人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型課件

1、人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型1人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型2人口增長和預(yù)測(cè)模型人口增長和預(yù)測(cè)模型vMalthus模型模型vLogistic模型模型v中國特色人口模型中國特色人口模型vLeslie 離散模型離散模型人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型3當(dāng)今人類面臨的五大問題當(dāng)今人類面臨的五大問題v(1)人口問題人口問題v(2)工業(yè)化的資金問題工業(yè)化的資金問題v(3)糧食問題糧食問題v(4)不可再生的資源問題不可再生的資源問題v(5)環(huán)境污染問題環(huán)境污染問題(即生態(tài)平衡問題即生態(tài)平衡問題)。v 建立人口增長數(shù)學(xué)模型，用以描述人口建立人口增長數(shù)學(xué)模型，用以描述人口增長過程，通過分析對(duì)人口增長進(jìn)行預(yù)測(cè)，增長過程，通過分析對(duì)人口增長進(jìn)

2、行預(yù)測(cè)，制定相應(yīng)的人口政策以控制人口增長，于國制定相應(yīng)的人口政策以控制人口增長，于國于民均有利。于民均有利。人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型4 人口模型的研究人口模型的研究v1798年年 Malthus出版了出版了人口原理人口原理，書中提出了，書中提出了著名的影響深遠(yuǎn)的著名的影響深遠(yuǎn)的Malthus人口模型人口模型v1838年年 P.F.Verhust對(duì)對(duì)Malthus模型進(jìn)行了修正，模型進(jìn)行了修正，得出了得出了Logistic模型模型v1924年年G.V.Yule引入概率觀點(diǎn)對(duì)人口問題進(jìn)行了研引入概率觀點(diǎn)對(duì)人口問題進(jìn)行了研究，究，人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型5v1945年年P(guān).H.Leslie完成了按齡離散型人

3、口模型。完成了按齡離散型人口模型。v1959年年Van.H.Fpoerster提出現(xiàn)代按齡連續(xù)型人口提出現(xiàn)代按齡連續(xù)型人口模型模型v近年來我國學(xué)者為了解決我國人口迅猛增長問題，近年來我國學(xué)者為了解決我國人口迅猛增長問題，建立了有關(guān)中國人口預(yù)測(cè)和控制模型，為我國制定建立了有關(guān)中國人口預(yù)測(cè)和控制模型，為我國制定人口政策提供依據(jù)。人口政策提供依據(jù)。人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型6 影響人口增長的因素影響人口增長的因素v人口的基數(shù)，人口的基數(shù)，v出生率和死亡率的高低，出生率和死亡率的高低，v人口男女比例大小，人口男女比例大小，v人口年齡組成情況，人口年齡組成情況，v工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)水平的高低，營養(yǎng)條件，醫(yī)療水平，工農(nóng)

4、業(yè)生產(chǎn)水平的高低，營養(yǎng)條件，醫(yī)療水平， 人口素質(zhì)，環(huán)境污染情況。人口素質(zhì)，環(huán)境污染情況。v另外還涉及到各民族的風(fēng)俗習(xí)慣，傳統(tǒng)觀念，另外還涉及到各民族的風(fēng)俗習(xí)慣，傳統(tǒng)觀念， 自然災(zāi)害，戰(zhàn)爭(zhēng)，人口遷移等等。自然災(zāi)害，戰(zhàn)爭(zhēng)，人口遷移等等。人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型7建?？偟乃悸方？偟乃悸穠如果一開始把眾多因素都考慮，則無從下手。如果一開始把眾多因素都考慮，則無從下手。v先把問題簡化，只考慮影響人口增長的主要因素先把問題簡化，只考慮影響人口增長的主要因素 增長率增長率(出生率死亡率出生率死亡率)及人口基數(shù)。其余因素及人口基數(shù)。其余因素的影響暫不考慮，建立一個(gè)較粗的數(shù)學(xué)模型。的影響暫不考慮，建立一個(gè)較粗的數(shù)

5、學(xué)模型。v在這個(gè)模型的基礎(chǔ)上逐步考慮次要因素的影響，進(jìn)在這個(gè)模型的基礎(chǔ)上逐步考慮次要因素的影響，進(jìn)而建立與實(shí)際情況更吻合的人口模型。而建立與實(shí)際情況更吻合的人口模型。人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型8用微分方程描述人口增長過程用微分方程描述人口增長過程v初看起來，人口增長是不能用微分方程來描述的，初看起來，人口增長是不能用微分方程來描述的，因?yàn)槿丝诳倲?shù)是按整數(shù)變化的而不是時(shí)間的可微因?yàn)槿丝诳倲?shù)是按整數(shù)變化的而不是時(shí)間的可微函數(shù)。函數(shù)。v然而，如果總數(shù)很大時(shí)，可以近似認(rèn)為它是時(shí)間然而，如果總數(shù)很大時(shí)，可以近似認(rèn)為它是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，甚至是可微函數(shù)。的連續(xù)函數(shù)，甚至是可微函數(shù)。v這即離散變量連續(xù)化處理，這一點(diǎn)

6、應(yīng)能很好地理這即離散變量連續(xù)化處理，這一點(diǎn)應(yīng)能很好地理解和掌握。解和掌握。人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型9一、一、Malthus模型模型人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型10Malthus與人口指數(shù)增長模型與人口指數(shù)增長模型v 英國人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家英國人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家Malthus(1766一一1834)在擔(dān)任在擔(dān)任牧師期間，查看了教堂牧師期間，查看了教堂100多年人口出生統(tǒng)計(jì)資料，多年人口出生統(tǒng)計(jì)資料，他發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)現(xiàn)象，即人口的增長率是常數(shù)，或他發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)現(xiàn)象，即人口的增長率是常數(shù)，或者說，單位時(shí)間內(nèi)人口的增長量與當(dāng)時(shí)的人口總數(shù)者說，單位時(shí)間內(nèi)人口的增長量與當(dāng)時(shí)的人口總數(shù)成正比。成正比。v于是在于是在1798年年人口原

7、理人口原理一書中，提出了聞名于一書中，提出了聞名于世的世的Malthus人口指數(shù)增長模型人口指數(shù)增長模型人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型11模型的構(gòu)成模型的構(gòu)成v 設(shè)設(shè)N(t) 表示表示t時(shí)刻人口總數(shù)，時(shí)刻人口總數(shù)， r(t，N(t)表示表示t時(shí)刻人時(shí)刻人口增長率，口增長率，v假設(shè)只考慮人口增長率，其他因素的影響暫不考慮。假設(shè)只考慮人口增長率，其他因素的影響暫不考慮。則在則在t到到t+t這段時(shí)間內(nèi)人口增長為這段時(shí)間內(nèi)人口增長為 N(t+t) N(t)=r(t，N)N(t) tv兩端同除以兩端同除以t，并令，并令t0，有，有 dN/dt=r(t,N)N(t) (1）v模型模型(1)看似簡單，其實(shí)由于出生率看

8、似簡單，其實(shí)由于出生率r(t，N)的不確定的不確定性，給性，給(1)的求解帶來困難。的求解帶來困難。v下面將逐步深入地討論模型下面將逐步深入地討論模型(1)。人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型12Malthus模型的構(gòu)成模型的構(gòu)成v根據(jù)根據(jù)Malthus基本假設(shè)，在上述模型中令基本假設(shè)，在上述模型中令 r(t,N)= r(常數(shù)常數(shù))v得得 dN(t)/dt=rN(t) N(t0)=N0 (2)v其解為其解為 N(t)=N0er(t-t0) (3)v (2)是是(常微分常微分)線性方程，稱為線性方程，稱為Malthus人口模人口模型。即人口以型。即人口以er為公比，按幾何級(jí)數(shù)增加。為公比，按幾何級(jí)數(shù)增加。v因

9、為這時(shí)因?yàn)檫@時(shí)r表示年增長率，通常表示年增長率，通常r1，所以可，所以可用近似關(guān)系用近似關(guān)系er l+r將將(3)式寫作式寫作 N(t) N0(l+r)t-t0 (4)人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型13Malthus模型的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臋z驗(yàn)v 據(jù)估計(jì)據(jù)估計(jì)1961年全世界人口總數(shù)為年全世界人口總數(shù)為3.06109，而在此之前的而在此之前的10年人口按每年年人口按每年2%的速率增長。的速率增長。因此因此 t0=1961，N0=3.06109， r =0.02v 于是于是 N(t)=3.06109e 0.02(t-1961) (5)v 這個(gè)公式非常準(zhǔn)確地反映了在這個(gè)公式非常準(zhǔn)確地反映了在1700-1994年年期

10、間世界估計(jì)人口總數(shù)。期間世界估計(jì)人口總數(shù)。v 因?yàn)樵谶@期間地球上人口大約每隔因?yàn)樵谶@期間地球上人口大約每隔35年增加年增加一倍，而上述方程斷定每隔一倍，而上述方程斷定每隔34.6年增加一倍。年增加一倍。 (人口倍增時(shí)間人口倍增時(shí)間)人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型14人口倍增時(shí)間人口倍增時(shí)間T的計(jì)算的計(jì)算v 設(shè)在設(shè)在T=t-t0時(shí)間段內(nèi)地球上的人口增加一倍。即時(shí)間段內(nèi)地球上的人口增加一倍。即 當(dāng)當(dāng)T=t-t0時(shí)，時(shí)，2N0=N0e rT e rT=2v 兩端取對(duì)數(shù)，得兩端取對(duì)數(shù)，得 rT=ln2 即即 T= ln2/r = 0.6931/r = 34.6 與現(xiàn)有的數(shù)據(jù)吻合得較好與現(xiàn)有的數(shù)據(jù)吻合得較好人口與

11、社會(huì)的數(shù)學(xué)模型15Malthus模型不符合未來長期預(yù)測(cè)模型不符合未來長期預(yù)測(cè)v因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)t+ lim N(t)=lim N0e r(t-t0)= +v由由Malthus模型模型(5)式可以推出式可以推出2510年世界人口總數(shù)將是年世界人口總數(shù)將是21014人人(如果將全世界如果將全世界所有陸地，海洋面積均算在內(nèi)的話，每人平均僅有所有陸地，海洋面積均算在內(nèi)的話，每人平均僅有0.864m2(9.3平方英尺平方英尺)，2635年將為年將為1.81015人人(每人平均有每人平均有0.093m2(1平平方英尺方英尺)，2670年將是年將是3.61015人人(3600萬億萬億)。v顯然，這些數(shù)字說明顯然

12、，這些數(shù)字說明Malthus人口模型對(duì)長期人口模型對(duì)長期預(yù)測(cè)是不正確的。預(yù)測(cè)是不正確的。人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型16二、二、Logistic人口模型人口模型人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型17二、二、Logistic模型模型v Malthus模型為什么只符合人口的過去而不能模型為什么只符合人口的過去而不能用來預(yù)測(cè)未來人口總數(shù)呢用來預(yù)測(cè)未來人口總數(shù)呢?v究其原因，人口總數(shù)不太大時(shí)，人口總數(shù)增長究其原因，人口總數(shù)不太大時(shí)，人口總數(shù)增長的線性數(shù)學(xué)模型的線性數(shù)學(xué)模型(即即Malthus模型模型)是正確的，是正確的，v但當(dāng)人口總數(shù)非常大時(shí)，地球上的各種資源，但當(dāng)人口總數(shù)非常大時(shí)，地球上的各種資源，環(huán)境條件等因素對(duì)人口增

13、長的限制作用將越來環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長的限制作用將越來越顯著。此時(shí)人口增長率就要隨人口的增加而越顯著。此時(shí)人口增長率就要隨人口的增加而減小。減小。v即應(yīng)該對(duì)即應(yīng)該對(duì)Malthus模型中關(guān)于人口增長率為常模型中關(guān)于人口增長率為常數(shù)這一假設(shè)作修改。數(shù)這一假設(shè)作修改。人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型18Logistic模型的構(gòu)成模型的構(gòu)成v我們?cè)诰€性方程我們?cè)诰€性方程(2)的右端加上一項(xiàng)的右端加上一項(xiàng)-bN2。(對(duì)于一般的生物，這一項(xiàng)稱為競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)對(duì)于一般的生物，這一項(xiàng)稱為競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng))。此時(shí)。此時(shí)r(t,N)= r-bN,方程方程(2)變成變成 dN/dt=rN-bN2 N(t0)=N0 (5) 這稱為這稱為Log

14、istic模型，其中模型，其中r、b稱為稱為v其解為其解為 N=b/r+(1/N0-b/r)e -r(t-t0)-1 (6)v這個(gè)模型是荷蘭數(shù)學(xué)家這個(gè)模型是荷蘭數(shù)學(xué)家Verhulst首先發(fā)現(xiàn)的。首先發(fā)現(xiàn)的。人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型19 Logistic模型的分析模型的分析v一般來說，常數(shù)一般來說，常數(shù)b同同r相比是很小的。因此，如相比是很小的。因此，如果果N不太大，競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)不太大，競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)“-bN2”同同rN相比可以略去。相比可以略去。人口總數(shù)將按指數(shù)方式增長。當(dāng)人口總數(shù)將按指數(shù)方式增長。當(dāng)N很大時(shí)，競(jìng)很大時(shí)，競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)爭(zhēng)項(xiàng)“-bN2”就不能忽略了，這樣就會(huì)使人口總就不能忽略了，這樣就會(huì)使人口總數(shù)急劇增長

15、的速度減緩下來。數(shù)急劇增長的速度減緩下來。 v由由Logistic模型模型(6)式可以得出式可以得出N(t)具有如下規(guī)具有如下規(guī)律律:v (1)當(dāng)當(dāng)t時(shí)，時(shí)，N(t)r/b。 結(jié)論是不管其初值如何，人口總數(shù)最終將趨結(jié)論是不管其初值如何，人口總數(shù)最終將趨向于極限值向于極限值r/b。人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型20模型分析模型分析v (2)當(dāng)當(dāng)0N00 所以所以N(t)是時(shí)間的單調(diào)遞增函數(shù)。是時(shí)間的單調(diào)遞增函數(shù)。v 又又 d2N/dt2= rdN/dt-2bNdN/dt =(r-2bN)N(r-bN)v 顯然，當(dāng)顯然，當(dāng)N0，曲線向上凹。，曲線向上凹。 當(dāng)當(dāng)Nr/2b時(shí)，時(shí)， d2N/dt2 0，曲線向下

16、凹，曲線向下凹v曲線曲線N(t)的形狀如圖的形狀如圖1所示，這種曲線稱為所示，這種曲線稱為S形曲線形曲線(Logistic曲線曲線)。人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型21 圖圖1 S形曲線形曲線(Logistic曲線曲線) N(t) r/b r/2b O t 人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型22Logistic曲線的形狀說明曲線的形狀說明 由曲線的形狀，可以得出如下結(jié)論由曲線的形狀，可以得出如下結(jié)論:v 在人口總數(shù)達(dá)到極限值一半在人口總數(shù)達(dá)到極限值一半(即即r/2b)以前，是加速以前，是加速增長時(shí)期，過這一點(diǎn)以后，增長的速度逐漸減小，增長時(shí)期，過這一點(diǎn)以后，增長的速度逐漸減小，并且遲早會(huì)達(dá)到零，這是減速增長時(shí)期。并且

17、遲早會(huì)達(dá)到零，這是減速增長時(shí)期。人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型23Logistic模型預(yù)測(cè)未來人口總數(shù)模型預(yù)測(cè)未來人口總數(shù)v就必須先估計(jì)生命系數(shù)就必須先估計(jì)生命系數(shù)r和和b。v據(jù)生物學(xué)家估計(jì)，據(jù)生物學(xué)家估計(jì)，r的自然值為的自然值為0.029，又在，又在1961年人年人口總數(shù)為口總數(shù)為3.06109時(shí)，人口的增長速率為時(shí)，人口的增長速率為2%。v 由由 N-1 dN/dt=r-bN 即即 0.02=0.029-b(3.06109) 得得 b=2.94110-12v按照按照Logistic模型，地球上人口總數(shù)極限值為模型，地球上人口總數(shù)極限值為 r/b=0.029/2.94110-12=9.86109(近近

18、100億億)人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型24模型預(yù)測(cè)說明模型預(yù)測(cè)說明v1961年世界人口總數(shù)為年世界人口總數(shù)為30億左右，尚未達(dá)到地球所億左右，尚未達(dá)到地球所能養(yǎng)活人口極限能養(yǎng)活人口極限100億的一半。因此世界人口總數(shù)億的一半。因此世界人口總數(shù)將處于加速增長時(shí)期。將處于加速增長時(shí)期。v這與這與1961年以后的一段時(shí)期世界人口增長很快確實(shí)年以后的一段時(shí)期世界人口增長很快確實(shí)是吻合的。是吻合的。人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型25Logistic模型：美國人口增長模型：美國人口增長v皮爾皮爾(Pearl)和里德和里德(Reed)1920年提出的美國人口增年提出的美國人口增長的長的Logistic模型為模型為 N(t)

19、= 1972682000/1+e-0.03134(t-1914.3) v由該模型公式算出的美國人口總數(shù)的理論值與實(shí)際由該模型公式算出的美國人口總數(shù)的理論值與實(shí)際人數(shù)比較見表人數(shù)比較見表1.1v由表由表1.1對(duì)照可以看出，美國實(shí)際人口總數(shù)從對(duì)照可以看出，美國實(shí)際人口總數(shù)從1790年到年到1950年這段時(shí)間與預(yù)測(cè)人數(shù)是比較吻合的年這段時(shí)間與預(yù)測(cè)人數(shù)是比較吻合的.人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型26表表1 1790-1950年美國人口總數(shù)年美國人口總數(shù)年份年份實(shí)際數(shù)值實(shí)際數(shù)值預(yù)言數(shù)值預(yù)言數(shù)值誤差誤差%17901800181018201830184018501860187018801890190019101920

20、1930194019503 929 0005 308 0007 240 000 9 638 000 12 866 000 17 069 00023 192 00031 443 00038 558 00050 156 00062 948 00075 995 00091 972 000105 711 000122 755 000131 669 000150 697 0003 929 0005 336 0007 228 000 9 757 000 13 109 000 17 506 00023 192 00030 412 00039 372 00050 177 00062 769 00076 870

21、 00091 972 000107 559 000123 124 000136 653 000149 053 000028 000- 12 000 119 000 243 000 437 0000-1 031 000 814 000 21 000 -179 000 875 0000 1 848 000 349 000 4 984 000-1 644 0000.00.5-0.2 1.2 1.9 2.6 0.0 -3.3 2.1 0.4 -0.3 1.2 0.0 1.7 0.3 3.8 -1.1人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型27Logistic模型的應(yīng)用模型的應(yīng)用v1845年年Verhulst曾預(yù)言比利時(shí)人

22、口的最大值曾預(yù)言比利時(shí)人口的最大值為為660萬人，法國人口的最大值為萬人，法國人口的最大值為4000萬人。萬人。v但在但在1930年比利時(shí)人口已經(jīng)達(dá)到年比利時(shí)人口已經(jīng)達(dá)到809萬人，二萬人，二者相差很大。這似乎表明者相差很大。這似乎表明Logistic模型對(duì)于比模型對(duì)于比利時(shí)的人口來說很不精確。利時(shí)的人口來說很不精確。v經(jīng)過分析，因?yàn)樵诋?dāng)時(shí)比利時(shí)的工業(yè)飛速發(fā)展，經(jīng)過分析，因?yàn)樵诋?dāng)時(shí)比利時(shí)的工業(yè)飛速發(fā)展，使得比利時(shí)有足夠的財(cái)富供養(yǎng)更多的人口。因使得比利時(shí)有足夠的財(cái)富供養(yǎng)更多的人口。因此，對(duì)比利時(shí)的此，對(duì)比利時(shí)的Logistic人口模型中的生命系人口模型中的生命系數(shù)數(shù)b應(yīng)作適當(dāng)調(diào)整，即減小應(yīng)作適當(dāng)

23、調(diào)整，即減小b值。值。v 法國法國1930年人口總數(shù)同年人口總數(shù)同Verhulst的預(yù)測(cè)十分的預(yù)測(cè)十分一致。這又證明了一致。這又證明了Logistic人口模型的正確性。人口模型的正確性。人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型28三、中國特色的簡單人口模型三、中國特色的簡單人口模型人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型29 模型背景模型背景v問題問題:1994年年3月月7日日揚(yáng)子晚報(bào)揚(yáng)子晚報(bào)登載登載“ 中國社會(huì)中國社會(huì)科學(xué)院最近預(yù)測(cè)，今年我國總?cè)丝趯⒊^科學(xué)院最近預(yù)測(cè)，今年我國總?cè)丝趯⒊^12億億，據(jù)國家計(jì)生委估計(jì)，中國總?cè)丝诜逯的晔菗?jù)國家計(jì)生委估計(jì)，中國總?cè)丝诜逯的晔?044年，年，峰值人口達(dá)峰值人口達(dá)15.6億或億或15.7億

24、。人口增長到億。人口增長到頂峰頂峰后，就有可能走后，就有可能走下坡路下坡路，出現(xiàn)下降趨勢(shì)。，出現(xiàn)下降趨勢(shì)?！眝即即2044年后我國總?cè)丝跀?shù)將減少。年后我國總?cè)丝跀?shù)將減少。v則前面的數(shù)學(xué)模型都不合適，因?yàn)樗鼈兌际菃握{(diào)上則前面的數(shù)學(xué)模型都不合適，因?yàn)樗鼈兌际菃握{(diào)上升的（只要升的（只要N00 tt*=2044 r(t)=N(t)-1dN/dt =0 t=t* t* v而前面的模型中而前面的模型中dN/dt0,v為此我們修改模型，最簡單的是選取為此我們修改模型，最簡單的是選取 dN(t)/dt=r(t)N(t)中的中的r為為 r(t)=r-B(t-t0)，v 其中其中r,B為參數(shù)。這樣得到新的數(shù)學(xué)模型

25、為參數(shù)。這樣得到新的數(shù)學(xué)模型: dN/dt=r-B(t-t0)N(t) N(t0)=N0 人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型31特色模型求解特色模型求解 v 下面根據(jù)下面根據(jù)t0=1994時(shí)時(shí)N0=12億及到億及到2044年人口達(dá)年人口達(dá)高峰并開始下降來估算高峰并開始下降來估算r，B，并預(yù)測(cè)今后一些年的，并預(yù)測(cè)今后一些年的人口總量人口總量v 在在2044年人口達(dá)最大值時(shí)，年人口達(dá)最大值時(shí)，dN(t)/dt|t=2044=0，由，由此算出此算出 r-B(2044-1994)=0, B=r/50 v代入模型公式解得代入模型公式解得: N(t)=Cexprt-(t-t0)2/100,v代人初始條件得到：代人初始條

26、件得到： N(t)=N0expr(t-t0)1-(t-t0)/100人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型32人口預(yù)測(cè)人口預(yù)測(cè)v以以t0=1994，N0=12億，及億，及t=2044代入得代入得 N(2044)=N0e 25r=12e25rv取取r=0.01，算得，算得 N(2044)=15.41億億v取取r=0.011，得，得 N(2044)=15.8億。億。 這個(gè)數(shù)值與計(jì)劃生育委員會(huì)的預(yù)測(cè)基本一致。這個(gè)數(shù)值與計(jì)劃生育委員會(huì)的預(yù)測(cè)基本一致。v由由r=0.011，B=r/50，預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)1995，2000，2054，2094年的人口為年的人口為 N(1995)=1213億億 N(2000)=12768億億 N(

27、2054)=15626億億 N(2094)=12億億人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型33評(píng)評(píng) 注注:v (1) 解決一個(gè)實(shí)際問題所建立的數(shù)學(xué)模型不是一解決一個(gè)實(shí)際問題所建立的數(shù)學(xué)模型不是一成不變的，應(yīng)隨情況的改變而改變。一個(gè)國家工成不變的，應(yīng)隨情況的改變而改變。一個(gè)國家工業(yè)化的發(fā)展，環(huán)境污染狀況以及社會(huì)風(fēng)尚，人口業(yè)化的發(fā)展，環(huán)境污染狀況以及社會(huì)風(fēng)尚，人口素質(zhì)等因素都對(duì)生命系數(shù)素質(zhì)等因素都對(duì)生命系數(shù)r和和b有重大影響。因此，有重大影響。因此，這些系數(shù)隨著時(shí)間的推移每過幾年都應(yīng)重新估計(jì)這些系數(shù)隨著時(shí)間的推移每過幾年都應(yīng)重新估計(jì)一次。一次。v (2) 在上述模型中，把人口總數(shù)看作處于同等地在上述模型中，把人口總

28、數(shù)看作處于同等地位的成員組成的。嚴(yán)格說來是不對(duì)的。位的成員組成的。嚴(yán)格說來是不對(duì)的。人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型34 模型的進(jìn)一步考慮模型的進(jìn)一步考慮v建立更精確的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)當(dāng)根據(jù)成員的年齡分組。建立更精確的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)當(dāng)根據(jù)成員的年齡分組。因?yàn)樾∮谟g階段的成員和大于育齡階段的成員均因?yàn)樾∮谟g階段的成員和大于育齡階段的成員均不能生育，而在育齡階段的成員在不同的年齡段的不能生育，而在育齡階段的成員在不同的年齡段的生育能力也有大小之分。生育能力也有大小之分。v 另外還應(yīng)當(dāng)把人口總數(shù)的成員按男性和女性分另外還應(yīng)當(dāng)把人口總數(shù)的成員按男性和女性分開，因?yàn)榭倲?shù)增長率在較大程度上取決于女性的數(shù)開，因?yàn)榭倲?shù)增長

29、率在較大程度上取決于女性的數(shù)目而不是取決于男性的數(shù)目。因而得到目而不是取決于男性的數(shù)目。因而得到Leslie模型模型和女性繁殖模型。和女性繁殖模型。 人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型35四、四、Leslie 離散人口模型離散人口模型人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型36四、四、Leslie 離散模型離散模型v前面的模型沒有考慮到社會(huì)成員之間的個(gè)體差異，即前面的模型沒有考慮到社會(huì)成員之間的個(gè)體差異，即不同年齡、不同體質(zhì)的人在死亡、生育方面存在的差不同年齡、不同體質(zhì)的人在死亡、生育方面存在的差異。完全忽略這些差異顯然是不合理的。異。完全忽略這些差異顯然是不合理的。v但我們不可能對(duì)每個(gè)人的情況逐個(gè)加以考慮，故僅考但我們不可能

30、對(duì)每個(gè)人的情況逐個(gè)加以考慮，故僅考慮年齡的差異對(duì)人口變動(dòng)的影響，即假設(shè)同一年齡的慮年齡的差異對(duì)人口變動(dòng)的影響，即假設(shè)同一年齡的人有相同的死亡概率和生育能力。這樣建立的模型不人有相同的死亡概率和生育能力。這樣建立的模型不但使我們能夠更細(xì)致的預(yù)測(cè)人口總數(shù)，而且能夠預(yù)測(cè)但使我們能夠更細(xì)致的預(yù)測(cè)人口總數(shù)，而且能夠預(yù)測(cè)老年人口、勞動(dòng)力人口、學(xué)齡人口等不同年齡組的人老年人口、勞動(dòng)力人口、學(xué)齡人口等不同年齡組的人口信息。口信息。人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型37 1. 模型建立模型建立v 設(shè)設(shè)xk(t)為第為第t年年齡為年年齡為k的人口數(shù)量的人口數(shù)量, k=0，1，2，100， 即忽略百歲以上的人口。即忽略百歲以上的

31、人口。v如果知道了第如果知道了第t年各年齡組的人口數(shù)，各年齡年各年齡組的人口數(shù)，各年齡組人口的生育及死亡狀態(tài)，就可以根據(jù)人口發(fā)組人口的生育及死亡狀態(tài)，就可以根據(jù)人口發(fā)展變化規(guī)律推得第展變化規(guī)律推得第t+l年各年齡組的人口數(shù)。年各年齡組的人口數(shù)。人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型38 k歲人口死亡率歲人口死亡率 和和k歲育齡婦女年生育率歲育齡婦女年生育率 首先引入首先引入k歲人口的死亡率和歲人口的死亡率和k歲育齡婦女歲育齡婦女的年生育率這兩個(gè)概念的年生育率這兩個(gè)概念vk歲人口的年死亡率歲人口的年死亡率dk =一年內(nèi)一年內(nèi)k歲的死亡人數(shù)歲的死亡人數(shù)/這年內(nèi)這年內(nèi)k歲的人口數(shù)歲的人口數(shù)vk歲婦女的年生育率歲婦女的

32、年生育率bk=一年內(nèi)一年內(nèi)k歲婦女生育嬰兒數(shù)歲婦女生育嬰兒數(shù)/這年內(nèi)這年內(nèi)k歲婦女人數(shù)歲婦女人數(shù)人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型39Leslie人口模型公式人口模型公式v第第t+l年年k+1歲的人口數(shù)就是第歲的人口數(shù)就是第t年年k歲的人口數(shù)扣除它歲的人口數(shù)扣除它在該年的死亡人數(shù)在該年的死亡人數(shù)，即即 xk+1(t+1)=(1-dk)xk(t)，v 令令pk=1-dk稱為稱為k歲人口的存活率，故各年齡組人口歲人口的存活率，故各年齡組人口隨時(shí)間變化規(guī)律可用遞推公式隨時(shí)間變化規(guī)律可用遞推公式 x k+1(t+l)=pkxk(t) (k=0，1，99) 來表示。再考慮到零歲的人數(shù)來表示。再考慮到零歲的人數(shù) x0(

33、t+l)=bkxk(t)/2, 其中其中xk(t)/2為第為第t年年k歲婦女?dāng)?shù)。歲婦女?dāng)?shù)。v由此得到的人口模型是由此得到的人口模型是 x0(t+1) = bkxk(t)/2 x k+1(t+1) = pkxk(t), k=0，1，99 (1)人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型40人口模型的矩陣形式人口模型的矩陣形式v根據(jù)人的生理特征，婦女的育齡區(qū)間一般取為根據(jù)人的生理特征，婦女的育齡區(qū)間一般取為15歲至歲至49歲，歲，v即當(dāng)即當(dāng)k49時(shí)，時(shí)，bk=0。v令令 Xk(t)=(x0(t),x1(t),，xk(t)，,x100(t)T b0/2 b1/2 b2/2 . . b99/2 b100/2 p0 0 0

34、0 0 L= 0 p1 0 0 0 0 0 0 p99 0人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型41v則人口模型則人口模型(1)的矩陣形式為的矩陣形式為 X(t+1)=LX(t) (2) 其中其中L稱為稱為Leslie矩陣。矩陣。v當(dāng)?shù)诋?dāng)?shù)趖0年人口已知時(shí)，就可以推得年人口已知時(shí)，就可以推得 X(t)=L t-t0 X(t0)人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型42 2.人口預(yù)測(cè)人口預(yù)測(cè)v 利用模型利用模型(2)及及1982年人口普查數(shù)據(jù)對(duì)我國的年人口普查數(shù)據(jù)對(duì)我國的人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)所得的結(jié)果如表人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)所得的結(jié)果如表2所示，從所示，從1983年到年到1990年這年這8年的對(duì)比看來，用模型年的對(duì)比看來，用模型(2)預(yù)測(cè)

35、的結(jié)果還是令人滿意的。預(yù)測(cè)的結(jié)果還是令人滿意的。人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型43 表表2 我國人口預(yù)測(cè)我國人口預(yù)測(cè)年年 份份Malthus模型預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)Logistic模型預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)Leslie模型預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)實(shí)際實(shí)際統(tǒng)計(jì)值統(tǒng)計(jì)值1 9 8 2 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 2000 2010 2020 2030 2040 2 0 5 010.154110.297210.442410.589610.738910.890311.043911.119611.357513.064215.027417.285619.883222.871126.308110

36、.154110.256410.359410.463110.567310.672110.777510.883510.990112.087113.235714.427615.652916.900918.159510.154110.305810.456110.606810.761510.923011.096111.281211.475713.562015.090516.796418.494019.751921.262210.154110.249510.347510.453210.572110.724010.897811.067611.336812.9533 人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型44v 但長期發(fā)展下去

37、，人口數(shù)量仍然偏多，不甚合但長期發(fā)展下去，人口數(shù)量仍然偏多，不甚合理。理。v其主要原因是在預(yù)測(cè)過程中，始終用其主要原因是在預(yù)測(cè)過程中，始終用1982年生育年生育率與死亡率來代替以后各年的生育率與死亡率。率與死亡率來代替以后各年的生育率與死亡率。而而1982年育齡婦女的生育率很高，按照年育齡婦女的生育率很高，按照1982年的年的生育狀況，每對(duì)夫婦一生中平均要生育生育狀況，每對(duì)夫婦一生中平均要生育2.63個(gè)孩個(gè)孩子，且生育高峰集中在子，且生育高峰集中在25歲左右，這勢(shì)必導(dǎo)致人歲左右，這勢(shì)必導(dǎo)致人口的大量增加，因而得到人口的預(yù)測(cè)值比較大?？诘拇罅吭黾?，因而得到人口的預(yù)測(cè)值比較大。人口與社會(huì)的數(shù)學(xué)模型

38、45 3.3.人口控制人口控制v人口預(yù)測(cè)的反問題是人口控制問題人口預(yù)測(cè)的反問題是人口控制問題:應(yīng)調(diào)節(jié)哪些因素，應(yīng)調(diào)節(jié)哪些因素，才能使我國人口發(fā)展到一個(gè)合理水平才能使我國人口發(fā)展到一個(gè)合理水平?v從模型從模型(2)看，各年齡組人口的數(shù)量由看，各年齡組人口的數(shù)量由x(t0),bk,dk所所確定，其中確定，其中x(t0)是人口的現(xiàn)實(shí)狀態(tài)，人們無法改變，是人口的現(xiàn)實(shí)狀態(tài)，人們無法改變，死亡率死亡率dk己經(jīng)到了較低水平，改變也不會(huì)太多，現(xiàn)己經(jīng)到了較低水平，改變也不會(huì)太多，現(xiàn)實(shí)可行途徑是調(diào)節(jié)生育率實(shí)可行途徑是調(diào)節(jié)生育率bk。v在這兒我們采取一個(gè)比較簡單的方法，即假設(shè)各年在這兒我們采取一個(gè)比較簡單的方法，即假設(shè)各年齡組婦女的生育率均在齡組婦女的生育率均在1982年人口普查數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)年人口普查數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上同乘一個(gè)比例常數(shù)上同乘一個(gè)比例常數(shù)r，看長期發(fā)展下去這個(gè)常數(shù)取，看長