微積分上課件

1、公共郵箱：公共郵箱：, , Key:1 Key人郵箱：私人郵箱：hanshu_hanshu_請每個小班的數(shù)學(xué)課代表將電話號碼給我請每個小班的數(shù)學(xué)課代表將電話號碼給我電話：電話：1. 分析基礎(chǔ)分析基礎(chǔ): 函數(shù)函數(shù) , 極限極限, 連續(xù)連續(xù) 2. 微積分學(xué)微積分學(xué): 一元微積分一元微積分(上冊上冊)(下冊下冊)3. 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何4. 無窮級數(shù)無窮級數(shù)5. 常微分方程常微分方程主要內(nèi)容主要內(nèi)容多元微積分多元微積分每學(xué)期每學(xué)期8888學(xué)時學(xué)時答疑、作業(yè)、考試答疑、作業(yè)、考試1、答疑；2、作業(yè)星期一交3、期中考試12月2日上午（2個小時） 期末考

2、試1月22日上午（兩個半小時，閉卷）注意課程資料：注意課程資料： 練習(xí)冊（上）練習(xí)冊（下）練習(xí)冊（上）練習(xí)冊（下）期中期末統(tǒng)考試題期中期末統(tǒng)考試題12套及解答（近套及解答（近3年）年）微積分學(xué)教材習(xí)題解答微積分學(xué)教材習(xí)題解答同步輔導(dǎo)同步輔導(dǎo)B類題解答類題解答共共25元，以班為單位購買元，以班為單位購買時間：今天、明天下午時間：今天、明天下午2：30-5：30， 晚上晚上6：30-9：30地點：科技樓南樓地點：科技樓南樓711室室共五種共五種微積分的學(xué)習(xí)微積分的學(xué)習(xí)1、學(xué)習(xí)、學(xué)習(xí)2、悟道、悟道3、應(yīng)用、應(yīng)用聊天聊天初等數(shù)學(xué) 研究對象為常量常量, 以靜止觀點研究問題.高等數(shù)學(xué) 研究對象為變量變量,

3、 運動運動和辯證法辯證法進入了數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)變數(shù).有了變數(shù) , 運動運動進入了數(shù)學(xué),有了變數(shù)，辯證法辯證法進入了數(shù)學(xué) ,有了變數(shù) , 微分和積分微分和積分也就立刻成為必要的了,而它們也就立刻產(chǎn)生. 恩格斯恩格斯一、微積分的學(xué)習(xí)二、如何學(xué)習(xí)微積分 ?1. 認(rèn)識高等數(shù)學(xué)的重要性, 培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣.2. 學(xué)數(shù)學(xué)最好的方式是做數(shù)學(xué).聰明在于學(xué)習(xí) , 天才在于積累 .學(xué)而優(yōu)則用 , 學(xué)而優(yōu)則創(chuàng) .由薄到厚 , 由厚到薄 .馬克思 恩格斯要辨證而又唯物地了解自然 ,就必須熟悉數(shù)學(xué).一門科學(xué), 只有當(dāng)它成功地運用數(shù)學(xué)時,才能達到真正完善的地步 .華羅庚給出了幾何問題的統(tǒng)一笛卡兒

4、笛卡兒 (15961650)法國哲學(xué)家, 數(shù)學(xué)家, 物理學(xué)家, 他 是解析幾何奠基人之一 . 1637年他發(fā)表的幾何學(xué)論文分析了幾何學(xué)與 代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點, 進而提出了 “ 另外 一種包含這兩門科學(xué)的優(yōu)點而避免其缺點的方法”, 從而提出了解析幾何學(xué)的主要思想和方法, 恩格斯把它稱為數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點.把幾何問題化成代數(shù)問題 ,作圖法,華羅庚華羅庚(19101985)我國在國際上享有盛譽的數(shù)學(xué)家.他在解析數(shù)論,自守函數(shù)論,高維數(shù)值積分等廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中,程,都作出了卓越的貢獻 ,發(fā)表專著與學(xué)術(shù)論文近 300 篇.偏微分方多復(fù)變函數(shù)論,矩陣幾何學(xué), 典型群,他對青年學(xué)生的成長非常關(guān)心, 他提出治學(xué)之道是

5、 “ 寬寬, 專專, 漫漫 ”, 即基礎(chǔ)要寬, 專業(yè)要專, 要使自己的專業(yè)知識漫到其它領(lǐng)域.1984年來中國礦業(yè)大學(xué)視察時給給師生題詞: “ 學(xué)而優(yōu)則用學(xué)而優(yōu)則用, 學(xué)而優(yōu)則創(chuàng)學(xué)而優(yōu)則創(chuàng) ”. 數(shù)學(xué)的真正劃分不是分為幾何和算術(shù)，而是分成普遍的和特殊的。這普遍的東西是由兩個包羅萬象的思想家，牛頓和萊布尼茨提供的。二、微積分的歷史是什么二、微積分的歷史是什么 數(shù)學(xué)和科學(xué)中的巨大進展，幾乎總是建立在數(shù)學(xué)和科學(xué)中的巨大進展，幾乎總是建立在幾百年中作出一點一滴貢獻的許多人的工作之上幾百年中作出一點一滴貢獻的許多人的工作之上的。需要有一個人來走那最高和最后的一步，這的。需要有一個人來走那最高和最后的一步，

6、這個人要能足夠敏銳地從紛亂的猜測和說明中清理個人要能足夠敏銳地從紛亂的猜測和說明中清理出前人的有價值的想法，有足夠想象力地把這些出前人的有價值的想法，有足夠想象力地把這些碎片重新組織起來，并且能足夠大膽地制定一個碎片重新組織起來，并且能足夠大膽地制定一個宏偉的計劃。在微積分中，這個人就是牛頓。宏偉的計劃。在微積分中，這個人就是牛頓。 牛頓（牛頓（16421727年），年），英國數(shù)學(xué)家、英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、自然哲學(xué)家。物理學(xué)家、天文學(xué)家、自然哲學(xué)家。生于英生于英格蘭格蘭林肯郡伍爾索普林肯郡伍爾索普的一個小村莊里。他的的一個小村莊里。他的母親在那里管理著丈夫遺留下來的農(nóng)莊，他母親在那里

7、管理著丈夫遺留下來的農(nóng)莊，他父親是在他出生前兩個月去世的。父親是在他出生前兩個月去世的。 少年時期，牛頓在一個低標(biāo)準(zhǔn)的地方學(xué)校接少年時期，牛頓在一個低標(biāo)準(zhǔn)的地方學(xué)校接受教育，而且是一個除了對機械有興趣以外，沒受教育，而且是一個除了對機械有興趣以外，沒有特殊才華的青年人。有特殊才華的青年人。 1661年他進入了劍橋大學(xué)的三一學(xué)院，安靜年他進入了劍橋大學(xué)的三一學(xué)院，安靜而沒有阻力地學(xué)習(xí)著自然哲學(xué)。而沒有阻力地學(xué)習(xí)著自然哲學(xué)。1665年牛頓剛結(jié)年牛頓剛結(jié)束他的大學(xué)課程，學(xué)校就因為倫敦地區(qū)鼠疫流行束他的大學(xué)課程，學(xué)校就因為倫敦地區(qū)鼠疫流行而關(guān)閉。他離開劍橋，回到家鄉(xiāng)，在那里開始了而關(guān)閉。他離開劍橋，回

8、到家鄉(xiāng)，在那里開始了他在機械、數(shù)學(xué)和光學(xué)上的偉大工作，于他在機械、數(shù)學(xué)和光學(xué)上的偉大工作，于1665-1665-16661666年間做出流數(shù)術(shù)、萬有引力和光的分析三大年間做出流數(shù)術(shù)、萬有引力和光的分析三大發(fā)明，年僅發(fā)明，年僅2323歲。歲。 1667年牛頓回到劍橋，獲得碩士學(xué)位，成為三年牛頓回到劍橋，獲得碩士學(xué)位，成為三一學(xué)院的研究員。一學(xué)院的研究員。1669年牛頓接替他的數(shù)學(xué)老師巴年牛頓接替他的數(shù)學(xué)老師巴羅的職位，擔(dān)任羅的職位，擔(dān)任盧卡斯數(shù)學(xué)教授。他不是一個成功盧卡斯數(shù)學(xué)教授。他不是一個成功的教師，聽他課的學(xué)生很少。的教師，聽他課的學(xué)生很少。 他提出的創(chuàng)造性的材料也沒有受到同事們的注他提出的

9、創(chuàng)造性的材料也沒有受到同事們的注意，只有巴羅及天文學(xué)家哈雷認(rèn)識到他的偉大，并意，只有巴羅及天文學(xué)家哈雷認(rèn)識到他的偉大，并給他以鼓勵。牛頓涉獵的學(xué)科很多，知識面很廣。給他以鼓勵。牛頓涉獵的學(xué)科很多，知識面很廣。他從事過光學(xué)、天體力學(xué)、數(shù)學(xué)、化學(xué)、流體靜力他從事過光學(xué)、天體力學(xué)、數(shù)學(xué)、化學(xué)、流體靜力學(xué)、流體動力學(xué)、物理學(xué)方面的研究工作，還自己學(xué)、流體動力學(xué)、物理學(xué)方面的研究工作，還自己動手制作實驗裝置，甚至自己制作了兩臺反射望遠(yuǎn)動手制作實驗裝置，甚至自己制作了兩臺反射望遠(yuǎn)鏡（制作出做架子用的合金、澆鑄框架、做底座、鏡（制作出做架子用的合金、澆鑄框架、做底座、磨光鏡頭等。）磨光鏡頭等。） 他在數(shù)學(xué)上

10、以創(chuàng)建微積分而著稱，其流數(shù)法他在數(shù)學(xué)上以創(chuàng)建微積分而著稱，其流數(shù)法（即物質(zhì)的變化率）始于（即物質(zhì)的變化率）始于16651665年，系統(tǒng)敘述于年，系統(tǒng)敘述于流流數(shù)法和無窮級數(shù)數(shù)法和無窮級數(shù)（16711671年完成，年完成，17361736年出版），年出版），首先發(fā)表在首先發(fā)表在自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理 （16871687）中。）中。其中借助運動學(xué)中描述的連續(xù)量及其變化率闡述他其中借助運動學(xué)中描述的連續(xù)量及其變化率闡述他的流數(shù)理論，并創(chuàng)用字母上加一點的符號表示流動的流數(shù)理論，并創(chuàng)用字母上加一點的符號表示流動變化率（即導(dǎo)數(shù)符號）。變化率（即導(dǎo)數(shù)符號）。討論的基本問題是：已知流量間的關(guān)系，

11、求它討論的基本問題是：已知流量間的關(guān)系，求它們的流數(shù)的關(guān)系以及逆運算，確立了微分與積分這們的流數(shù)的關(guān)系以及逆運算，確立了微分與積分這兩類運算的互逆關(guān)系，即微積分基本定理。他用級兩類運算的互逆關(guān)系，即微積分基本定理。他用級數(shù)處理微分和積分，已對級數(shù)的收斂和發(fā)散有所認(rèn)數(shù)處理微分和積分，已對級數(shù)的收斂和發(fā)散有所認(rèn)識。他也研究微分方程、隱函數(shù)微分、曲線切線、識。他也研究微分方程、隱函數(shù)微分、曲線切線、曲線曲率、曲線的拐點和曲線長度等。曲線曲率、曲線的拐點和曲線長度等。 此外他還論述了有理指數(shù)的二項定理（此外他還論述了有理指數(shù)的二項定理（16641664年）以及數(shù)論、解析幾何、曲線分類、變分法等中年）以

12、及數(shù)論、解析幾何、曲線分類、變分法等中的有關(guān)問題。的有關(guān)問題。 他在物理學(xué)上發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律（他在物理學(xué)上發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律（1666-16841666-1684年），并據(jù)此指出行星運行成橢圓軌道的原因。年），并據(jù)此指出行星運行成橢圓軌道的原因。16661666年用三棱鏡實驗光的色散現(xiàn)象，年用三棱鏡實驗光的色散現(xiàn)象，16681668年發(fā)明并年發(fā)明并親手制作了第一架反射望遠(yuǎn)鏡。親手制作了第一架反射望遠(yuǎn)鏡。 他在哲學(xué)上深信物質(zhì)、運動、空間和時間的客他在哲學(xué)上深信物質(zhì)、運動、空間和時間的客觀存在性，堅持用觀察和實驗方法發(fā)現(xiàn)自然界的規(guī)觀存在性，堅持用觀察和實驗方法發(fā)現(xiàn)自然界的規(guī)律，力求用數(shù)學(xué)定量方法

13、表述的定律說明自然現(xiàn)律，力求用數(shù)學(xué)定量方法表述的定律說明自然現(xiàn)象，其科學(xué)研究方法支配后世近象，其科學(xué)研究方法支配后世近300300年的物理學(xué)研年的物理學(xué)研究。究。 晚年的牛頓變得消沉，精神幾乎崩潰。他放晚年的牛頓變得消沉，精神幾乎崩潰。他放棄研究工作，于棄研究工作，于16951695年接受任命，擔(dān)任大英造幣年接受任命，擔(dān)任大英造幣廠監(jiān)察。廠監(jiān)察。17051705年，封為爵士，享年年，封為爵士，享年8585歲。牛頓對歲。牛頓對于他一生的成就，一直是十分謙虛的。于他一生的成就，一直是十分謙虛的。 萊布尼茨（萊布尼茨（16461716年）是在建立微積分中唯年）是在建立微積分中唯一可以與牛頓并列的科學(xué)

14、家。他研究法律，在答辯一可以與牛頓并列的科學(xué)家。他研究法律，在答辯了關(guān)于邏輯的論文后，得到哲學(xué)學(xué)士學(xué)位。了關(guān)于邏輯的論文后，得到哲學(xué)學(xué)士學(xué)位。1666年年以論文以論文論組合的藝術(shù)論組合的藝術(shù)獲得阿爾特道夫大學(xué)哲學(xué)獲得阿爾特道夫大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位，同時獲得該校的教授席位。博士學(xué)位，同時獲得該校的教授席位。 1671年，他制造了他的計算機。年，他制造了他的計算機。1672年年3月作為月作為梅因茲的選帝侯大使，政治出差導(dǎo)巴黎。這次訪問梅因茲的選帝侯大使，政治出差導(dǎo)巴黎。這次訪問使他同數(shù)學(xué)家和科學(xué)家有了接觸，激起了他對數(shù)學(xué)使他同數(shù)學(xué)家和科學(xué)家有了接觸，激起了他對數(shù)學(xué)的興趣。可以說，在此之前（的興趣。可以

15、說，在此之前（1672年前）萊布尼茨年前）萊布尼茨基本上不懂?dāng)?shù)學(xué)?；旧喜欢?dāng)?shù)學(xué)。 1673年他到倫敦，遇到另一些數(shù)學(xué)家和科學(xué)年他到倫敦，遇到另一些數(shù)學(xué)家和科學(xué)家，促使他更加深入地鉆研數(shù)學(xué)。雖然萊布尼茨靠家，促使他更加深入地鉆研數(shù)學(xué)。雖然萊布尼茨靠做外交官生活，卷入各種政治活動，但他的科學(xué)研做外交官生活，卷入各種政治活動，但他的科學(xué)研究工作領(lǐng)域是廣泛的，他的業(yè)余生活的活動范圍是究工作領(lǐng)域是廣泛的，他的業(yè)余生活的活動范圍是龐大的。龐大的。 除了是外交官外，萊布尼茨還是哲學(xué)家、法學(xué)除了是外交官外，萊布尼茨還是哲學(xué)家、法學(xué)家、歷史學(xué)家、語言學(xué)家和先驅(qū)的地質(zhì)學(xué)家，他在家、歷史學(xué)家、語言學(xué)家和先驅(qū)的地質(zhì)

16、學(xué)家，他在邏輯學(xué)、力學(xué)、數(shù)學(xué)、流體靜力學(xué)、氣體學(xué)、航海邏輯學(xué)、力學(xué)、數(shù)學(xué)、流體靜力學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)和計算機方面做了重要工作。雖然他的教授席位學(xué)和計算機方面做了重要工作。雖然他的教授席位是法學(xué)的，但他在數(shù)學(xué)和哲學(xué)方面的著作被列于世是法學(xué)的，但他在數(shù)學(xué)和哲學(xué)方面的著作被列于世界上曾產(chǎn)生過的最優(yōu)秀的著作中。他用通信保持和界上曾產(chǎn)生過的最優(yōu)秀的著作中。他用通信保持和人們的接觸，最遠(yuǎn)的到錫蘭（人們的接觸，最遠(yuǎn)的到錫蘭（Ceylon）和中國。）和中國。 他于他于1669年提議建立德國科學(xué)院，從事對人類有年提議建立德國科學(xué)院，從事對人類有益的力學(xué)中的發(fā)明和化學(xué)、生理學(xué)方面的發(fā)現(xiàn)（益的力學(xué)中的發(fā)明和化學(xué)、生

17、理學(xué)方面的發(fā)現(xiàn)（1700年柏林科學(xué)院成立）。年柏林科學(xué)院成立）。 1714年萊布尼茨寫了年萊布尼茨寫了微分學(xué)的歷史和起源微分學(xué)的歷史和起源，在這本書中，他給出了一些關(guān)于自己思想發(fā)展的記在這本書中，他給出了一些關(guān)于自己思想發(fā)展的記載，由于他出書的目的是為了澄清當(dāng)時加于他的剽竊載，由于他出書的目的是為了澄清當(dāng)時加于他的剽竊罪名，所以他可能不自覺地歪曲了關(guān)于他的思想來源罪名，所以他可能不自覺地歪曲了關(guān)于他的思想來源的記載。不管他的筆記本多么混亂，都揭示了一個最的記載。不管他的筆記本多么混亂，都揭示了一個最偉大的才智，怎樣為了達到理解和創(chuàng)造而奮斗。偉大的才智，怎樣為了達到理解和創(chuàng)造而奮斗。 特別值得一

18、提的是：萊布尼茨很早就意識到，微特別值得一提的是：萊布尼茨很早就意識到，微分與積分（看作是和）必定是相反的過程；分與積分（看作是和）必定是相反的過程；1676年年6月月23日的手稿中，他意識到求切線的最好方法是求日的手稿中，他意識到求切線的最好方法是求 dy/dx ，其中，其中dy，dx 是變量的差，是變量的差，dy/dx 是差的商。是差的商。萊布尼茨的工作，雖然富于啟發(fā)性而且意義深遠(yuǎn)，但萊布尼茨的工作，雖然富于啟發(fā)性而且意義深遠(yuǎn)，但它是十分零亂不全的，以致幾乎不能理解。幸好貝努它是十分零亂不全的，以致幾乎不能理解。幸好貝努利兄弟將他的文章大大加工，并做了大量的發(fā)展工利兄弟將他的文章大大加工，

19、并做了大量的發(fā)展工作。作。1716年，他無聲無息地死去。年，他無聲無息地死去。 微積分是能應(yīng)用于許多類函數(shù)的一種新的微積分是能應(yīng)用于許多類函數(shù)的一種新的 普遍的方法，這一發(fā)現(xiàn)必須歸功于牛頓和萊布普遍的方法，這一發(fā)現(xiàn)必須歸功于牛頓和萊布尼茨倆人。經(jīng)過他們的工作，微積分不再是古尼茨倆人。經(jīng)過他們的工作，微積分不再是古希臘幾何的附庸和延展，而是一門獨立的科希臘幾何的附庸和延展，而是一門獨立的科學(xué)，用來處理較以前更為廣泛的問題。學(xué)，用來處理較以前更為廣泛的問題。 任何一件新事物出現(xiàn)時，一般不可能是十任何一件新事物出現(xiàn)時，一般不可能是十分完美的。如果牛頓和萊布尼茨想到過連續(xù)函分完美的。如果牛頓和萊布尼茨

20、想到過連續(xù)函數(shù)不一定有導(dǎo)數(shù)數(shù)不一定有導(dǎo)數(shù)而這卻是一般情形而這卻是一般情形那那么微分學(xué)就決不會被創(chuàng)造出來。么微分學(xué)就決不會被創(chuàng)造出來。 畢卡畢卡 創(chuàng)建微積分優(yōu)先權(quán)的爭論創(chuàng)建微積分優(yōu)先權(quán)的爭論 牛頓從牛頓從1665年到年到1687年把結(jié)果通知了他的朋年把結(jié)果通知了他的朋友，特別是把他的短文友，特別是把他的短文分析學(xué)分析學(xué)送給了巴羅，但送給了巴羅，但他于他于1687年以前，并沒有正式公開發(fā)表過微積分方年以前，并沒有正式公開發(fā)表過微積分方面的任何工作。面的任何工作。 創(chuàng)建微積分優(yōu)先權(quán)的爭論創(chuàng)建微積分優(yōu)先權(quán)的爭論 雖然萊布尼茨于雖然萊布尼茨于1672年訪問巴黎，年訪問巴黎，1673年訪問年訪問倫敦時，和

21、一些知道牛頓工作的人通信。然而，他倫敦時，和一些知道牛頓工作的人通信。然而，他直到直到1684年才正式公開發(fā)表微積分的著作。于是就年才正式公開發(fā)表微積分的著作。于是就發(fā)生了萊布尼茨是否知道牛頓工作詳情的問題。萊發(fā)生了萊布尼茨是否知道牛頓工作詳情的問題。萊布尼茨被指責(zé)為剽竊者。布尼茨被指責(zé)為剽竊者。 在這兩個人死了很久以后，調(diào)查證明：雖然牛頓在這兩個人死了很久以后，調(diào)查證明：雖然牛頓的大部分工作是在萊布尼茨之前做的，但是萊布尼茨的大部分工作是在萊布尼茨之前做的，但是萊布尼茨是微積分思想的獨立發(fā)明者。兩個人都受到巴羅的很是微積分思想的獨立發(fā)明者。兩個人都受到巴羅的很多啟發(fā)。多啟發(fā)。 創(chuàng)建微積分優(yōu)先

22、權(quán)的爭論創(chuàng)建微積分優(yōu)先權(quán)的爭論 這件事的結(jié)果是，英國的和大陸的數(shù)學(xué)家停止了這件事的結(jié)果是，英國的和大陸的數(shù)學(xué)家停止了思想交換。因為牛頓在微積分方面的主要工作是以幾思想交換。因為牛頓在微積分方面的主要工作是以幾何為工具的，所以在他死后近一百年中，英國人繼續(xù)何為工具的，所以在他死后近一百年中，英國人繼續(xù)以幾何為主要工具研究微積分。而大陸的數(shù)學(xué)家繼續(xù)以幾何為主要工具研究微積分。而大陸的數(shù)學(xué)家繼續(xù)使用萊布尼茨的分析方法，使它發(fā)展并不斷進行改使用萊布尼茨的分析方法，使它發(fā)展并不斷進行改善。這件事的影響非常巨大，它不僅使英國的數(shù)學(xué)家善。這件事的影響非常巨大，它不僅使英國的數(shù)學(xué)家落在后面，而且使數(shù)學(xué)學(xué)科損失

23、了一批最有才能的人落在后面，而且使數(shù)學(xué)學(xué)科損失了一批最有才能的人所應(yīng)作出的貢獻。所應(yīng)作出的貢獻。 創(chuàng)建微積分優(yōu)先權(quán)的爭論創(chuàng)建微積分優(yōu)先權(quán)的爭論 十七世紀(jì)最偉大的成就就是微積分。由此起源十七世紀(jì)最偉大的成就就是微積分。由此起源產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的一些主要的新分支，如微分方程，無產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的一些主要的新分支，如微分方程，無窮級數(shù)，微分幾何，變分法，復(fù)變函數(shù)等等。其中窮級數(shù)，微分幾何，變分法，復(fù)變函數(shù)等等。其中某些工作的萌芽確實在牛頓和萊布尼茨的工作中就某些工作的萌芽確實在牛頓和萊布尼茨的工作中就已經(jīng)出現(xiàn)了。十八世紀(jì)，人們大量地致力于這些分已經(jīng)出現(xiàn)了。十八世紀(jì)，人們大量地致力于這些分析分支的發(fā)展。但是在這一

24、發(fā)展完成之前，首先必析分支的發(fā)展。但是在這一發(fā)展完成之前，首先必須擴展微積分本身。須擴展微積分本身。 牛頓和萊布尼茨創(chuàng)造了基本方法，但也留下了牛頓和萊布尼茨創(chuàng)造了基本方法，但也留下了許多要做的事情：許多要做的事情：必須清楚地認(rèn)識或造出許多新的一元函數(shù)和多元函必須清楚地認(rèn)識或造出許多新的一元函數(shù)和多元函數(shù)；數(shù)；微分和積分的技巧必須推廣到某些已經(jīng)存在或別的微分和積分的技巧必須推廣到某些已經(jīng)存在或別的有待引入的函數(shù)；有待引入的函數(shù)；此外還缺少微積分的邏輯基礎(chǔ)此外還缺少微積分的邏輯基礎(chǔ)。當(dāng)然，第一目標(biāo)是擴展微積分的主要內(nèi)容。當(dāng)然，第一目標(biāo)是擴展微積分的主要內(nèi)容。1、平均速度、平均速度 假設(shè)一個小球正向

25、地面落去，我們想知道下落后假設(shè)一個小球正向地面落去，我們想知道下落后第第 4 秒時小球的速度（瞬時速度）。秒時小球的速度（瞬時速度）。三、微積分的例子三、微積分的例子2、一個方案：首先計算不同時間間隔內(nèi)的平均速、一個方案：首先計算不同時間間隔內(nèi)的平均速度，然后研究當(dāng)時間間隔越來越小時，它們會趨度，然后研究當(dāng)時間間隔越來越小時，它們會趨近于哪一個數(shù)。這個數(shù)就是要求的小球在第四秒近于哪一個數(shù)。這個數(shù)就是要求的小球在第四秒時第瞬時速度。時第瞬時速度。小球下落的運動狀態(tài)可用下面的公式描述：小球下落的運動狀態(tài)可用下面的公式描述：)( 162英尺td 費馬所在時代用費馬所在時代用的是英制單位的是英制單位

26、, 256416 4 2dt時，當(dāng)設(shè)任意一個時間增量是設(shè)任意一個時間增量是 h ，在第（，在第（4 + h）秒時，）秒時，小球會下降小球會下降 256 英尺加上距離增量英尺加上距離增量 k : 16128256)4(1625622hhhk即即 161282hhk在 h 秒內(nèi)（時間間隔）的平均速度為 16128161282hhhhhk令 h = 0 ，得到小球在第四秒時的下落速度 128d ) (是牛頓發(fā)明的記號d 1612816128 2hhhhhk即 0 時才正確。只有當(dāng)h這樣就不能令 h = 0 而得出結(jié)論。對于更為復(fù)雜的函數(shù)hhfhk)( 2軸與坐標(biāo)軸計算拋物線xxy Oxy12xy S 10