差分方程模型(講義).

1、差分方程模型一.引言數(shù)學(xué)模型按照離散的方法和連續(xù)的方法，可以分為離散模型和連續(xù)模型。1. 確定性連續(xù)模型1）微分法建模（靜態(tài)優(yōu)化模型），如森林救火模型、血管分支模型、最優(yōu)價(jià) 格模型。2）微分方程建模（動(dòng)態(tài)模型），如傳染病模型、人口控制與預(yù)測(cè)模型、經(jīng)濟(jì) 增長(zhǎng)模型。3）穩(wěn)定性方法建模（平衡與穩(wěn)定狀態(tài)模型），如軍備競(jìng)賽模型、種群的互相 競(jìng)爭(zhēng)模型、種群的互相依存模型、種群弱肉強(qiáng)食模型。4）變分法建模（動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型），如生產(chǎn)計(jì)劃的制定模型、國(guó)民收入的增 長(zhǎng)模型、漁業(yè)資源的開(kāi)發(fā)模型。2. 確定性離散模型1）邏輯方法建模，如效益的合理分配模型、價(jià)格的指數(shù)模型。2）層次分析法建模，如旅游景點(diǎn)的選擇模型、科研成

2、果的綜合評(píng)價(jià)模型。3）圖的方法建模，如循環(huán)比賽的名次模型、紅綠燈的調(diào)節(jié)模型、化學(xué)制品 的存放模型。4）差分方程建模，如市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型、交通網(wǎng)絡(luò)控制模型、借貸模 型、養(yǎng)老基金設(shè)置模型、人口的預(yù)測(cè)與控制模型、生物種群的數(shù)量模型。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們將愈來(lái)愈多的遇到離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的問(wèn)題， 差分方 程就是建立離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的有效方法。在一般情況下，動(dòng)態(tài)連續(xù)模型用微分方程方法建立， 與此相適應(yīng)，當(dāng)時(shí)間變 量離散化以后，可以用差分方程建立動(dòng)態(tài)離散模型。 有些實(shí)際問(wèn)題既可以建立連 續(xù)模型，又可建立離散模型，究竟采用那種模型應(yīng)視建模的目的而定。例如，人 口模型既可建立連續(xù)模型（其中有馬爾薩斯模型

3、 Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模 型），又可建立人口差分方程模型。這里講講差分方程在建立離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué) 模型的的具體應(yīng)用。.差分方程簡(jiǎn)介在實(shí)際中，許多問(wèn)題所研究的變量都是離散的形式， 所建立的數(shù)學(xué)模型也是 離散的，譬如，像政治、經(jīng)濟(jì)和社會(huì)等領(lǐng)域中的實(shí)際問(wèn)題。有些時(shí)候，即使所建 立的數(shù)學(xué)模型是連續(xù)形式，例如像常見(jiàn)的微分方程模型、積分方程模型等。但是, 往往都需要用計(jì)算機(jī)求數(shù)值解。這就需要將連續(xù)變量在一定的條件下進(jìn)行離散 化，從而將連續(xù)型模型轉(zhuǎn)化為離散型模型。因此，最后都?xì)w結(jié)為求解離散形式的 差分方程解的問(wèn)題。關(guān)于差分方程理論和求解方法在數(shù)學(xué)建模和解決實(shí)際問(wèn)題的 過(guò)程中起著重要作用

4、。1.差分方程的定義給定一個(gè)數(shù)列把數(shù)列中的前n 1項(xiàng)Xi （i= 0,1,2,，n）關(guān)聯(lián)起來(lái)得到的方程，則稱這個(gè)方程為差分方程。2.常系數(shù)線性齊次差分方程常系數(shù)線性齊次差分方程的一般形式為或者表示為Xn ax a2Xnd -akXy = 0，F(xiàn)(n,Xn,Xn i, ,Xn Q =0(1)(T)其中k為差分方程的階數(shù)，其中a-i,a2/ ,ak為差分方程的系數(shù)，且ak = 0（k込n）。 對(duì)應(yīng)的代數(shù)方程沾+ak+a2扎心+ak = 0（2）稱為差分方程（1）的對(duì)應(yīng)的特征方程。（2）式中的k個(gè)根、，2,稱為（1）式的特 征根 2.1差分方程的解常系數(shù)線性齊次差分方程的解主要是由相應(yīng)的特征根的不同

5、情況有不同的形 式。下面分別就特征根為單根、重根和復(fù)根的情況給出方程解的形式。2.1.1特征根為單根（互不相同的根）設(shè)差分方程（1）有 k個(gè)單特征根（互不相同的根）1, 2 / , k，貝UnnnXn* C2 J 亠亠 Ck k為該差分方程 的通解。其中G,C2,，Ck為任意常數(shù)，且當(dāng)給定初始條件Xi =x(0)，(i =1,2,k)時(shí)，可以確定一個(gè)特解。例1在信道上傳輸三個(gè)字母a,b,c且長(zhǎng)度為n的詞，規(guī)定有兩個(gè)a連續(xù)出現(xiàn) 的詞不能傳輸，試確定這個(gè)信道允許傳輸?shù)脑~的個(gè)數(shù)。解：令Xn表示允許傳輸且長(zhǎng)度為為n的詞的個(gè)數(shù)，n =1,2,3/，通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可得 xi =3， (a,b,c), x2

6、=8(即卩 ab,ac, bc, bb,cc,ba,ca,cb)當(dāng)n _3時(shí)，若詞的第一個(gè)字母是b或c，則詞可按Xnd種方式完成；若詞的第一個(gè)字母是a，則第二個(gè)字母是b或c，該詞剩下的部分可按Xn種方式完成。于是得差分方程Xn = 2Xn+2Xn_2(n = 3,4,)其特征方程為丸一2扎一2 = 0，特征根為7 r = 1 + 吋 3，入 2 = 1 _ V3則通解為Xn =G(1+V3)n +C2(1V3)n，(n =3,4,)利用條件Xi =3，X2 =8求參數(shù)C1， C2，即由3(1 +V3) +c2(1 _ J3) =3Jg(1 +V3)2 +c2(1 J3)2 =8解得2+73-2

7、 + J3G 一廠,c2 -廠2*32J3故得到原差分方程的通解為2，3 n2 亠.3 nXn 二(1、3)n(1- .3)n，(n =1,2,3,4,)2 32.32.1.2特征根為重根設(shè)仆2,I是 k階差分方程xnXn-a2Xn,akxn上=0的I1（1乞丨乞k）個(gè)根，重?cái)?shù)分別為m1,m2/ ,ml，且mk，則該差分方程的通解 i=1為mim2m|i_!in -i_lin-ii.nxn 八 5nc2in 匕cli n li=1i 4i=1同樣的，有給定的初始條件（3）可以唯一確定一個(gè)特解例2設(shè)初始值為Xo = 1, Xi = 0, X2 = 1, X3 = 2，解差分方程XnXn-3人上-

8、5Xn-2Xn =0 ,（n =4,5,）解：該差分方程的特征方程為432 35，_2二0 ，解得其根為-1,-1,-1,2，故通解為Xn =G(-1)n C2 n(-1)n C3 n2(-1)n C42n代入初始條件X0 = 1, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2，得422910C1 =52C152C3 _ 52，52故該差分方程的滿足初始條件的解為525252522.1.3特征根為復(fù)根設(shè)k階差分方程Xn a1Xn4 a2 Xn 2 ak Xn止=0的一對(duì)共軛復(fù)根二和相異的k-2個(gè)單根3, 4 k，則該差分方程的通解為xn =C|n cosn 丁c2： nsinn 丁Cs 3c4

9、 ；ck：, B其中_: 2，二-arctan_。ot同樣由給定的初始條件(3)可以唯一確定一個(gè)特解。另外，對(duì)于有多個(gè)共軛復(fù)根和相異實(shí)根，或共軛復(fù)根和重根的情況，都可類 似的給出差分方程解的形式。3. 常系數(shù)線性非齊次差分方程常系數(shù)線性非齊次差分方程的一般形式為Xn aiXn a2Xn,akx.上二 f(n)其中k為差分方程的階數(shù)，其中ai,a2,，ak為差分方程的系數(shù)，且ak = O(km n)， f(n)為已知函數(shù)。在差分方程中，令f(n) =0,所得方程Xn aiXn a2Xn上亠亠 akXn =0(5)稱為非齊次差分方程 對(duì)應(yīng)的齊次差分方程，即與差分方程(1)的形式相同。求解非齊次差分

10、方程通解的一般方法：首先求對(duì)應(yīng)的齊次差分方程(5)的通解X；,然后求非齊次差分方程(4)的一個(gè) 特解x；0)，則X x； - x；0)為非齊次差分方程(4)的通解。關(guān)于求x；的方法同求差分方程(1)的方法相同。對(duì)于求非齊次方程(4)的特解 x；0)的方法，可以用觀察法確定，也可以根據(jù)f( n)的特性用待定系數(shù)法確定，具 體方法可參照常系數(shù)線性非齊次微分方程求特解的方法。4. 差分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性在應(yīng)用差分方程研究問(wèn)題時(shí)，一般不需要求出方程的通解，在給定初值后， 通?？捎糜?jì)算機(jī)迭代求解，但常常需要討論解的穩(wěn)定性。對(duì)于差分方程F( n,Xn，Xni,，XnQ =0，若有常數(shù)a是其解，即有F(

11、 n,a,a, ,a) = 0則稱a是差分方程F(n,x；,x；i,，x； Q = 0的平衡點(diǎn)，又對(duì)該差分方程的任意由初始條件確定的解Xn =x(n)，均有l(wèi)im xn = an_.則稱這個(gè)平衡點(diǎn)a是穩(wěn)定的；否則是不穩(wěn)定的。 下面給出一些特殊差分方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性。4.1 一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為Xn 1 aXn 二 b，其中a,b為常數(shù)，且a -1,0。它的通解為Xn =C(-a)na +1易知丄是方程(6)的平衡點(diǎn)，由 式知，當(dāng)且僅當(dāng) a +1a1時(shí)，一是方程(6)的穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。a +14.2二階常系數(shù)線性差分方程(8)二階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為

12、Xn 2 aXn 1 bXn = r，其中a,b,r為常數(shù)，當(dāng)r =0時(shí)，它有一特解*X = 0， 當(dāng)r = 0，且a b 0時(shí)，它有一特解* rxa+b+1不管是哪種情形，X*是方程(8)的平衡點(diǎn)。設(shè)方程(8)的特征方程為的兩個(gè)根分別為，二、，=2，貝U 當(dāng)1, 一是兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，方程(8)的通解為*n-nXn =XC1C1) C2C2)； 當(dāng)r =，2二，是兩個(gè)相同實(shí)根時(shí)，方程(8)的通解為Xn =(G 亠 C2 n) n 當(dāng),2= P(cos日+isinT)是一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，方程(8)的通解為Xn = x(Ci cosn ： C2 sinnR易知，當(dāng)且僅當(dāng)特征方程的任一特征根 R 1

13、時(shí)，方程(9)的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。三.差分方程建模實(shí)例1.貸款買房問(wèn)題某居民買房向銀行貸款6萬(wàn)元，利息為月利率1%,貸款期為25年，要求建 立數(shù)學(xué)模型解決如下問(wèn)題：1) 問(wèn)該居民每月應(yīng)定額償還多少錢？2) 假設(shè)此居民每月可節(jié)余700元，是否可以去買房？1.1確定參變量：用n表示月份，An表示第n個(gè)月欠銀行的錢，r表示月 利率，x表示每月還錢數(shù)，A0表示貸款額。1.2模型的建立與求解1)模型的建立時(shí)間欠銀行款初始Ao一個(gè)月后A = A。(1 r) x二個(gè)月后A2 = A (1 r) x三個(gè)月后aA = A2 (1 r)xan個(gè)月后An 二 An_1(1r) -x由上表可得相鄰兩個(gè)月的遞推關(guān)系式A

14、n 二 An(1 r) -x1.3模型的求解：(1)差分方程求解方法先求其特解。令A(yù)n二代二y，則y二y(1 r) - X，得特解為y二上r再求對(duì)應(yīng)齊次方程 人=代丄(1 r)的通解。對(duì)應(yīng)的特征方程為 -(1 r) =0，得=(1 - r)。齊次方程的通解為：c(V r)n因此原方程的通解為：An 二 c(1 r)n r又因?yàn)閚 = 0時(shí)=A，得c = A。- Xr故t (1+rJ1-1An = Ao(1 +r f -Xr(2)遞推法:An =Ao(1 r)n -x,n1.,n1 r j 亠 亠1 rA0 1 r(1 + r )n -1-xrA0(1+r)nX _ 1 r n 一1,30060

15、000(1+0.01)300.(1+0.01) -1632元A0 =60000, A300 = 0 , n =300, r =0.01001因此，該居民每月應(yīng)償還632元。又632 0，加上初始條件x(0) = x?？傻梦磥?lái)任意時(shí)刻群數(shù)量所滿足的數(shù)學(xué)模型為:dxxmx(O) = Xo2.由于是利用種群繁殖周期作為時(shí)段來(lái)研究種群增長(zhǎng)狀況，則令:trt視為整數(shù)及r(x)=r_ x代入方程(1) 得:Xmrx(t 1)-x(t) =(r )x(t)Xm加上初始條件x(0) =Xo得任意時(shí)刻t種群數(shù)量所滿足的離散型數(shù)學(xué)模型為x(t 1) = (r 1 - r )x(t)(Xmx(0) = X。通過(guò)這個(gè)

16、差分方程就可以很容易得到任意時(shí)刻 t種群的數(shù)量。三.模型求解1.利用Mathematica求解方程(1)，可得任意時(shí)刻t種群數(shù)量為x(t)二XmXmX0丿Mathematic a源程序?yàn)?DSolvgx (t) _ r* (1 _xt/xm)*xt = 0,xt,t2.根據(jù)方程(2),只要給出初值X。就可以很容易進(jìn)行遞推而得到任意時(shí)刻群的數(shù)量。四.結(jié)果分析281. 上面方程（3）有時(shí)稱為阻滯增長(zhǎng)模型或Logistic模型，它有著廣泛的應(yīng)用。 例如傳染病在封閉地區(qū)的傳播，耐用消費(fèi)品在有限的市場(chǎng)上的銷售等現(xiàn)象，都可 以合理的、簡(jiǎn)化的用這個(gè)模型來(lái)進(jìn)行描述。但它存在不足，因?yàn)殡S著環(huán)境的變遷， 最大種群

17、容量可能會(huì)發(fā)生變化，而且最大種群容量也不容易準(zhǔn)確得到。2. 一方面，用離散化的時(shí)間來(lái)研究問(wèn)題有時(shí)是很方便的，尤其出現(xiàn)了計(jì)算機(jī) 以后，人們可以很方便的對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解；另一方面，對(duì)這個(gè)種群數(shù)量問(wèn)題，由 于許多種群實(shí)際上是由單一世代構(gòu)成的， 在相繼的世代之間幾乎沒(méi)有重疊，所以 種群的增長(zhǎng)是分步進(jìn)行的。這種情況下，為了準(zhǔn)確的描述種群的數(shù)量動(dòng)態(tài)就不能 用微分方程，而應(yīng)利用離散的模型來(lái)描述。4. 人口的控制與預(yù)測(cè)模型一. 問(wèn)題的提出常見(jiàn)的兩個(gè)常微分方程模型（馬爾薩斯（Malthus）模型和洛杰斯蒂克（Logistic） 模型）沒(méi)有考慮到社會(huì)成員之間的個(gè)體差異，即不同年齡、不同體質(zhì)的人在死亡、 生育方面存在

18、的差異。完全忽略了這些差異顯然是不合理的。但我們不可能對(duì)每 一個(gè)人的情況逐個(gè)加以考慮，故僅考慮年齡的差異對(duì)人口的變動(dòng)的影響，即假設(shè)同一年齡的人具有相同的死亡率和生育能力，這樣建立的模型不但使我們能夠更 細(xì)致的預(yù)測(cè)人口總數(shù)，而且能夠預(yù)測(cè)老年人口、勞動(dòng)力人口、學(xué)齡人口等不同年 齡組的人口信息.下面來(lái)建立離散的差分?jǐn)?shù)學(xué)模型來(lái)表現(xiàn)人口數(shù)量的變化規(guī)律。二. 模型的建立與求解設(shè)x/t）為第t年年齡為k的人口數(shù)量，k =0,1,2,10 0,即忽略百歲以上的 人口。如果知道了第t年各年齡組的人口數(shù)，各年齡組人口的生育及死亡狀態(tài)， 就可以根據(jù)人口發(fā)展變化規(guī)律推得第t 1年各年齡組的人口數(shù)。首先引入k歲人口的死

19、亡率和k歲育齡婦女的年生育率這兩個(gè)概念，他們的含義和記號(hào)如下:k歲人口的年死亡率:dk一年內(nèi)k歲的死亡人數(shù)這年內(nèi)k歲的人口數(shù)k歲婦女的年生育率:bk一年內(nèi)k歲婦女生育的嬰兒數(shù)這年內(nèi)k歲婦女人數(shù)第t 1年k 1歲的人口數(shù)就是第t年k歲人口數(shù)扣除它在該年的死亡人數(shù), 即Xki(t 1) =(1-dk)Xk(t)，令pk =1 - dk稱為k歲人口的存活率，故各年齡組人口隨時(shí)間的變化規(guī)律可用遞推公式Xk i(t 1) = PkXk(t) , (k =0,1,99)來(lái)表示。再考慮到零歲的人數(shù)100Xo(t 1)=為 bkUk(t)Xk(t)，k=0其中Uk(t)Xk (t)為第t年k歲的婦女人數(shù)，Uk (t)為第t年k歲人口的女性比(占全部k歲人口數(shù))，bkUk(t)Xk(t)就是第t年k歲婦女所生育的嬰兒數(shù)由此得到的人口模型是：100Xo(t 1)-為 bkUk(t)Xk(t)“心(1)x“(t +1) = PkXk(t) , k =0,1，,99根據(jù)人的生理特征和人口學(xué)中的習(xí)慣，婦女的育齡區(qū)間一般取為15歲至49歲之 間，即當(dāng)k % = (1)Xo