)度可減小半，即r=4.25/2=2.125,近似為時(shí)，設(shè)計(jì)最