自控第4章題解

1、第四章 根軌跡分析法 41根軌跡法1控制系統(tǒng)的根軌跡1) 根軌跡的定義當(dāng)控制系統(tǒng)的某一參數(shù)發(fā)生變化時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程的根在s平面上的變化軌跡稱為系統(tǒng)的根軌跡。通過控制系統(tǒng)的根軌跡對系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析的方法稱為根軌跡法。2) 根軌跡方程設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： (4.1)式(4.1)中，稱為根軌跡增益，、分別為系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為: (4.2)則控制系統(tǒng)的根軌跡方程為： (4.3)注意：當(dāng)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的表述形式為(4.4)： (4.4)在式(4.4)中稱為開環(huán)增益，為系統(tǒng)的時間常數(shù)，與存在以下的關(guān)系： (4.5)2繪制根軌跡的條件1) 180根軌跡當(dāng)系統(tǒng)的

2、閉環(huán)特征方程是(4.2)式時，所對應(yīng)的根軌跡稱為180根軌跡。由根軌跡方程就可以得到繪制180根軌跡的條件：幅值條件: (4.6)相角條件： (4.7)2) 0根軌跡當(dāng)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為(4.9)式時， (4.8)所對應(yīng)的根軌跡稱為0根軌跡。由根軌跡方程就可以得到繪制0根軌跡的條件:幅值條件: (4.9)相角條件： (4.10)3) 參數(shù)根軌跡當(dāng)根軌跡增益變化時，所得到的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。當(dāng)控制系統(tǒng)中的變化參數(shù)不是根軌跡增益時，此時根據(jù)其它變化參數(shù)繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡，或者廣義根軌跡。當(dāng)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為(4.2)式，其變化參數(shù)不是，而是其它參數(shù)時，用其中不含可變參數(shù)的所有相同時

3、除以方程的兩邊，將方程轉(zhuǎn)換成如下形式： (4.11)其中，、為不包含參數(shù)的多項式，這樣就可以依據(jù)常規(guī)根軌跡的原則繪制控制系統(tǒng)的根軌跡。3繪制根軌跡的基本法則通常繪制根軌跡并不需要在s平面上逐點(diǎn)描繪它的曲線，而是可以根據(jù)一些繪制法則，快捷、準(zhǔn)確的繪制系統(tǒng)的根軌跡。這些基本法則見表4.1。表4.1 繪制根軌跡的基本法則序號內(nèi)容法則180根軌跡0根軌跡根軌跡的分支數(shù)根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)極點(diǎn)的個數(shù)n根軌跡的對稱性根軌跡連續(xù)且對稱于實軸根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡起始于系統(tǒng)的n個開環(huán)極點(diǎn)，終止于系統(tǒng)的m個開環(huán)零點(diǎn)和nm個無窮大開環(huán)零點(diǎn)實軸上的根軌跡實軸上根軌跡區(qū)段右側(cè)開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的個數(shù)之和應(yīng)為奇數(shù)實軸上

4、根軌跡區(qū)段右側(cè)開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的個數(shù)之和應(yīng)為偶數(shù)根軌跡的漸進(jìn)線有(n-m)條漸進(jìn)線，其于實軸的交點(diǎn)為：與實軸正方向的夾角為：與實軸正方向的夾角為：根軌跡的起始角和終止角起始角：終止角：起始角：終止角：根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)l條根軌跡分支相遇，其分離點(diǎn)坐標(biāo)由的根來確定，或者由來確定。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡于虛軸的交點(diǎn)可以帶入特征方程求解，或者由勞斯判據(jù)確定。根之和當(dāng)時，閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和，若有的根軌跡向右移動，必定有其它的根軌跡會向左移動：4利用根軌跡分析控制系統(tǒng)的性能1) 穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于閉環(huán)極點(diǎn)在s平面的分布情況，當(dāng)系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)都位于s平面的左半平面時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；

5、當(dāng)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)有一個或多個位于虛軸時，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的；當(dāng)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)有一個或多個都位于s平面的右半平面時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。根軌跡可以簡便直觀的顯示不同的下系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在s平面的分布，可以容易的確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且可以由根軌跡與虛軸的交點(diǎn)確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時的參數(shù)值。2)穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)、輸入信號都有關(guān)系。在根軌跡中，可以由坐標(biāo)原點(diǎn)處開環(huán)極點(diǎn)的個數(shù)判斷系統(tǒng)的型別；由根軌跡增益與開環(huán)增益的關(guān)系(式4.5)，推導(dǎo)出開環(huán)增益的大小，就可以很容易的計算出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。3)主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子在根軌跡中可以很容易的利用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子的思想對高階系統(tǒng)的動態(tài)特性進(jìn)行分析。在s

6、平面中，離虛軸較近且附近無閉環(huán)零點(diǎn)的那些閉環(huán)極點(diǎn)，對系統(tǒng)的動態(tài)性能影響最大，可以作為系統(tǒng)的主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)；而那些遠(yuǎn)離主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)的極點(diǎn)，對系統(tǒng)的動態(tài)性能影響較小，可以忽略不計。在s平面中，如果系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的距離非常近，而又遠(yuǎn)離原點(diǎn)，則認(rèn)為它們對系統(tǒng)的影響較小，可以作為偶極子忽略不計。4) 動態(tài)性能利用系統(tǒng)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子的思想，系統(tǒng)的動態(tài)性能主要取決于系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。則系統(tǒng)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)與虛軸的距離越近，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間越長，系統(tǒng)的響應(yīng)速度越慢；系統(tǒng)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)與負(fù)實軸的距離越近，系統(tǒng)的超調(diào)量越小，系統(tǒng)的動態(tài)過程越平穩(wěn)。42 根軌跡分析法習(xí)題解答4-1 假設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)

7、在s平面上的分布如習(xí)題4-1圖所示。試?yán)L制以開環(huán)增益k1為變量的系統(tǒng)根軌跡有大致圖形。習(xí)題4-1圖解圖4-1 （a） （b） （c）（d-1）4.1 注意：（1）有開環(huán)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)當(dāng)復(fù)平面內(nèi)有根軌跡段時，一定是圓??；若開環(huán)僅有一個有限實零點(diǎn)z，則該實零點(diǎn)z即為復(fù)平面圓弧段根軌跡的圓心。 (2) 兩開環(huán)極點(diǎn)間的根軌跡段上必然有分離點(diǎn)；兩開環(huán)零點(diǎn)間的根軌跡段上必然有會合點(diǎn)；而在開環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)間的根軌跡段上，一般情況下既無分離點(diǎn)，也無會合點(diǎn)，若有則分離點(diǎn)d1與會合點(diǎn)d2必然成對出現(xiàn)，二者可能重合也可能不相等，故第(d)圖有(d-1)(d-3)三種情況。4-2 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪

8、出當(dāng)開環(huán)增益k1變化時系統(tǒng)的根軌跡圖，并加以簡要說明。 (1) (2) 解(1) 由g(s)知，n=3，m=0，p1=0，p2=1，p3=3。 實軸上0，1、3，是根軌跡段。 有nm=3條漸近線,交點(diǎn)，夾角、180。 實軸上0、1根軌跡段上有分離點(diǎn)d。圖4-2（1） 由求d：解得 （舍去） 求根軌跡與虛軸交點(diǎn)，令代入，得 解得 (2) n=4，m=0，p1=0，p2=4，p3、4=2j4 p1、p2連線中點(diǎn)正好是p3、p4實部，開環(huán)極點(diǎn)分布對稱于s=2，根軌跡也將對稱于該垂線。 實軸上0、4復(fù)平面內(nèi)p3、p4間是根軌跡 有n-m=4條漸近線：ja=45、135漸近線如圖4-2(2)中虛線示。

9、0、4間、p3、p4間根軌跡上有分離點(diǎn)，由分離點(diǎn)方程圖4-2（2）可解得 ， 在中，求根軌與虛軸交點(diǎn)：令代入得 解得與虛軸交點(diǎn)及臨界k1值（根軌跡起點(diǎn)，不是k1增大時與虛軸交點(diǎn)舍去） 系統(tǒng)根軌跡如圖4-2(2)所示4-3 單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) (1) 繪制根軌跡，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性； (2) 若增加一個零點(diǎn)試問根軌跡有何變化，對穩(wěn)定性有何影響解(1) 繪制系統(tǒng)根軌跡： n=3，m=0，p=0，p1=p2=0，p3=2； 實軸上0, 0、2，是根軌跡段； 有n-m=3條漸近線，、180漸近線如圖中4-3(1)點(diǎn)劃線示，根軌跡如圖中相虛線示，由p1=p2=0出發(fā)的分支在右半s平面，任何k1下系統(tǒng)

10、均不穩(wěn)定。 圖4-3(2) 增加z=1，實軸上0，0、1，2為根軌跡段。 現(xiàn)有n-m=2漸近線，漸近線如圖4-3中細(xì)虛線示；根軌跡如圖中實線示，可見加進(jìn)z=-1后，系統(tǒng)在任何k1下均穩(wěn)定。這說明給系統(tǒng)加進(jìn)一個位置適當(dāng)?shù)拈_環(huán)左實零點(diǎn)，可使n-m變?yōu)閚-m+1，漸近線條數(shù)減少一條，傾角增大，根軌跡向左移動，可使系統(tǒng)穩(wěn)定性、平穩(wěn)性得到改善。 4-5 求開環(huán)傳遞函數(shù)的系統(tǒng)在下列條件下的根軌跡：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。解 該系統(tǒng)n=3，m=1，開環(huán)極點(diǎn)p1、2=0，p3=a，開環(huán)零點(diǎn)z=1；隨a不同取值，在1，p3實軸段上可能存在分離點(diǎn)與會合點(diǎn)。但g(s)h(s)為三階且有零點(diǎn)，求分離點(diǎn)

11、、會合點(diǎn)d時用分離點(diǎn)方程更方便。將值代入分離點(diǎn)方程，有化簡整理得 該系統(tǒng)分離點(diǎn)會合點(diǎn)可能相等或不等，但只能是同時出現(xiàn)在實軸段1，p3上，否則其解應(yīng)舍去。 (1) a=10 圖4.5 .2圖4.5 .1 系統(tǒng)開環(huán)零極點(diǎn)分布如圖4-5(1)所示； 實軸上 0，0、1，10是根軌跡段； 有nm=2條漸近線，漸近線如圖中4-5（1）虛線所示； 可求得1、10段上有分離點(diǎn)和會合點(diǎn)：系統(tǒng)根軌跡如圖4-5(1)中實線所示。 (2) a=9 系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖4-5(2)所示； 實軸上0，0、1，9是根軌跡段； 有nm=2條漸近線，根軌跡漸近線如圖4-5（2）中虛線所示； 可求得-1,-9段上的分離點(diǎn)、

12、會合點(diǎn)：，系統(tǒng)根軌跡如圖4-5(2)中實線所示。（圖中劃線與實軸夾角為根軌跡的分離角會合角） (3) a=8圖4.5 .4圖4.5 .3 開環(huán)零極點(diǎn)分布如圖4-5(3)； 實軸上0，0、1，8是根軌跡段； 有nm=2條漸近線，漸近線如圖中4-5（3）虛線示； 由計算可知，d1、2不在1、8段上應(yīng)舍去，8，1段上無分離點(diǎn)、會合點(diǎn)；系統(tǒng)根軌跡如圖4-5(3)中實線所示。此題說明，開環(huán)極點(diǎn)在s平面實軸上位置移動，會導(dǎo)致根軌跡圖發(fā)生大的變化。 (4) a=3 開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖4-5(4)中所示； 實軸上0，0、1，3是根軌跡段； 有nm=2條漸近線，漸近線如圖中虛線示；題4-7圖 由計算可知應(yīng)舍去

13、，實軸3、1段上既無分離點(diǎn)，也無會合點(diǎn)，系統(tǒng)根軌跡如圖實線所示。 4-7 設(shè)系統(tǒng)的方框圖如習(xí)題4-7圖所示，繪制以a為變量的根軌跡，并： (1) 求無局部反饋時系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差、阻尼比及調(diào)節(jié)時間； (2) 求臨界阻尼的a值。 (3) 討論a=2時局部反饋對系統(tǒng)性能的影響；解：本題求作系統(tǒng)參量根軌跡，首先寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)圖4.7由閉環(huán)特征方程中求出以a為參數(shù)變量時的等效開環(huán)傳遞函數(shù) 等效開環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布為： 實軸上0、是根軌跡段，復(fù)平面內(nèi)的根軌跡是以z為圓心、為半徑、由p1、2出發(fā)的圓弧段，交實軸于1點(diǎn)，即根軌跡會合點(diǎn)d=1，系統(tǒng)參量根軌跡如圖4-7示。 (1) 時，閉環(huán)

14、極點(diǎn)s1、2與等效開環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)p1-2相等，由題圖可知，該系統(tǒng)n=1，。該系統(tǒng)比較典型二階系統(tǒng)，可知：(，z=0.5，。 (2) 由幅值條件 ，臨界阻尼比時，。 (3)當(dāng)時，已有，閉環(huán)極點(diǎn)均在實軸上，過阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)不振蕩。 求解時 ，essv=3，由可得閉環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)性能可按一階近似計算秒。（3）臨界阻尼，時，相應(yīng)的值已在（2）中由幅值條件求得4-8 根據(jù)下列正反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪出其根軌跡的大致形狀。 (1) (2) (3) 解：(1) 圖4.8.1該系統(tǒng)正反饋根軌跡如圖4-8(1)所示，僅實軸上，1、2、-是根軌跡段。 (2) n=3、m=0、p1=0、p2=1、p3=

15、2； 實軸上（，0、1、2是根軌跡段； 有nm=3條漸近線，、0；漸近線如圖4-8（2）中虛線示； 1、2間有分離點(diǎn)d，由可得d=1.575 圖4.8.3圖4.8.2 (3) n=4，m=1，開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖4-8(3)示； 實軸上（，0）、1，2、3，4為根軌跡段； 有nm=3條漸近線，、0漸近線如圖4-8(3)中虛線示。 在3，4段上有分離點(diǎn)，在兩開環(huán)極點(diǎn)間的根軌跡段上，分離點(diǎn)處對應(yīng)，當(dāng)n4時可由k*-d曲線法試解求d： 由d（s）=0可得：，列表計算，其中對應(yīng)的s值即為分離點(diǎn)坐標(biāo)d。s=d3.483.493.503.5053.513.523.58k11.45751.45751.458

16、31.458331.45801.45661.424 解得： 系統(tǒng)根軌跡如圖4-8(3)所示。4-9 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。 解：單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)g(s)中有非最小相位環(huán)節(jié)（1-s），由于s項系數(shù)為負(fù)，因此系統(tǒng)根軌跡遵循零度根軌跡繪制法則 n=2，m=1，系統(tǒng)開環(huán)零極點(diǎn)分布如圖4-9； 實軸上（，1、0，-2為根軌跡段； 有n-m=1條漸近線， ；漸近線與實軸重合 （、1）間有會合點(diǎn)，0、2段上有分離點(diǎn)。會合點(diǎn)、分離點(diǎn)由，解得：分離點(diǎn)，會合點(diǎn)d2=2.732； 復(fù)平面內(nèi)的根軌跡為圓心z=1、半徑的圓，該圓與實軸交點(diǎn)即分離點(diǎn)d1、會合點(diǎn)d2； 根軌跡與虛軸交

17、點(diǎn)： 令代入解得與虛軸交點(diǎn) 。系統(tǒng)根軌跡如圖4-9所示。圖4.94-14 已知控制系統(tǒng)的方框圖如習(xí)題4-14圖所示，題中；，試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根軌跡，并加簡要說明。習(xí)題4-14圖解：該系統(tǒng)含非最小相位環(huán)節(jié)，但s項系數(shù)為正，故負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡仍為常規(guī)根軌跡。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)開環(huán)零、極關(guān)分布如圖4-14所示，實軸上5，0、-2，-5為根軌跡段，漸近線如圖4-14中虛線所示。實軸上5，0間有分離點(diǎn)，由分離點(diǎn)方程解得：，（舍去）根軌跡如圖4-14所示，當(dāng)k1由變化時，始終有兩條分支在右半s平面上，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。圖4.943 應(yīng)用實例1已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)(1) 試確定系統(tǒng)最小阻尼

18、比及對應(yīng)的(2) 由根軌跡圖分析系統(tǒng)性能。解：(1) 由可知： 實軸上1、3、5、是根軌跡段。在1，3段上有分離點(diǎn)d1、5、段上有會合點(diǎn)d2，由分離點(diǎn)會合點(diǎn)方程有： 解得：ad1d2 圖4.1復(fù)平面的根軌跡段，是以z=5為圓心，=2.83為半徑的圓弧，系統(tǒng)根軌跡如附圖2中實線示。 由系統(tǒng)等線可知，最小阻尼比對應(yīng)的等線是過坐標(biāo)原點(diǎn)作的復(fù)平面內(nèi)根軌跡圓的切線：求與最小阻尼比對應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)： 或由圖解得(2) 由系統(tǒng)根軌跡圖可知，系統(tǒng)均穩(wěn)定；n=0，該系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，可以有差地跟蹤階躍給定輸入，隨增加、增加、減小，但無法消除。由幅值條件可得： 當(dāng)、時系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，是非周期過程，當(dāng)時的過阻尼過程調(diào)節(jié)時間比時快得多。 當(dāng)時系統(tǒng)是欠阻尼過程，僅管，但有閉環(huán)零點(diǎn)存在，可加快響應(yīng)過程，使系統(tǒng)瞬態(tài)過程平穩(wěn)而迅速。附2題圖2已知系統(tǒng)方框圖如附2題圖所示(1) 作出閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖(2) 求時各閉環(huán)極點(diǎn)值；(3) 求時的開環(huán)放大系數(shù)值(4) 求使系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的k*值。解：(1) 求出該系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)g(s)，寫為首1型，作其根軌跡圖： n=3，m=0；p1= p 2= p 3=2，有三條根軌跡始自于開環(huán)極點(diǎn)，終于無限零點(diǎn)。附圖4.2實軸上根軌跡段聚為2點(diǎn)。 有nm=3