數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)課件

1、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第七章第七章 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 濾波器在實(shí)際信號(hào)處理中起到了非常重要的作濾波器在實(shí)際信號(hào)處理中起到了非常重要的作用。任何檢測(cè)的信號(hào)都含有噪聲，而濾波是去除噪用。任何檢測(cè)的信號(hào)都含有噪聲，而濾波是去除噪聲的基本手段。本章介紹聲的基本手段。本章介紹IIR濾波器和濾波器和FIR濾波器的濾波器的設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)。IIR濾波器設(shè)計(jì)主要內(nèi)容包括：巴特沃思、濾波器設(shè)計(jì)主要內(nèi)容包括：巴特沃思、切比雪夫模擬低通濾波器設(shè)計(jì)；脈沖響應(yīng)不變法和切比雪夫模擬低通濾波器設(shè)計(jì)；脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法的數(shù)字化變換方法；數(shù)字高通、帶通雙線性變換法的數(shù)字化變換方法；數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

2、。而和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。而FIR濾波器是直接采用的濾波器是直接采用的數(shù)字式設(shè)計(jì)方法。針對(duì)數(shù)字式設(shè)計(jì)方法。針對(duì)FIR濾波器特征，首先介紹濾波器特征，首先介紹了其線性相位的實(shí)現(xiàn)條件，然后介紹了窗函數(shù)法和了其線性相位的實(shí)現(xiàn)條件，然后介紹了窗函數(shù)法和頻率抽樣法的設(shè)計(jì)方法頻率抽樣法的設(shè)計(jì)方法。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 7.1 概述概述7.1.1 濾波器的分類濾波器的分類 這里主要討論經(jīng)典濾波器的設(shè)計(jì)。這里主要討論經(jīng)典濾波器的設(shè)計(jì)。 按功能劃分經(jīng)典濾波器又可分為低通、按功能劃分經(jīng)典濾波器又可分為低通、高通、帶通、帶阻四種濾波器高通、帶通、帶阻四種濾波器 圖7-1 理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器幅度特性 數(shù)字濾波

3、器的設(shè)計(jì) 經(jīng)典濾波器設(shè)計(jì)從實(shí)現(xiàn)方法上分為經(jīng)典濾波器設(shè)計(jì)從實(shí)現(xiàn)方法上分為IIR濾波器和濾波器和FIR濾波器。它是一個(gè)線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)，如濾波器。它是一個(gè)線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)，如果濾波器用單位脈沖響應(yīng)序列果濾波器用單位脈沖響應(yīng)序列 表示，其輸入表示，其輸入 與輸出與輸出 之間的關(guān)系可以表示為：之間的關(guān)系可以表示為： ( )h n( )x n( )y n ( )( )y nx nh n( )h n 的的Z變換稱為系統(tǒng)函數(shù)。變換稱為系統(tǒng)函數(shù)。IIR濾波器和濾波器和FIR濾波濾波器的系統(tǒng)函數(shù)分別是：器的系統(tǒng)函數(shù)分別是：1011( )1NkkNkkb zHza z10()()NnnHzhnz數(shù)字濾

4、波器的設(shè)計(jì)7.1.2 數(shù)字濾波器的性能要求數(shù)字濾波器的性能要求 一個(gè)理想濾波器，要求所在通頻帶內(nèi)幅頻響應(yīng)是一個(gè)理想濾波器，要求所在通頻帶內(nèi)幅頻響應(yīng)是一常數(shù)；相位頻率相應(yīng)為零或是頻率的線性函數(shù)。但一常數(shù)；相位頻率相應(yīng)為零或是頻率的線性函數(shù)。但一個(gè)實(shí)際的濾波器要是不可能得到上述幅頻和相頻響一個(gè)實(shí)際的濾波器要是不可能得到上述幅頻和相頻響應(yīng)。以低通濾波器為例，頻率響應(yīng)有通帶、過渡帶及應(yīng)。以低通濾波器為例，頻率響應(yīng)有通帶、過渡帶及阻帶三個(gè)范圍阻帶三個(gè)范圍。 1 ：通帶衰減通帶衰減 2 ：阻帶衰減阻帶衰減 c ：通帶截止頻率通帶截止頻率 st：阻帶截止頻率阻帶截止頻率 c st ：過渡帶過渡帶 數(shù)字濾波器

5、的設(shè)計(jì)0()20lg,()cjppjH edBH e越小 通帶越平坦()jH estc11112圖7-2 逼近理想低通濾波器得容限圖ps通帶最大衰減通帶最大衰減。p數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)0()20lg,()stjssjH edBH e越大 阻帶衰減越大當(dāng)幅度下降到當(dāng)幅度下降到 ， ，此時(shí)，此時(shí) ，稱，稱 為為3 3dBdB通帶截止頻率。通帶截止頻率。22c3pdBc阻帶最小衰減s數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)7.1.3 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器一般有以下兩種方法：數(shù)字濾波器一般有以下兩種方法： 1. 模擬濾波器模擬濾波器:首先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾首先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬

6、濾波器，然后將它轉(zhuǎn)換成滿足給定指標(biāo)的數(shù)波器，然后將它轉(zhuǎn)換成滿足給定指標(biāo)的數(shù)字濾波器，這種方法適合于設(shè)計(jì)幅頻特性字濾波器，這種方法適合于設(shè)計(jì)幅頻特性比較規(guī)則的濾波器，例如低通、高通、帶比較規(guī)則的濾波器，例如低通、高通、帶通、帶阻等通、帶阻等。 2.直接在頻域或者時(shí)域中進(jìn)行數(shù)字濾波器直接在頻域或者時(shí)域中進(jìn)行數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，由于要聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算設(shè)計(jì)，由于要聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)作輔助設(shè)計(jì)。機(jī)作輔助設(shè)計(jì)。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)7.27.2無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)1.設(shè)計(jì)的一般方法設(shè)計(jì)的一般方法 IIR濾波器以模擬低通濾波器為基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)方濾波器以模擬低通濾波器為基

7、礎(chǔ)的設(shè)計(jì)方法，為了設(shè)計(jì)其他的選頻濾波器（高通，帶通，帶法，為了設(shè)計(jì)其他的選頻濾波器（高通，帶通，帶阻等），需要對(duì)低通濾波器進(jìn)行頻率轉(zhuǎn)換，在設(shè)計(jì)阻等），需要對(duì)低通濾波器進(jìn)行頻率轉(zhuǎn)換，在設(shè)計(jì)過程中有兩種不同的變換過程中有兩種不同的變換,頻帶變換和模擬頻帶變換和模擬/數(shù)字變數(shù)字變換。根據(jù)這兩種變換的先后次序，引出兩種設(shè)計(jì)方換。根據(jù)這兩種變換的先后次序，引出兩種設(shè)計(jì)方法法。 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)圖7-3 IIR濾波器的設(shè)計(jì)流程2.巴特沃思低通濾波器巴特沃思低通濾波器（1）基本性質(zhì)）基本性質(zhì) 巴特沃思濾波器以巴特沃思函數(shù)來近似濾波器的巴特沃思濾波器以巴特沃思函數(shù)來近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。巴特沃斯濾波器是根據(jù)幅

8、頻特性在通頻帶系統(tǒng)函數(shù)。巴特沃斯濾波器是根據(jù)幅頻特性在通頻帶內(nèi)具有最平坦特性定義的濾波器。內(nèi)具有最平坦特性定義的濾波器。 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)(7.2.1).下面歸納了巴特沃斯濾波器的主要特征下面歸納了巴特沃斯濾波器的主要特征 a.對(duì)所有的對(duì)所有的N， 。 201aHj 巴特沃思濾波器的低通模平方函數(shù)表示221|()|1,2,1(/)aNcHjN b. 對(duì)所有的對(duì)所有的N， 212caHj 0.707caHj 20 lg3caHjdB 即c. 是是 的單調(diào)下降函數(shù)的單調(diào)下降函數(shù)。2aHjd. 隨著階次隨著階次N的增大而更接近于理想低通的增大而更接近于理想低通濾波器。濾波器。2aHj數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

9、 如圖如圖7-4，可以看出濾波器的幅頻特性隨著濾波器，可以看出濾波器的幅頻特性隨著濾波器階次階次N的增加而變得越來越好，在截止頻率的增加而變得越來越好，在截止頻率 處的函處的函數(shù)值始終為數(shù)值始終為1/2的情況下，通帶內(nèi)有更多的頻帶區(qū)的值的情況下，通帶內(nèi)有更多的頻帶區(qū)的值接近于接近于1；在阻帶內(nèi)更迅速的趨近于零。；在阻帶內(nèi)更迅速的趨近于零。 c圖7-4 巴特沃思低通濾波平方幅頻特性函數(shù)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 在以后的設(shè)計(jì)和分析時(shí)，經(jīng)常用歸一化巴特沃思低通濾波器為原型濾波器，一旦歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)確定后，其它巴特沃思低通濾波、高通、帶通、帶阻濾波器的傳遞函數(shù)都可以通過變換法從歸一化低通原型的傳遞

10、函數(shù) 得到。歸一化原型濾波器是指截止頻率 已經(jīng)歸一化成 的低通濾波器。對(duì)于截止頻率為某個(gè) 的低通濾波器，則令 代替歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的 ，即 對(duì)于其他高通、帶通、帶阻濾波器，可應(yīng)用后面討論到的頻帶變換法，由其變換得出。 aHsc1cccs ScSS數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)(2)系統(tǒng)函數(shù)和極點(diǎn)分布系統(tǒng)函數(shù)和極點(diǎn)分布 設(shè)巴特沃斯的系統(tǒng)函數(shù)設(shè)巴特沃斯的系統(tǒng)函數(shù) ，則頻率響應(yīng)是，則頻率響應(yīng)是 aHsaasjHjHs 2*aaaaasjHjHjHjHs Hs 211aaNCHsHssj令上式分母為零可以得到令上式分母為零可以得到 的的2N個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)Sk aaHs Hs210NkCsj212,1,2,.

11、,2kjNkcSekN并解得當(dāng)并解得當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)則為偶數(shù)時(shí)則 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)N N為奇數(shù)為奇數(shù)：22,1,2,.,2kjNkcSekN 的極點(diǎn)均勻分布在的極點(diǎn)均勻分布在s平面的單位圓平面的單位圓上，共有上，共有2N個(gè)角度間隔為個(gè)角度間隔為 /N的極點(diǎn)，極點(diǎn)關(guān)的極點(diǎn)，極點(diǎn)關(guān)于于j 軸對(duì)稱，不會(huì)落在虛軸上。將左半平面的軸對(duì)稱，不會(huì)落在虛軸上。將左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成極點(diǎn)構(gòu)成 。 aaH s Hs( )aHs(3)設(shè)計(jì)過程設(shè)計(jì)過程巴特沃思低通濾波技術(shù)指標(biāo)關(guān)系式為巴特沃思低通濾波技術(shù)指標(biāo)關(guān)系式為 ； 為通帶邊界頻率為通帶邊界頻率 ； 為阻帶邊界頻率為阻帶邊界頻率20log,papHj p20log,sa

12、sHjs數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)代入（代入（7.2.17.2.1） 化簡后得化簡后得 兩式相比消去后得兩式相比消去后得由此得由此得取滿足上式的最小整數(shù)取滿足上式的最小整數(shù)N作為濾波器的階數(shù)。作為濾波器的階數(shù)。 2110log1pNpc2110log1sNsc 0.12()101pNpc0 .12()1 01sNsc0.10.12()(101) (101)psNps0.10.1lg(101) (101)2 lg ()pspsN數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)將將N N 帶入式（帶入式（7.2.47.2.4）或式）或式(7.2.5)(7.2.5)可得截止頻率可得截止頻率 或或 查表求得歸一化傳輸函數(shù)查表求得歸一化傳輸函數(shù)

13、 , ,令令 代替歸一化原代替歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的 , , 即即 代入代入 ，即得到實(shí)際濾波器傳輸函數(shù)，即得到實(shí)際濾波器傳輸函數(shù)。0.11 2(101)pPcN 0.11 2(101)sscN ( )aHScs ScSS( )aH S例例7.1 7.1 設(shè)計(jì)一巴特沃思低通濾波器，使其滿足以下指標(biāo)設(shè)計(jì)一巴特沃思低通濾波器，使其滿足以下指標(biāo): : 通帶邊頻通帶邊頻 , ,通帶的最大衰減為通帶的最大衰減為 ，阻帶，阻帶邊頻為邊頻為 , ,阻帶的最小衰減為阻帶的最小衰減為 。20prad s 2pdB30srad s10sdB數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)解解: :濾波器技術(shù)指標(biāo)為濾波器

14、技術(shù)指標(biāo)為 ， ， , ,確定階次確定階次N N，代入式（代入式（7.2.67.2.6） 取取 N N=4=4 查表得四階巴特沃思多項(xiàng)式，得歸一化系統(tǒng)函數(shù)表查表得四階巴特沃思多項(xiàng)式，得歸一化系統(tǒng)函數(shù)表 達(dá)式達(dá)式由式（由式（7.2.77.2.7）得）得 用用 替換式（替換式（7.2.87.2.8）中的）中的s s，構(gòu)成巴特沃思濾波器傳輸構(gòu)成巴特沃思濾波器傳輸函數(shù)函數(shù)H(s)H(s)為為 20prad s 2pdB30srad s 10sdB0.10.1lg(101)(101)3.3712 lg ()pspsN4321( )2.6133.4142.6131aH sssss10.1 282021.3

15、87101ccs54332452.09 10( )55.881.562 102.556 102.09 10aH sssss數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)3. 切比雪夫切比雪夫I濾波器濾波器切比雪夫切比雪夫I I型濾波器的幅度平方函數(shù)為型濾波器的幅度平方函數(shù)為 22211aNCHjC（1）基本性質(zhì)）基本性質(zhì)NC 是是N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為 NC數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)N=0，C0(x)=1N=1, C1(x)=xN=2, C2(x)=2x2-1=2xC1(x)-C0(x)迭代公式：迭代公式：CN(x)=2xCN-1(x)-CN-2(x) N1N=偶數(shù)，偶數(shù)，CN(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù) N=

16、奇數(shù)，奇數(shù)，CN(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù) 1)(1)coscos()(11xxNchchxxNxCN數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)切比雪夫多項(xiàng)式曲線切比雪夫多項(xiàng)式曲線1-1xCN(x)11) x:0, 1 設(shè)：設(shè)： =Ncos-1x , x: 0 1N=0 , =0 C0(x):1N=1 , : /2 0, C1(x):0 1N=2 , : /2 0, C2(x):-1 0 1N=3 , : 3 /2 0, C2(x):0 -1 0 1N=4 , : 2 0, C2(x):1 0 -1 0 12) x:1, ) x ch(ch-1x) 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) x=0, N=even, |CN(0)|=1, N=od

17、d, CN(0)=0 x=1, CN(1)=1 |x|1, CN(x)在在-1, +1之間波動(dòng)，之間波動(dòng)， N增加，波動(dòng)次數(shù)增加增加，波動(dòng)次數(shù)增加 |x|1, CN(x)單調(diào)上升，單調(diào)上升，N增加，上升速度增加。增加，上升速度增加。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)N=3N=41)(2A c c1/(1+ 2)(11)(222 NCA 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)切比雪夫?yàn)V波器的幅頻響應(yīng)有如下特點(diǎn)：切比雪夫?yàn)V波器的幅頻響應(yīng)有如下特點(diǎn)： 1)0 1)0 時(shí)，曲線單調(diào)下降時(shí)，曲線單調(diào)下降, , 越大，越大，N N越大，曲線衰越大，曲線衰減越快。減越快。c|()|aHj211|()|aHj21|() |1aHjc|()|aHj2

18、11c數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)(2)設(shè)計(jì)過程 1)根據(jù)要求的濾波器指標(biāo)確定波紋參數(shù) 和階數(shù)N。 由允許的通帶波紋 確定。則 濾波器的階數(shù)N由阻帶允許的衰減確定。 2)查表求得歸一化傳輸函數(shù) ,令 代替歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的 ，即得到實(shí)際濾波器傳輸函數(shù) 。1121 01 010.10.111101101()psspchNchScSS( )aHS數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)1.變換原理 數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)h(n)正好等于模正好等于模擬濾波器的沖激響應(yīng)擬濾波器的沖激響應(yīng)h ha a(t)(t)的采樣值，即的采樣值，即 h(n)=hh(n)=ha a(nT), T(nT

19、), T為采樣周期為采樣周期. .如以如以 H Ha a(s) (s) 及及 H H（z z）分分別表示別表示 h ha a(t) (t) 的拉氏變換及的拉氏變換及 h(n) h(n) 的的Z Z變換，即變換，即aa(s)= L h(t) H (z)=h (n )H數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 便是的Z變換 。 ( )h n( )H z7.2.2脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法( Impulse Invariance ) 下面我們分析從模擬濾波器到數(shù)字濾波器下面我們分析從模擬濾波器到數(shù)字濾波器S平面和平面和Z平面之間的映射關(guān)系。平面之間的映射關(guān)系。 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) dtethsHstaa)()( nst

20、sasadtenTtnTh)()( nsnTnsnTsassenhenTh)()( )( )( )( )sTsnaz enH zh n zH sH z nsasaaanTtnThtthth)()()()()( 設(shè)設(shè)抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)的拉氏變換抽樣信號(hào)的拉氏變換序列序列h(n)的的z變換變換數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) j S/2- S/23 S/2ImZReZ()sssssTTj Tj Tzeeeresj 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)平平面面單單位位圓圓上上映映射射到到平平面面虛虛軸軸即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)zSzzssss2222:1|:,0 平面單位圓內(nèi)帶映射到左半平面的即時(shí)當(dāng)zSzrssss2222:, 1|, 1,

21、0平平面面單單位位圓圓外外帶帶映映射射到到右右半半平平面面的的即即當(dāng)當(dāng)zSzrss221| , 1, 0 平平面面均均重重疊疊映映射射到到同同一一增增加加平平面面上上每每條條帶帶的的區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)其其余余zssHsa)()(: 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)(1).( )( )aH zHs與的關(guān)系dtethsHstaa )()(dtetthstaa )()( dtemTtthstmsaa )()( mtjmsaTdtethsTs)(12)( mTaTssjmsH)(21 mjmTmsasTtsemTt 21)(數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì))(,)(,)(,)()(zHzsHezsHssHthAFasTaaas得得到到平平

22、面面上上映映射射到到將將關(guān)關(guān)系系的的映映射射然然后后再再經(jīng)經(jīng)過過得得到到周周期期延延拓拓平平面面上上沿沿虛虛軸軸在在的的拉拉氏氏變變換換的的 msaTezjmsHzHsssT)()(1 msaTajmsHsHs)()(1(2) 抽樣信號(hào)與原信號(hào)關(guān)系抽樣信號(hào)與原信號(hào)關(guān)系數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)2.混疊失真 利用抽樣序列的Z變換與模擬信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系，得 aa12( )STmz eH zH sHsjmTT12jammH eHjjTT 由采樣定律可知，如果模擬濾波器的頻率響應(yīng)帶限于折疊頻率 以內(nèi)2S()02saHj 這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響（存在于折疊頻率2S 以內(nèi)）數(shù)字

23、濾波器的設(shè)計(jì)1()()jaH eHjTT 但任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器，其頻率響應(yīng)都不但任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器，其頻率響應(yīng)都不可能是嚴(yán)格帶限的，因此不可避免地存在頻譜的交疊可能是嚴(yán)格帶限的，因此不可避免地存在頻譜的交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。 TT 原模擬信號(hào)的頻帶不是限于原模擬信號(hào)的頻帶不是限于之間，則會(huì)在之間，則會(huì)在的奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊，從而映射到的奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊，從而映射到Z平面上平面上， 附近產(chǎn)生頻率混疊。這種頻率混疊現(xiàn)象會(huì)使設(shè)附近產(chǎn)生頻率混疊。這種頻率混疊現(xiàn)象會(huì)使設(shè)計(jì)出的數(shù)字濾波器在計(jì)出的數(shù)字濾波器在 附近的頻率特性，程度不附近的頻率特性，程

24、度不同的偏離模擬濾波器在同的偏離模擬濾波器在 附近的頻率特性，嚴(yán)附近的頻率特性，嚴(yán)重時(shí)使數(shù)字濾波器不滿足給定的技術(shù)指標(biāo)。重時(shí)使數(shù)字濾波器不滿足給定的技術(shù)指標(biāo)。 T 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)()aHj( )aHs( )ah t()aHj( )aHs( )ah tpsss解決混疊的方法：解決混疊的方法：1)濾波器指標(biāo)以模擬域形式給出，此時(shí)濾波器指標(biāo)以模擬域形式給出，此時(shí)已確定，采樣頻率已確定，采樣頻率T增加，混疊減小。增加，混疊減小。未確定，但未確定，但已定，采樣頻率增加，為保證已定，采樣頻率增加，為保證不變，必有不變，必有增加，增加濾波器的階數(shù)增加，增加濾波器的階數(shù)N，混疊，混疊2)濾波器指標(biāo)以數(shù)字域形

25、式給出，此時(shí)濾波器指標(biāo)以數(shù)字域形式給出，此時(shí)( )aHs減小。減小。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)若只有單階極點(diǎn)，且分設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)若只有單階極點(diǎn)，且分母的階數(shù)高于分子階數(shù)母的階數(shù)高于分子階數(shù) N NM M，則可表達(dá)為部分分式則可表達(dá)為部分分式形式形式 其拉氏反變換為其拉氏反變換為 是單位階躍函數(shù)，是單位階躍函數(shù)，對(duì)對(duì)ha(t)采樣得到數(shù)字濾波器的采樣得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列單位脈沖響應(yīng)序列1( )NiaiiAHsss1( )( )iNs taiihtA eu t( )u t11( )()( )()( )iiNNs nTsTnaiiiih nh nTAeu nA eu

26、 n3.數(shù)字化設(shè)計(jì)數(shù)字化設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)再對(duì)再對(duì)h h( (n n) )取取Z Z 變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)10110( )()iiNNs nTs TnniiniinH zA ezAez 第二個(gè)求和為等比級(jí)數(shù)之和，要收斂的話第二個(gè)求和為等比級(jí)數(shù)之和，要收斂的話 必有必有111()1iis Tkks Tezez 1()0is Tkkez11()1iNis TiAHzez所以所以 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)例例7.2 IIR低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)如下：低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)如下：1）通帶截止頻率）通帶截止頻率P0.1rad， 阻帶起始頻率阻帶起始頻率s0.25rad 2）

27、通帶最大衰減通帶最大衰減p=3dB， 阻帶最小衰減阻帶最小衰減s=15dB4.設(shè)計(jì)舉例設(shè)計(jì)舉例解：解：1) 根據(jù)根據(jù)DF指標(biāo)指標(biāo), 將將DF指標(biāo)轉(zhuǎn)換為歸一化指標(biāo)轉(zhuǎn)換為歸一化LPF指標(biāo)指標(biāo) dBdBTTsppsspsspss1535.2/ 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)2211)(,2sssHNa 選選巴巴特特沃沃思思濾濾波波器器2) 根據(jù)歸一化根據(jù)歸一化LPF指標(biāo)指標(biāo), 查表求查表求Ha(S)pssaaasHsHjsssjssjsH 11111211111) ()(707. 0707. 021)*() (3) 將將Ha(S)化成部分分式之和化成部分分式之和數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) sTjHeHnThTnheHTaj

28、sasjs)()()()()(此時(shí)此時(shí)一般情況下，令一般情況下，令增益太高增益太高很小時(shí)，很小時(shí)，當(dāng)當(dāng)4) 求求H(z) 111121*11112)(zejzejTzHsssppp sTsjHeHaTj)()(1數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)7.2.3雙線性變換法雙線性變換法 （Bilinear Transform)1.變換原理變換原理 s s平面到平面到z z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系二次映射法二次映射法 為了將為了將S S平面的平面的jj軸壓縮到軸壓縮到S S1 1平面平面jj1 1軸上的軸上的 到到 一段上，可通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn)：一段上，可通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn)： （7.2.7.2.1111）1

29、SSZTT1ta n ()2TC 這里這里C是待定常數(shù)，下面會(huì)講到用不同的方法確是待定常數(shù)，下面會(huì)講到用不同的方法確定定C 。 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 當(dāng)當(dāng) 由由 時(shí)時(shí), , 由由 經(jīng)過變化到經(jīng)過變化到 ，即即S S平面的整個(gè)平面的整個(gè) 軸被壓縮到軸被壓縮到S S1 1平面的平面的 一段一段. .式（式（7.2.117.2.11）又可以寫成）又可以寫成將這一關(guān)系解析擴(kuò)展至整個(gè)將這一關(guān)系解析擴(kuò)展至整個(gè)S S平面，平面， 則得到則得到S S平面到平面到S S1 1平面的映射關(guān)系：平面的映射關(guān)系：再將再將 S S1 1 平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z Z平面，即令平面，即令0 1T

30、Tj2T11112222TTjjTTjjeejCee11,js js 1111()21s Ts Ts TesC thCe1s Tze數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)從而得到從而得到s s平面與平面與z z平面的單值映射關(guān)系平面的單值映射關(guān)系 CszCs1111zsCz(7.2.12)11112)()( zzsTsasHzH數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)2.2.變換常數(shù)的選擇變換常數(shù)的選擇111tan22TTCC 2CT1ccT C 式（7.2.11）中常數(shù)的選擇可以使模擬濾波器的頻響特性和數(shù)字濾波器的頻響特性在不同的頻率范圍有對(duì)應(yīng)的關(guān)系，起到調(diào)節(jié)二者頻帶間關(guān)系的作用。選擇的方法有兩種。 1)使模擬濾波器和數(shù)字濾波器的頻響特

31、性在低頻部分有較確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即當(dāng) 較小時(shí)，有1由此得 2)使數(shù)字濾波器的某一特定頻率(例如截止頻率 與模擬原型濾波器的特定頻率 嚴(yán)格對(duì)應(yīng)，即1ccT C數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)平平面面整整個(gè)個(gè)平平面面的的一一個(gè)個(gè)帶帶域域平平面面整整個(gè)個(gè)映映射射過過程程：帶帶域域映映射射映映射射ZSS1sTsez1 2.雙線性變換可以消除頻率混疊的原因1tantan22CCCTCC 由于在待定的模擬頻率和待定的數(shù)字頻率處頻率響應(yīng)應(yīng)嚴(yán)格相等，因而可以較準(zhǔn)確的控制截止頻率位置。 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)):(11ssTTSS ：平面的一條帶（平面的一條帶（映射至映射至平面平面將整個(gè)將整個(gè))()()11sHsHaa映映射射sss

32、TsTsSTsSeeTsezzzTs11111211211 令令sSTTSTjtgTjTjss22211122 cossin數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)j 平平面面的的單單位位圓圓外外的的右右半半平平面面平平面面的的單單位位圓圓上上平平面面的的虛虛軸軸平平面面的的單單位位圓圓內(nèi)內(nèi)的的左左半半平平面面映映射射zszszsezzHsHsTsa 11111)()()2 1j 1 S/2- S/2ImZReZ 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)3. 模擬角頻率模擬角頻率和數(shù)字角頻率和數(shù)字角頻率的映射關(guān)系的映射關(guān)系22 tgsT Ha(j ) 2 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 接接近近線線性性關(guān)關(guān)系系與與附附近近在在是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增關(guān)關(guān)系系

33、與與在在主主值值區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi) ,0:,:)2為周期為周期以以周期性周期性特點(diǎn)特點(diǎn) 2,)1:周周期期重重復(fù)復(fù)的的映映射射為為將將在在其其余余周周期期內(nèi)內(nèi))()(,)3 jaeHjH 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)總結(jié)計(jì)算總結(jié)計(jì)算H(Z)步驟如下：步驟如下：設(shè)給定數(shù)字低通濾波器的通帶截止頻率設(shè)給定數(shù)字低通濾波器的通帶截止頻率 、阻帶截、阻帶截止頻率止頻率 、通帶波動(dòng)、通帶波動(dòng) 和阻帶波動(dòng)和阻帶波動(dòng) 。(1)(1)利用公式利用公式 對(duì)通帶和阻帶截止頻率對(duì)通帶和阻帶截止頻率 和和 進(jìn)行預(yù)畸變，求出模擬低通濾波器的通帶和阻進(jìn)行預(yù)畸變，求出模擬低通濾波器的通帶和阻帶截止頻率帶截止頻率 和和 。預(yù)畸變函數(shù)式為。預(yù)畸變函

34、數(shù)式為(2)(2)求滿足指標(biāo)求滿足指標(biāo) 、 、 和和 要求的模擬低要求的模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)通濾波器的傳輸函數(shù) 。(3)(3)利用雙線性變換公式利用雙線性變換公式 將將 映射成映射成pT122arctan2TpTT2t a n2TT12 aHS1111zsCz aHS H ZPP4.4.數(shù)字化設(shè)計(jì)數(shù)字化設(shè)計(jì) 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)11112 112 1( )( )1aazsTzzH zHsHTz例例7.3 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)IIR濾波器代替如下性能的模擬濾波器代替如下性能的模擬LPF: 1)fp=50Hz fs=125Hz 2)p3dB, s15dB 3)采樣頻率采樣頻率f=1kHz解解: 1)用脈沖響應(yīng)

35、不變法用脈沖響應(yīng)不變法 ; 2)雙線性變換法雙線性變換法數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 25. 01 . 0)225. 01 . 0)1. spssppTTDFA的的技技術(shù)術(shù)指指標(biāo)標(biāo)確確定定 dBdBtgctgdBdBLPFDFBspsspssppsps15,3615. 2)215,35 . 2)1.22 指標(biāo)指標(biāo)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為歸一化指標(biāo)轉(zhuǎn)換為歸一化將將數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)22211) (2)2211) (2)1) (.sssHNsssHNsHCaaa 查查表表求求11211) ()()2)()()()()() ()()1)() (. zzctgsaZTaaILTasaaappssHzHzHnThnhthsHsHs

36、HzHsHD 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換換為為將將數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì):0.80.3340pspsIIRHPFdBdB例7.4 已知數(shù)字指標(biāo)如下 04. 640,304029. 622:)1:sspspsdBdBLPFctgtg 指標(biāo)指標(biāo)歸一化歸一化指標(biāo)轉(zhuǎn)換指標(biāo)轉(zhuǎn)換解解數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)322211) (3: ) ()2ssssHNsHa選巴特沃斯濾波器查表求11112) ()()()3 zzptgsasHzHzH 求求(3)數(shù)字帶通的設(shè)計(jì)數(shù)字帶通的設(shè)計(jì)a.思路思路:歸一化歸一化LPF模擬模擬BPF數(shù)字?jǐn)?shù)字BPF數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì):.頻率變換關(guān)系式頻率變換關(guān)系式b)()()()(22SGsssflullul 1111 z

37、zCs22uulltgCtgC 將將代入上式代入上式數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì))()(coscos211sincos212222212ssssEffEctgDzzEzDsDlll 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)21:2,:400,300,3500,200,18lpsssfkHzfHz fHzdBfHz fHzdB例7.5 某系統(tǒng)采樣頻率設(shè)計(jì)一個(gè)為此系統(tǒng)使用的數(shù)字帶通濾波器 要求radradradradDFAssl 2.05.03.04.0:12 指指標(biāo)標(biāo)給給出出解解數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì):.指標(biāo)轉(zhuǎn)換指標(biāo)轉(zhuǎn)換B9193. 0coscos231375. 6222 llEctgDl 8665. 2sin2cos27944. 3s

38、in2cos22211 ssssssEDED 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 8865. 218,3sspdBdB 歸一化歸一化LPF指標(biāo)為：指標(biāo)為：121) () (.22 sssHsHCaa求求22111) ()(. zzEzDsasHzHD數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 前面我們學(xué)習(xí)了模擬低通濾波器，數(shù)字低通濾波前面我們學(xué)習(xí)了模擬低通濾波器，數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)，對(duì)于數(shù)字高通和帶阻的設(shè)計(jì)，可以借助于器的設(shè)計(jì)，對(duì)于數(shù)字高通和帶阻的設(shè)計(jì)，可以借助于模擬濾波器的頻率變換設(shè)計(jì)一個(gè)所需類型的模擬濾波模擬濾波器的頻率變換設(shè)計(jì)一個(gè)所需類型的模擬濾波器，再通過雙線性變換將其換算成所需類型的數(shù)字濾器，再通過雙線性變換將其換算成所需類

39、型的數(shù)字濾波器。波器。1.1.高通濾波器高通濾波器 和和 分別是低通的歸一化通帶截止頻率和歸分別是低通的歸一化通帶截止頻率和歸一化阻帶截止頻率，一化阻帶截止頻率， 和和 分別是高通的歸一化通帶分別是高通的歸一化通帶下限頻率和歸一化阻帶上限頻率。下限頻率和歸一化阻帶上限頻率。psps7.2.4數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)低通的低通的 從從 經(jīng)過經(jīng)過 和和 到到0時(shí)，高通的時(shí)，高通的 則從則從0經(jīng)過經(jīng)過 和和 到到 ，因此，因此 和和 之間關(guān)系為之間關(guān)系為 ，即是低，即是低通到高通的頻率變換公式。通到高通的頻率變換公式。 spsp1數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)總結(jié)步驟為：總結(jié)步驟為： (1)

40、確定數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)確定數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo) 、 。(2)將數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成高通模擬濾將數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成高通模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)波器的技術(shù)指標(biāo) 、 ，轉(zhuǎn)換公式為，轉(zhuǎn)換公式為 。(3)利用頻率變換利用頻率變換 將模擬高通濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)將模擬高通濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一化模擬低通濾波器換成歸一化模擬低通濾波器 的技術(shù)指標(biāo)。的技術(shù)指標(biāo)。psps2tan2T 1 G p(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器設(shè)計(jì)模擬低通濾波器 。(5)將模擬低通濾波器將模擬低通濾波器 通過頻率轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換成模擬高通過頻率轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換成模擬高通濾波器通濾波器 ，并去歸一化后得，并去歸一化后得 。 G

41、p G pH s ppsH sG p 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)(6)(6)采用雙線性變換，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成采用雙線性變換，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器所需類型的數(shù)字濾波器. .2.帶通濾波器帶通濾波器 112 11ZSTZHZHs 、 分別是模擬帶通濾波器通帶的下限和上限頻分別是模擬帶通濾波器通帶的下限和上限頻率，率， 是下阻帶的上限頻率，是下阻帶的上限頻率， 是上阻帶的下限頻率，是上阻帶的下限頻率，令令 為通帶帶寬，用為通帶帶寬，用B B做為歸一化參考頻率，做為歸一化參考頻率，13slsh31B 3311,slslshshBBBB 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)令令 為通帶的中心頻率，歸一化為通帶的中心頻率，歸一化 2231 2213 可以找到可以找到 和和 的轉(zhuǎn)換關(guān)系。的轉(zhuǎn)換關(guān)系。223122p數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) , ，所以有所以有由此可以得到低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)由此可以得到低通濾波器的技術(shù)指標(biāo) 、 ，可以，可以設(shè)計(jì)低通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)設(shè)計(jì)低通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù) 。 ，將，將 代入得到代入得到去歸一化，將去歸一化，將 代入上式得：代入上式得：可得模擬帶通濾