第九章直線平面簡單幾何體(B)(第36課)小結(jié)與復(fù)習(xí)(3)

1、精品資源課題 ： 小結(jié)與復(fù)習(xí) (三)教學(xué)目的：1在有關(guān)問題的解決過程中，進(jìn)一步了解和掌握相關(guān)公理、定理的內(nèi)容和功能，并探索立體幾何中論證問題的規(guī)律；在有關(guān)問題的分析與解決的過程中提高邏輯思維能力、空間想象能力及化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用2在解決有關(guān)空間角的問題的過程中，進(jìn)一步鞏固關(guān)于直線和平面的平行垂直的性質(zhì)與判定的應(yīng)用，掌握作平行線 (面 )和垂直線 (面 )的技能；通過有關(guān)空間角的問題的解決，進(jìn)一步提高學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及運算能力3通過教學(xué)使學(xué)生掌握基本的立體幾何解題方法和常用解題技巧， 發(fā)掘不同問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高解題能力4在學(xué)生解答問題的過程中，注意培養(yǎng)他們的語言表述

2、能力和“說話要有根據(jù)”的邏輯思維的習(xí)慣、提高思維品質(zhì)使學(xué)生掌握化歸思想，特別是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的思想意識和方法，并提高空間想象能力、推理能力和計算能力5使學(xué)生更好地理解多面體與旋轉(zhuǎn)體的體積及其計算方法， 能夠熟練地使用分割與補形求體積，提高空間想象能力、推理能力和計算能力授課類型： 練習(xí)課課時安排： 1 課時教具：多媒體、實物投影儀重要公式與方法：1三種空間角的向量法計算公式：異面直線a,b 所成的角： coscosa, b；直線 a 與平面( 法向量 n ) 所成的角： sincosa, n；銳二面角： coscosm, n，其中 m, n 為兩個面的法向量。2. 用向量法求

3、距離的公式：異面直線 a,b 之間的距離：AB na, nb, A a, Bb 。d，其中 n| n |直線 a 與平面之間的距離：AB n，其中 Aa, B。 n 是平面d的法向量。| n |兩平行平面 ,之間的距離：歡下載精品資源AB nd，其中 A, B。 n 是平面的法向量。| n |點 A 到平面的距離：AB nd，其中 B， n 是平面的法向量。| n |點 A 到直線 a 的距離：| AB |2AB a2d，其中 Ba ， a 是直線 a 的方向向量。| a |兩平行直線a, b之間的距離：AB a2d| AB|2，其中 A a, B b ， a 是 a 的方向向量。| a |教

4、學(xué)過程 ：一、講解范例：例 如圖，已知正方形ABCD的邊長為 4，E、 F 分別是 AB、 AD的中點， GC平面 ABCD，且 GC 2，求點 B到平面 EFG的距離分析：由題設(shè)可知、 、兩兩互相垂直， 可以由此建立空間直角坐標(biāo)系用CG CB CD向量法求解，就是求出過B 且垂直于平面 EFG的向量，它的長即為點B 到平面的距離EFG解：如圖，設(shè) CD4 i， CB 4 j ， CG2 k ，以 i、 j、 k 為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系C xyz由題設(shè) C(0,0,0)，A(4,4,0) ，B(0,4,0) ，D(4,0,0)，E(2,4,0) ，F(xiàn)(4,2,0)，G(0,0,2)BE(

5、2,0,0)， BF(4, 2,0) ，BG(0, 4,2) ， GE(2,4, 2) ，EF(2, 2,0)設(shè) BM平面 EFG， M為垂足，則M、 G、 E、 F四點共面，由共面向量定理知，存在實數(shù) a、 b、 c，使得 BMaBEbBFcBG (abc1) ，歡下載精品資源BMa(2,0,0)b(4,2,0)c(0,4,2)(2a+4,2 4c,2c)b b由BM平面，得BMGE，BMEF，于是EFGB MG E0， BM EF0( 2a4b,2b4c,2c)( 2,4, 2)0( 2a4b,2b4c,2c)( 2,2,0)0abc1a15a5c0117 整理得：a3b 2c 0，解得b

6、abc1113c11 BM (2 a+4b, 2b 4c,2 c) ( 2 , 2 , 6 ) 11 11 11222211226 |BM|11111111故點 B 到平面 EFG的距離為 2 1111另法： B(0, 4,0)， E(2,4,0)， F (4,2,0)， G (0,0,2)設(shè) EFG的方程為：AxBy CzD 02A4BD0D , CD則4A2BD0 AB2CD062取 D 6，則 A=B=1,C=3所以 EFG的方程為：xy3z60 ，所以點 B(0, 4,0) 到平面 EFG的距離為：歡下載精品資源| Ax0 By0Cz0 D |22 11dB2C 211.A211說明：

7、用向量法求點到平面的距離，常常不必作出垂線段，只需利用垂足在平面內(nèi)、共面向量定理、兩個向量垂直的充要條件解出垂線段對應(yīng)的向量就可以了例 2已知正方體ABCD A B C D 的棱長為 1，求直線 DA 與 AC的距離分析：設(shè)異面直線DA 、 AC的公垂線是直線l ，則線段 AA 在直線 l 上的射影就是兩異面直線的公垂線段， 所以此題可以利用向量的數(shù)量積的幾何意義求解解：如圖， 設(shè) B A i ， B C j ， B Bk ，以 i 、 j 、k 為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系B xyz ，則有 A(1,0,0) ， D (1,1,1) ， A(1,0,1) ， C(0,1,1) DA (0,1

8、, 1)， AC(1,1,0) ， A A(0,0,1) 設(shè) n(x, y, z) 是直線 l 方向上的單位向量，則x2y 2z21nDA ， nAC ，yz033xy0，解得 xyzxyz或3x2y 2z213取 n(3, 3,3 ) ，則向量 A A 在直線 l 上的投影為333n A A(3 ,3 ,3 ) (0,0,1)33333由兩個向量的數(shù)量積的幾何意義知，直線DA 與 AC的距離為33例 3如圖，已知線段AB 在平面 內(nèi)，線段 AC，線段 BD AB，線段DD ，DBD 30 ，如果AB a， AC BDb，求 C、 D間的距離歡下載精品資源解：由 AC，可知 ACAB 由DBD

9、 30 可知， CA , BD 120 ， |CD |2 (CAABBD )2 |CA |2 | AB |2 | BD |2 2( CAAB CA BD AB BD ) b2a 2b22b 2 cos120 a 2b2 CDa 2b2小結(jié)：選定空間同起點且不公面的三個向量作為一個基底，并用它表示指定的向量，是用向量知識解決立體幾何問題的基本要領(lǐng)解題中要結(jié)合已知和未知去觀察圖形、聯(lián)想有關(guān)的運算法則和公式等，就近表示所需的向量，再對照目標(biāo)將不符合要求的向量加以調(diào)整，如此反復(fù)，直至所有向量符合目標(biāo)要求例 4如果一條直線與一個平面平行那麼過這個平面內(nèi)的一點與這條直線平行的直線必在這個平面內(nèi)已知： a

10、， A ， Ab 且 a b求證： b證明：假設(shè) b過 A 點和 a 確定平面為a， =b1， b1， A b1Ab1 a a b1由 a b 而 b， b1 都過點 A這樣，在平面內(nèi)過 A 有兩條直線 b 和 b1 都平行于 a這是不可能的 b例 5正方形ABCD和正方形 ABEF所在平面互相垂直，點M，N 分別在對角線 AC和 BF 上，且 AM=FN求證： MN平面 BEC分析：證線面平行線線平行，需找出面BEC中與 MN平行的直線證法（一）：作 NKAB 交 BE于 K，作 MH AB交 BC于 H MH NK ABCD與 ABEF是兩個有公共邊AB的正方形它們是全等正方形FE AM=

11、FN CM=BNN又 HCM= KBN， HMC= KNBK HCM KBN MH=NKAB MHKN是平行四邊形 MNHKP HK 平面 BEC MN平面 BECMHC歡下載精品資源 MN平面 BEC證法（二）：分析：利用面面平行線面平行過 N作 NP BE，連 MP， NP AF FN/FB=AP/AB AM=FN， AC=BF FN/FB=AM/AC AP/AB=AM/AC MP BC平面 MNP平面 BCE MN平面 BCE例 6在三棱錐 P-ABC中，三條側(cè)棱 PA， PB， PC兩兩垂直， H 是 ABC的垂心求證： PH 底面 ABC ABC是銳角三角形P證明： PA PB PA

12、PC且 PB PC=P PA 側(cè)面 PBC 又 BC 平面 PBD PA BC H 是 ABC的垂心 AH BC PA AH=A BC 截面 PAH又 PH 平面 PAH BC PHACH同理可證： AB PH 又 AB BC=BPH 面 ABCE設(shè) AH與直線 BC的交點為 E，連接 PEB由知 PH 底面 ABC AE為 PE在平面 ABC的射影由三垂線定理： PE BC PB PC即 BPC是直角三角形， BC為斜邊 E 在 BC邊上 由于 AE BC，故 B C都是銳角同理可證：A 也是銳角 ABC為銳角三角形例 7 正三棱柱ABC-A1B1C1 的側(cè)面三條對角線AB1， BC1， C

13、A1 中， AB1 BC1求證： AB1 CA1證明：取AB， A1B1 中點 D， D1 連接 CD， C1D1 及 A1D， BD1由三棱柱可知，面A1B1C1面 AB1C1在正 A1B1C1 中， C1D1A1B1 C1D 面 AB1 ( 同理 CD 面 AB1) BD1 是 BC1 在平面 AB1 內(nèi)的射影 AB1 BC1 AB1 BD1 BD1 AD1 AB1 A1D且 AD1 是 A1C在平面 AB1 內(nèi)的射影 AB1 A1C例 8 在正四棱柱 AC1 中，底面邊長為 1，側(cè)棱長為 2，求 D1B1 與平面 A1BCD1 所成的角求 B1 到平面 A1BC1 的距離A1B1CAB分

14、析：按定義需作 B1D1 在平面 A1BCD1上的射影，那麼在此平面上射影的位置該落何處，這就是要考慮垂足的定位問題常用方法： 過 B1 作 A1B 的垂線 B1E B1E 平面 A1BCD1 過 B1 作平面 A1BCD1 的垂線 B1E 平面 A1BCD1 E A1B歡下載精品資源(3) 在垂面內(nèi)做垂線D1解： BC AB , BCBB1 BC 面 A1B面 A1C 面 A1B過 B1 作 B1E A1B=EB1E 平面 A1BCD1A1連 D1E，則 D1E 是 B1D1 在平面 A1BCD1 上的射影故 B 1D1E 即 B1D1 與平面 A1BCD1所成的角DE且在 Rt B 1ED

15、1 中， B1E=A1B1*B1B/A1B=252A Sin B 1D1E=51025(2) 解一：正方形A1B1C1 D1 中 ,等腰BA1C1 中 A1C1 B 1D1 ,BO A 1C1 A1C1 面 B1BO面 A1C1B 面 B1BO過 B1作高線 BO垂線B1 HBO 于 H則 B1 H面 A1C1B連 A1C1，過 B1 作平面 A1BC1 的垂線，垂足為 H，則 B1H的長即點 B1 到平面 A1BC1 的距離，由正棱柱性質(zhì) :B 1A1，B1C1， B1B 兩兩垂直 H是 A1BC1 的垂心連 BO則 BO A1C1 H BOC1B 1CB B1B 底面 A1C1B1B B1O， B1H BOBB1OB12222B 1H=323OB2(OB= 22(2) 23 2)22D 1OA 1HDC1B 1C即頂點 B1 到截面 A1BC1 的距離為23AB解二：（利用等積法 ）考察四面體B1A1BC1設(shè)頂點 B1 到 A1BC1 的距離為h則為三棱柱B1-A 1BC1 的高VB1-A 1BC1=VB-ABC1 1 *SA1BC1*h= 1 *S A1BC1*B1B A1C