第八講容斥原理

1、容斥原理容斥原理在計數(shù)時，先把包含于某內(nèi)容中的所有對在計數(shù)時，先把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)時重復計象的數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)時重復計算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結(jié)果既無遺漏算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結(jié)果既無遺漏又無重復，這種計數(shù)的方法稱為容斥原理。又無重復，這種計數(shù)的方法稱為容斥原理。“容容”就是就是“相容相容”和和“包含包含”的意思，的意思，“斥斥”就是就是“相斥相斥”和和“排除排除”的意思。所以，容斥的意思。所以，容斥原理又稱包含與排除，或者排除法。原理又稱包含與排除，或者排除法。 容斥原理容斥原理1 如果被計數(shù)的事物有如果被計數(shù)的事物有A、B兩類，兩

2、類，那么，那么，A類與類與B類元素個數(shù)總和類元素個數(shù)總和= A類元素個數(shù)類元素個數(shù)+ B類元素個數(shù)類元素個數(shù)既是既是A類又是類又是B類的元素個數(shù)。類的元素個數(shù)。A AB BABABAB 1. 某班學生每人家里至少有空調(diào)和電腦兩某班學生每人家里至少有空調(diào)和電腦兩種電器中的一種，已知家中有空調(diào)的有種電器中的一種，已知家中有空調(diào)的有41人，有電腦的有人，有電腦的有34人，二者都有的有人，二者都有的有27人，人，這個班有學生多少人？這個班有學生多少人？ 解解： AB = A + B -AB =39+37-25=51(人人)2.一次期末考試，某班有一次期末考試，某班有15人數(shù)學得滿分，有人數(shù)學得滿分，有

3、12人語文得滿分，并且有人語文得滿分，并且有4人語、數(shù)都是滿分，那人語、數(shù)都是滿分，那么這個班至少有一門得滿分的同學有多少人？么這個班至少有一門得滿分的同學有多少人？15 4 12 3. 一個班有學生一個班有學生48人，每人至少參加跑步、跳高人，每人至少參加跑步、跳高兩項比賽中的一項。已知參加跑步的有兩項比賽中的一項。已知參加跑步的有37人，參人，參加跳高的有加跳高的有40人，請問：這兩項比賽都參加的學人，請問：這兩項比賽都參加的學生有多少人？生有多少人？解：設(shè)解：設(shè)A=跑步跑步，B=跳高跳高，要求，要求|AB| |AB| =48 |A|=37 |B|=40 |AB|= |A|+|B|- |A

4、B| =37+40-48=294求不超過求不超過20的正整數(shù)中是的正整數(shù)中是2的倍數(shù)或的倍數(shù)或3的倍數(shù)的數(shù)共有多少個。的倍數(shù)的數(shù)共有多少個。解：設(shè)解：設(shè)A=20以內(nèi)以內(nèi)2的倍數(shù)的倍數(shù)，B=20以內(nèi)以內(nèi)3的倍數(shù)的倍數(shù)，顯然，要求計算，顯然，要求計算2或或3的的倍數(shù)個數(shù)，即求倍數(shù)個數(shù)，即求 AB 。|A|=10 |B|=6 |AB|=3 |AB|= =10+6-3=135. 在在1到到1000的自然數(shù)中，能被的自然數(shù)中，能被3或或5整除的數(shù)共有整除的數(shù)共有多少個？不能被多少個？不能被3或或5整除的數(shù)共有多少個？整除的數(shù)共有多少個？ 解：能被解：能被3整除的數(shù)有整除的數(shù)有333個；個； 能被能被5整

5、除的數(shù)有整除的數(shù)有200個個; 能被能被15整除的數(shù)有整除的數(shù)有66個，個， 能被能被3或或5整除的數(shù)的個數(shù)有整除的數(shù)的個數(shù)有:333+200-66=467，不能被不能被3或或5整除的數(shù)的個數(shù)有整除的數(shù)的個數(shù)有:1000-467=533個個6. 60名同學面向老師站成一橫排。老師先讓同名同學面向老師站成一橫排。老師先讓同學們從左到右按照學們從左到右按照1、2、3、4、59、60的順序依次報數(shù)，再讓報數(shù)是的順序依次報數(shù)，再讓報數(shù)是4的倍數(shù)的同學的倍數(shù)的同學向后轉(zhuǎn)，接著又讓報數(shù)是向后轉(zhuǎn)，接著又讓報數(shù)是6的倍數(shù)的同學向后的倍數(shù)的同學向后轉(zhuǎn)。請問：現(xiàn)在面向老師的學生還有多少名轉(zhuǎn)。請問：現(xiàn)在面向老師的學

6、生還有多少名.7. 電視臺向電視臺向100人調(diào)查前一天收看電視的情況，人調(diào)查前一天收看電視的情況，有有62人看過人看過2頻道，頻道，34人看過人看過8頻道，頻道，11人兩個人兩個頻道都看過。兩個頻道都沒看過的有多少人？頻道都看過。兩個頻道都沒看過的有多少人？ 解：解：100-(6234-11) 158有一根長是有一根長是240厘米的繩子，從一端開始每厘米的繩子，從一端開始每隔隔4厘米作一個記號，同時每隔厘米作一個記號，同時每隔6厘米也作一個厘米也作一個記號，然后將標有記號的地方剪斷，請問：繩記號，然后將標有記號的地方剪斷，請問：繩子一共被剪成了多少段？子一共被剪成了多少段？ 59+39-19=

7、79 9.在游藝會上，有在游藝會上，有100名同學抽到了標簽分別為名同學抽到了標簽分別為1至至100的獎的獎券。按獎券標簽號發(fā)放獎品的規(guī)則如下：券。按獎券標簽號發(fā)放獎品的規(guī)則如下：（1）標簽號為）標簽號為2的倍數(shù)，獎的倍數(shù)，獎2支鉛筆；支鉛筆；（2）標簽號為）標簽號為3的倍數(shù)，獎的倍數(shù)，獎3支鉛筆；支鉛筆；（3）標簽號既是）標簽號既是2的倍數(shù)，又是的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)可重復領(lǐng)獎；的倍數(shù)可重復領(lǐng)獎；（4）其他標簽號均獎）其他標簽號均獎1支鉛筆。那么游藝會為該項活動準備支鉛筆。那么游藝會為該項活動準備的獎品鉛筆共有多少支？的獎品鉛筆共有多少支？ 解：解：(50-16)2+(33-16)3+165+

8、331=24210. 某服裝廠生產(chǎn)出來的一批襯衫大號和小號某服裝廠生產(chǎn)出來的一批襯衫大號和小號各占一半。其中各占一半。其中25%是白色的，是白色的，75%是藍色的。是藍色的。如果這批襯衫共有如果這批襯衫共有100件，其中大號白色襯衫件，其中大號白色襯衫有有10件，小號藍色襯衫有多少件件，小號藍色襯衫有多少件? 解：設(shè)小號和藍色分別為兩個事件解：設(shè)小號和藍色分別為兩個事件A和和B，小號占小號占50%，藍色占，藍色占75%，則：，則： 100=50+75+10- |AB|，得：，得： |AB|=35。小號藍色小號藍色=小號小號+藍色藍色-或小號或藍色或小號或藍色或小號或藍色或小號或藍色=全部全部-

9、既大號又白色既大號又白色【真題【真題1】現(xiàn)有】現(xiàn)有50名學生都做物理、化學實驗，名學生都做物理、化學實驗，如果物理實驗做正確的有如果物理實驗做正確的有40人，化學實驗做正人，化學實驗做正確的有確的有31人，兩種實驗都錯的有人，兩種實驗都錯的有4人，則兩種人，則兩種實驗都做對的有實驗都做對的有(B) A、27人人 B、25人人C、19人人D、10人人【2004年中央年中央A類真題】類真題】某大學某班學生某大學某班學生總數(shù)為總數(shù)為32人，在第一次考試中有人，在第一次考試中有26人及格，人及格，在第二次考試中有在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，人及格，若兩次考試中，都沒有及格的有都沒有及格的

10、有4人，那么兩次考試都及格的人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是人數(shù)是( )。 A22 B18 C28 D26解：解： |A|=26 |B|=24 |A|+|B|=262450； |AB|=32-428， |AB|= |A|+|B|-|AB|=50-2822 【2004年山東真題】某單位有青年員工年山東真題】某單位有青年員工85人，人，其中其中68人會騎自行車，人會騎自行車，62人會游泳，既不會騎人會游泳，既不會騎車又不會游泳的有車又不會游泳的有12人，則既會騎車又會游泳人，則既會騎車又會游泳的有（的有（ ）人）人 A.57 B.73 C.130 D.69解：設(shè)解：設(shè)A=自行車自行車，B=游泳游泳，

11、 |A|=68 |B|=62 85= |A|+|B|- |AB|+12 |AB|= (6862+12) -85= 57BABA全體解：解：SADM+SCNB+SAPB+SOCD =SABCD+SPMON = 24-(7.8+18）=1.8，可得，PMON面積為1.8cm2DPCNMOAB 11.如圖所示如圖所示,矩形矩形ABCD的面積為的面積為24平方厘米平方厘米,三三角形角形ADM與三角形與三角形BCN的面積之和為的面積之和為7.8平方平方厘米厘米,則四邊形則四邊形PMON的面積是多少平方厘米的面積是多少平方厘米.（08年華杯賽初賽試題）年華杯賽初賽試題）12.如下圖所示，在長方形內(nèi)畫出一些

12、直如下圖所示，在長方形內(nèi)畫出一些直線，已知邊上有三塊面積分別是線，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49那么圖中陰影部分的面積是多少？那么圖中陰影部分的面積是多少？AD4935E13BC解：解：SABC+SCDE+（13+49+35） =S長方形長方形+S陰影陰影SABC = SCDE = 1/2S長方形長方形 S陰影陰影 = 13+49+35 =9713.如圖所示，長方形ABCD的兩條邊長分別為8和6，四邊形OEFG（綠色綠色）的面積是42，則陰影部分的面積為？A.322B.282C.242D.202藍藍+黃黃=3/4整個面積黃黃+綠綠=1/4整個面積藍藍-綠綠=2/4整個面積藍藍=24+

13、4=28思考題思考題1有有128位旅客，其中位旅客，其中25人既不懂英語、人既不懂英語、又不懂法語，有又不懂法語，有98人懂英語，人懂英語，75人懂法語，人懂法語，請問：既懂英語、又懂法語的有多少人？請問：既懂英語、又懂法語的有多少人？2六一班有學生六一班有學生46人，其中會騎自行車人，其中會騎自行車的有的有19人，會游泳的有人，會游泳的有25人，既會騎車又人，既會騎車又會游泳的有會游泳的有7人，既不會騎自行車又不會人，既不會騎自行車又不會游泳的有多少人？游泳的有多少人？二二. 三集合類型三集合類型容斥原理容斥原理2 如果被計數(shù)的事如果被計數(shù)的事物有物有A、B、C三類，三類，|ABC|=|A|

14、+|B|+|C|-|AB|-|AC|-|BC|+|ABC|三集合三集合 A AB B AB C AC B C C A 1 4 2 B 1+5+4+7=A 2+4+6+7=B 7 3+6+5+7=C 5 6 C 3某年級的課外小組分為美術(shù)、音樂、手工三個某年級的課外小組分為美術(shù)、音樂、手工三個小組，參加美術(shù)小組有小組，參加美術(shù)小組有20人，參加音樂小組有人，參加音樂小組有24人，參加手工小組有人，參加手工小組有31人，同時參加美術(shù)和人，同時參加美術(shù)和音樂兩個小組有音樂兩個小組有5人，同時參加音樂和手工兩個人，同時參加音樂和手工兩個小組有小組有6人，同時參加美術(shù)和手工兩個小組的有人，同時參加美術(shù)和

15、手工兩個小組的有7人，三個小組都參加的有人，三個小組都參加的有3人，這個年級參加人，這個年級參加課外小組的同學共有多少人？課外小組的同學共有多少人？|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|AC|-BC|+|ABC|學生人數(shù)學生人數(shù)=20+24+31-5-6-7+3=60人人 數(shù)數(shù)20 5 音音24 3 7 6 手工手工312. 有三個面積各為有三個面積各為50平方厘米的圓放在桌平方厘米的圓放在桌面上，兩兩相交的面積分別是面上，兩兩相交的面積分別是8、10、12平方厘米，三個圓相交的面積是平方厘米，三個圓相交的面積是5平方厘平方厘米，求三個圓蓋住桌面的面積？米，求三個圓蓋住桌面的面積？3

16、.在一根長的木棍上有三種刻度線，第一在一根長的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木等份，第二種將木棍分成棍分成12等份，第三種將木棍分成等份，第三種將木棍分成15等份。等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？被鋸成多少段？解：只需要計算出木棍上共有多少條不同的刻解：只需要計算出木棍上共有多少條不同的刻度線，在此基礎(chǔ)上加度線，在此基礎(chǔ)上加1就是段數(shù)了。因為（就是段數(shù)了。因為（10，12，15）=60，不妨設(shè)木棍長，不妨設(shè)木棍長60厘米。厘米。6010=6，6012=5，6015=4 （6，5）=30，

17、（，（6，4）=12， （5，4）=20，（，（6、5、4）=60 因此，共有刻度線因此，共有刻度線 9+11+14142=27條，條，木棍總共被鋸成木棍總共被鋸成27+1=28段。段。4某個班的全體學生在進行了短跑、游泳、投某個班的全體學生在進行了短跑、游泳、投擲三個項目的測試后，有擲三個項目的測試后，有4名學生在這三個項目名學生在這三個項目上都沒有達到優(yōu)秀，其余每人至少有一項達到上都沒有達到優(yōu)秀，其余每人至少有一項達到了優(yōu)秀，達到了優(yōu)秀的這部分學生情況如下表，了優(yōu)秀，達到了優(yōu)秀的這部分學生情況如下表，求這個班的學生共有多少人？求這個班的學生共有多少人？短跑短跑游泳游泳投擲投擲跑與游跑與游跑

18、與投跑與投游與投游與投全優(yōu)全優(yōu)1718156652學生人數(shù)學生人數(shù)=17+18+15-6-6-5+2+4=39人人5某大學有外語教師某大學有外語教師120名，其中教英語名，其中教英語的有的有50名，教日語的有名，教日語的有45名，教法語的有名，教法語的有40名，有名，有15名既教英語又教日語，有名既教英語又教日語，有10名名既教英語又教法語，有既教英語又教法語，有8名既教日語又教名既教日語又教法語，有法語，有4名教英語、日語和法語三門課，名教英語、日語和法語三門課，則不教三門課的外語教師有多少名則不教三門課的外語教師有多少名? 120-(50+45+40-15-10-8+4)=14(人人)6.

19、6.分母是分母是10011001的最簡分數(shù)一共有多少個？的最簡分數(shù)一共有多少個？解：這一題實際上就是找分子中不能整除解：這一題實際上就是找分子中不能整除10011001的數(shù)。由于的數(shù)。由于1001=71001=711111313，所以就，所以就是找不能被是找不能被7 7，1111，1313整除的數(shù)。整除的數(shù)。如圖 7的倍數(shù)的倍數(shù)143個個 11的倍數(shù)的倍數(shù)91個個 13 11 7 13的倍數(shù)的倍數(shù)77個個1001-【143+91+77-13-11-7+1】=7207.7.【國考【國考2010-472010-47】某高校對一些學生進】某高校對一些學生進行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學生中，準備行問卷調(diào)

20、查。在接受調(diào)查的學生中，準備參加注冊會計師考試的有參加注冊會計師考試的有6363人，準備參加人，準備參加英語六級考試的有英語六級考試的有8989人，準備參加計算機人，準備參加計算機考試的有考試的有4747人，三種考試都準備參加的有人，三種考試都準備參加的有2424人，準備只選擇兩種考試都參加的有人，準備只選擇兩種考試都參加的有4646人，不參加其中任何一種考試的都人，不參加其中任何一種考試的都1515人。人。問接受調(diào)查的學生共有問接受調(diào)查的學生共有( )( )人人? ?A.120 B.144 C.177 D.192參加兩種考試的被重復計算一次，參加參加兩種考試的被重復計算一次，參加三種考試的被

21、重復計算兩次，三種考試的被重復計算兩次， 參加考試的有：參加考試的有： 63+89+47-46-224=199-94=105 參加調(diào)查的人數(shù)為：參加調(diào)查的人數(shù)為：105+15=120如圖 會計會計63 x 英語英語89 24 y z 計算機計算機47 63+89+47-(x+24)+(y+24)+(z+24)-24+15=120 x+z+y=468.【2005年中央年中央A類真題】對某單位的類真題】對某單位的100名員工進行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球名員工進行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，人喜歡看戲劇，52人

22、喜歡看電影，既喜人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜人，三種都喜歡看的有歡看的有12人，則只喜歡看電影的有人，則只喜歡看電影的有 A.22人人 B.28人人 C.30人人 D.36人人 58-612-x 6 38-6-12-4 球球 戲戲 12 4 x 電影電影 52-12-4- x58+20+（36- x）=100, （36-x ）=22 40-x 6 16 球球 戲戲 12 4 x 36- x 電影電影 58+20+（36- x）=100, （36-x ）=229. 某班有某班

23、有35個學生，每個學生至少參加英語小個學生，每個學生至少參加英語小組、語文小組、數(shù)學小組中的組、語文小組、數(shù)學小組中的個課外活動小個課外活動小組。現(xiàn)已知參加英語小組的有組?，F(xiàn)已知參加英語小組的有17人。參加語文人。參加語文小組的有小組的有30人，參加數(shù)學小組的有人，參加數(shù)學小組的有13人。如果人。如果有有5個學生三個小組全參加了，問有多少個學生個學生三個小組全參加了，問有多少個學生只參加了一個小組？只參加了一個小組？A.15 B.16 C.17 D.18 17 30 英英 語語 5 數(shù)數(shù)13 |A|=17 |B|=30 |C|=13 |ABC|=5|ABC|=|A|+|B|+|C| -|AB|

24、-|AC|-|BC| +|ABC|=35所以所以 |AB|+|AC|+|BC|=30所求數(shù)目所求數(shù)目= |A|-|AB|-|AC| +|ABC| +|B|-|BC| |-|AB +|ABC| +|C|-|AC|-|BC| +|ABC|=60-230+35=15設(shè)設(shè)X為只參加了一個小組為只參加了一個小組Y為只參加了兩個小組為只參加了兩個小組X+Y+5=3517+30+13-Y（因為多加了一次）（因為多加了一次）-25（因（因為多加了兩次）為多加了兩次）=35Y=15X=1510.如圖所示，如圖所示，X、Y、Z分別是面積為分別是面積為64、180、160的三張不同形狀的紙片。它們部分重疊放的三張不

25、同形狀的紙片。它們部分重疊放在一起蓋在桌面上，總共蓋住的面積為在一起蓋在桌面上，總共蓋住的面積為290。且且X與與Y、Y與與Z、Z與與X重疊部分面積分別為重疊部分面積分別為24、70、36。問陰影部分。問陰影部分（黃色）（黃色）的面積是多少？的面積是多少？ A15 B16 C14 D18 11.三位專家為三位專家為10幅作品投票，每位專家分別都投幅作品投票，每位專家分別都投出了出了5票，并且每幅作品都有專家投票。如果票，并且每幅作品都有專家投票。如果三位專家都投票的作品列為三位專家都投票的作品列為A等，兩位專家投等，兩位專家投票的列為票的列為B等，僅有一位專家投票的作品列為等，僅有一位專家投票的作品列為C等，則下列說法正確的是（等，則下列說法正確的是（ D ）。）。 A. A等和等和B等共等共6幅幅 B. B等和等和C等共等共7幅幅 C. A等最多有等最多有5幅幅 D. A等比等比C等少等少5幅幅每位專家分別都投出了每位專家分別都投出了5票票 黑色黑色代表三位專家都投票的代表三位專家都投票的A等作品，等作品， 黃色黃色為代表只有兩位專家投票的為代表只有兩位專家投票的B等作品，等作品， 藍色藍色