湖南大學(xué)研究生工程數(shù)學(xué)歷年試卷及答案

1、研究生課程考試命題專用紙湖南大學(xué)研究生課程考試命題專用紙考試科目： 工程數(shù)學(xué) 專業(yè)年級(jí)：2011級(jí)專業(yè)型碩士研究生考試形式：閉卷(可用計(jì)算器) 考試時(shí)間： 120分鐘注：答題（包括填空題、選擇題）必須答在專用答卷紙上，否則無效。一 填空題（每小題5分，共30分） 1. 用作為圓周率的近似值時(shí)，有 位有效數(shù)字。 2. 要使迭代法局部收斂到 則的取值范圍是 . 3. 若 則譜條件數(shù) . 4. 設(shè)為個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn)，為拉格朗日插值基函數(shù)，則 . 5. 已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 01231245 則擬合這組數(shù)據(jù)的直線為 . 6. 要使求積公式具有2次代數(shù)精度，則 ， 二 ( 11分) 給定方程(1) 證明該方程在

2、區(qū)間內(nèi)存在唯一實(shí)根(2) 用牛頓迭代法求出的近似值，取初值 要求 三( 10分) 用高斯列主元素消去法解線性方程組 四(10分) 給定線性方程組 寫出求解該方程組的雅可比迭代格式，并分析雅可比迭代法的收斂性。 五(13分) 試根據(jù)數(shù)表0210141611 構(gòu)造Hermite (埃爾米特)插值多項(xiàng)式 六(10分) 求常數(shù)使積分 取最小值。七(16分) 用龍貝格方法求積分 的近似值，要求誤差不超過 工程數(shù)學(xué)試題參考答案一 (1) 7 ; (2) ; (3) 3 ; (4) ; (5) ; (6) 二 解. (1) 因?yàn)?所以由零點(diǎn)定理和單調(diào)性知原方程在內(nèi)存在唯一實(shí)根 (4分) (2) 牛頓迭代格式

3、為 (7分) 取初值 計(jì)算結(jié)果如下：012341.51.2380951.1968151.1958241.195823 (11分)三解. (2分) (4分) (5分) (7分) 等價(jià)的上三角形方程組為 回代得 (10分)四. 解. 雅可比迭代格式為 雅可比迭代矩陣 (5分) 其特征方程 的特征值 (8分) 因?yàn)樽V半徑 所以雅可比迭代法收斂。 (10分)五列表計(jì)算差商一階差商二階差商三階差商四階差商11011010144321611216110(10分) (13分) 六解. 取 定義內(nèi)積 則 (5分) 正規(guī)方程組為 (8分) 解得 (10分)七. 解. 計(jì)算結(jié)果見下表 01.333333311.1

4、6666671.111111221.11666671.10000001.099259331.10321071.09872541.09864041.0986306 (14分)因?yàn)?所以 (16分)湖南大學(xué)研究生課程考試命題專用紙考試科目： 工程數(shù)學(xué)(A卷) 專業(yè)年級(jí)：2014級(jí)專業(yè)型碩士研究生考試形式：閉卷(可用計(jì)算器) 考試時(shí)間： 120分鐘注：答題（包括填空題、選擇題）必須答在專用答卷紙上，否則無效。三 填空題（每小題4分，共20分） 1. 設(shè) 則導(dǎo)數(shù)值有 位有效數(shù)字。 2. 若 則 ，條件數(shù) . 3. 設(shè)，則差商 ， . 4. 擬合三點(diǎn)的直線是 . 5. 參數(shù) 時(shí)，求積公式的代數(shù)精 度達(dá)到

5、最高，此時(shí)代數(shù)精度為 .四 (12分) 給定方程(3) 證明該方程在區(qū)間內(nèi)存在唯一實(shí)根(4) 寫出牛頓迭代法求的迭代格式；(5) 若取初值 牛頓迭代法是否收斂？若收斂，指出收斂階數(shù)。3 ( 12分) 用三角分解法解線性方程組 四( 16分) 分別給出用雅可比迭代法和高斯賽德爾迭代法解線性方程組 時(shí)，對(duì)任意初始向量都收斂的充要條件. 五(16分) 用插值法求一個(gè)二次多項(xiàng)式 使得曲線在處與曲線 相切，在處與相交，并證明 六(12分) 求在上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式。 7 (12分) 已知函數(shù)表 00.1250.2500.3750.50010.99739780.98961580.97672670.9

6、588510 0.6250.7500.87510.93615560.90885160.87719250.8414709 請(qǐng)分別用的復(fù)化梯形公式和的復(fù)化辛浦生公式計(jì)算積分的 近似值.（取7位浮點(diǎn)數(shù)） 工程數(shù)學(xué)試題(A卷)參考答案一 (1) 3 ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) . 2 解. (1) 因?yàn)樵谏线B續(xù)，并且 所以由零點(diǎn)定理和單調(diào)性知原方程在內(nèi)存在唯一實(shí)根 (4分) (2) 牛頓迭代格式為 (8分) 因?yàn)?所以牛頓迭代法收斂， 且收斂階為2. (12分) 三. 解. 用杜里特爾分解法求解。按緊湊格式計(jì)算得 于是得 ( 9分) 回代求解上三角形線性方程組 得原方程組的解為 即

7、 ( 12分)4 解. 雅可比迭代矩陣 其特征方程為 ( 4分)的譜半徑 所以J法收斂的充要條件是. (8分) 賽德爾迭代矩陣 其特征方程為 (12分)的譜半徑 所以G-S法收斂的充要條件是.(16分)5 解. 由條件得 (3分) ( 6分) 作差商表 一階差商二階差商010100 ( 9分) ( 12分) 記 令 得 所以 故 ( 16分)6 解. (1) 取 并設(shè)一次最佳平方逼近多項(xiàng)式為 則 (6分) 正規(guī)方程組為 ( 8分) 解得 故所求的最佳平方逼近多項(xiàng)式為 ( 12分) 7 解. . ( 6分) = ( 12分) 湖南大學(xué)研究生課程考試命題專用紙考試科目： 數(shù)值分析 （A卷）參考答案

8、 專業(yè)年級(jí)： 11級(jí)各專業(yè)考試形式： 閉 卷（可用計(jì)算器） 考試時(shí)間：120分鐘注：答題（包括填空題、選擇題）必須答在專用答卷紙上，否則無效。一、簡(jiǎn)答題(20分)1、避免誤差危害的主要原則有哪些？答：（1）兩個(gè)同號(hào)相近的數(shù)相減（或異號(hào)相近的數(shù)相減），會(huì)喪失有效數(shù)字，擴(kuò)大相對(duì)誤差，應(yīng)該盡量避免。（2分） （2）很小的數(shù)做分母（或乘法中的大因子）會(huì)嚴(yán)重?cái)U(kuò)大誤差，應(yīng)該盡量避免。（3分） （3）幾個(gè)數(shù)相加減時(shí)，為了減少誤差，應(yīng)該按照絕對(duì)值由大到小的順序進(jìn)行。（4分） （4）采用穩(wěn)定的算法。（5分） 2求解線性方程組的高斯消元法為什么要選主元？哪些特殊的線性方程組不用選主元？答：（1） 若出現(xiàn)小主元，將

9、會(huì)嚴(yán)重?cái)U(kuò)大誤差，使計(jì)算失真，所以高斯消元法選主元。（3分） （2）當(dāng)系數(shù)矩陣是對(duì)稱正定矩陣時(shí)，高斯消元法不用選主元。（4分） （3）當(dāng)系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約對(duì)角占優(yōu)時(shí)，高斯消元法不用選主元。（5分） 3求解非線性方程的Newton迭代法的收斂性如何？ 答：（1） Newton迭代法是局部收斂的，即當(dāng)初值充分靠近根時(shí)，迭代是收斂的。（2分） （2）用Newton迭代法求方程的單根時(shí)，其收斂至少是平方收斂，若求重根，則只有線性收斂。（5分）4Newton-Cotes 積分公式的穩(wěn)定性怎么樣？答：（1）Newton-Cotes 積分公式當(dāng)時(shí)，Cotes系數(shù)都為小于1的正數(shù)，因此是穩(wěn)定的。（3

10、分） （2）當(dāng)時(shí)，出現(xiàn)了絕對(duì)值大于1的Cotes系數(shù)， 因此是不穩(wěn)定。（5分） 二、(10分) 證明函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的k階差商可以寫成對(duì)應(yīng)函數(shù)值的線性組合，即 其中節(jié)點(diǎn)。證明：通過簡(jiǎn)單計(jì)算，可知 （2分）。Newton插值多項(xiàng)式為，（5）Lagrange插值多項(xiàng)式為 其中， （8分） 由于插值多項(xiàng)式的唯一性，比較兩個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，他們應(yīng)該相等，從而。 （10分） 本題也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明。三、(10分). 求解非線性方程在區(qū)間0,1內(nèi)的根，誤差不超過0.001.（簡(jiǎn)單迭代法和Newton迭代法中選一種方法。） 解： 因?yàn)?，在區(qū)間恒成立，所以取初值 若， （3分） 則Newton迭代 收斂，取0.8

11、， 具體迭代過程如下： （7分） x=0.8;y=x-(3*x2-sin(x)-1)/(6*x-cos(x)y = 0.75061432494672 x=y;y=x-(3*x2-sin(x)-1)/(6*x-cos(x)y = 0.74844662434814 x=y;y=x-(3*x2-sin(x)-1)/(6*x-cos(x)y = 0.74844244703132 （10分） 注：若是采用簡(jiǎn)單迭代法：則計(jì)分如下：寫出迭代格式（3分），證明格式的收斂性（4分）， 計(jì)算過程（3分），共10分。四、(10分)求函數(shù)在區(qū)間上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式。 解：設(shè)一次最佳平方逼近多項(xiàng)式為y=a+bx,

12、 正規(guī)方程組為： (7分) 求解方程組，得到 a=0.87312731383618 （4e-10） b=1.69030902924573 (18-6e) （10分）五、(10分) 利用三角分解法求解線性方程組：。 解： 系數(shù)矩陣的三角分解A=LU, 其中，A = 3 2 3 2 2 0 3 0 12 L = 1 0 0 2/3 1 0 1 -3 1 U = 3 2 3 0 2/3 -2 0 0 3 （6分）求解方程組Ly=b, 則 y= 5 -1/3 1 ; （8分）求解方程組Ux=y, 則 x=1 1/2 1/3 （10分）六、(10分)寫出求解線性方程組 Gauss-Seidel迭代格式，并判斷收斂性。 解： Gauss-Seidel迭代格式為： （5分） 因?yàn)橄禂?shù)矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，所以Gauss-Seidel迭代收斂。（10分）七、（10分）已知函數(shù)的數(shù)據(jù)如下表，求相應(yīng)的插值多項(xiàng)式（Lagrange 插值多項(xiàng)式與Newton 插值多項(xiàng)式中選一種）。x1234y151430解： Lagrange插值多項(xiàng)式如下： （7分） （10分）注：若是用Newton插值多項(xiàng)式，則差商表（6分），正確寫出Newton插值多項(xiàng)式并整理（4分）總計(jì)（10）分八、(10分) 用變步長(zhǎng)求積公式計(jì)算積分，要求事后誤差不超過0.01. 解：1.5 （