數(shù)字濾波器的設計課件

1、數(shù)字濾波器的設計第七章第七章 數(shù)字濾波器的設計數(shù)字濾波器的設計 濾波器在實際信號處理中起到了非常重要的作濾波器在實際信號處理中起到了非常重要的作用。任何檢測的信號都含有噪聲，而濾波是去除噪用。任何檢測的信號都含有噪聲，而濾波是去除噪聲的基本手段。本章介紹聲的基本手段。本章介紹IIR濾波器和濾波器和FIR濾波器的濾波器的設計。設計。IIR濾波器設計主要內容包括：巴特沃思、濾波器設計主要內容包括：巴特沃思、切比雪夫模擬低通濾波器設計；脈沖響應不變法和切比雪夫模擬低通濾波器設計；脈沖響應不變法和雙線性變換法的數(shù)字化變換方法；數(shù)字高通、帶通雙線性變換法的數(shù)字化變換方法；數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設計

2、。而和帶阻濾波器的設計。而FIR濾波器是直接采用的濾波器是直接采用的數(shù)字式設計方法。針對數(shù)字式設計方法。針對FIR濾波器特征，首先介紹濾波器特征，首先介紹了其線性相位的實現(xiàn)條件，然后介紹了窗函數(shù)法和了其線性相位的實現(xiàn)條件，然后介紹了窗函數(shù)法和頻率抽樣法的設計方法頻率抽樣法的設計方法。數(shù)字濾波器的設計 7.1 概述概述7.1.1 濾波器的分類濾波器的分類 這里主要討論經典濾波器的設計。這里主要討論經典濾波器的設計。 按功能劃分經典濾波器又可分為低通、按功能劃分經典濾波器又可分為低通、高通、帶通、帶阻四種濾波器高通、帶通、帶阻四種濾波器 圖7-1 理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器幅度特性 數(shù)字濾波

3、器的設計 經典濾波器設計從實現(xiàn)方法上分為經典濾波器設計從實現(xiàn)方法上分為IIR濾波器和濾波器和FIR濾波器。它是一個線性時不變離散時間系統(tǒng)，如濾波器。它是一個線性時不變離散時間系統(tǒng)，如果濾波器用單位脈沖響應序列果濾波器用單位脈沖響應序列 表示，其輸入表示，其輸入 與輸出與輸出 之間的關系可以表示為：之間的關系可以表示為： ( )h n( )x n( )y n ( )( )y nx nh n( )h n 的的Z變換稱為系統(tǒng)函數(shù)。變換稱為系統(tǒng)函數(shù)。IIR濾波器和濾波器和FIR濾波濾波器的系統(tǒng)函數(shù)分別是：器的系統(tǒng)函數(shù)分別是：1011( )1NkkNkkb zHza z10()()NnnHzhnz數(shù)字濾

4、波器的設計7.1.2 數(shù)字濾波器的性能要求數(shù)字濾波器的性能要求 一個理想濾波器，要求所在通頻帶內幅頻響應是一個理想濾波器，要求所在通頻帶內幅頻響應是一常數(shù)；相位頻率相應為零或是頻率的線性函數(shù)。但一常數(shù)；相位頻率相應為零或是頻率的線性函數(shù)。但一個實際的濾波器要是不可能得到上述幅頻和相頻響一個實際的濾波器要是不可能得到上述幅頻和相頻響應。以低通濾波器為例，頻率響應有通帶、過渡帶及應。以低通濾波器為例，頻率響應有通帶、過渡帶及阻帶三個范圍阻帶三個范圍。 1 ：通帶衰減通帶衰減 2 ：阻帶衰減阻帶衰減 c ：通帶截止頻率通帶截止頻率 st：阻帶截止頻率阻帶截止頻率 c st ：過渡帶過渡帶 數(shù)字濾波器

5、的設計0()20lg,()cjppjH edBH e越小 通帶越平坦()jH estc11112圖7-2 逼近理想低通濾波器得容限圖ps通帶最大衰減通帶最大衰減。p數(shù)字濾波器的設計0()20lg,()stjssjH edBH e越大 阻帶衰減越大當幅度下降到當幅度下降到 ， ，此時，此時 ，稱，稱 為為3 3dBdB通帶截止頻率。通帶截止頻率。22c3pdBc阻帶最小衰減s數(shù)字濾波器的設計7.1.3 數(shù)字濾波器設計方法概述數(shù)字濾波器設計方法概述 設計設計IIR數(shù)字濾波器一般有以下兩種方法：數(shù)字濾波器一般有以下兩種方法： 1. 模擬濾波器模擬濾波器:首先設計一個合適的模擬濾首先設計一個合適的模擬

6、濾波器，然后將它轉換成滿足給定指標的數(shù)波器，然后將它轉換成滿足給定指標的數(shù)字濾波器，這種方法適合于設計幅頻特性字濾波器，這種方法適合于設計幅頻特性比較規(guī)則的濾波器，例如低通、高通、帶比較規(guī)則的濾波器，例如低通、高通、帶通、帶阻等通、帶阻等。 2.直接在頻域或者時域中進行數(shù)字濾波器直接在頻域或者時域中進行數(shù)字濾波器設計，由于要聯(lián)立方程，設計時需要計算設計，由于要聯(lián)立方程，設計時需要計算機作輔助設計。機作輔助設計。數(shù)字濾波器的設計7.27.2無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計1.設計的一般方法設計的一般方法 IIR濾波器以模擬低通濾波器為基礎的設計方濾波器以模擬低通濾波器為基

7、礎的設計方法，為了設計其他的選頻濾波器（高通，帶通，帶法，為了設計其他的選頻濾波器（高通，帶通，帶阻等），需要對低通濾波器進行頻率轉換，在設計阻等），需要對低通濾波器進行頻率轉換，在設計過程中有兩種不同的變換過程中有兩種不同的變換,頻帶變換和模擬頻帶變換和模擬/數(shù)字變數(shù)字變換。根據(jù)這兩種變換的先后次序，引出兩種設計方換。根據(jù)這兩種變換的先后次序，引出兩種設計方法法。 數(shù)字濾波器的設計圖7-3 IIR濾波器的設計流程2.巴特沃思低通濾波器巴特沃思低通濾波器（1）基本性質）基本性質 巴特沃思濾波器以巴特沃思函數(shù)來近似濾波器的巴特沃思濾波器以巴特沃思函數(shù)來近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。巴特沃斯濾波器是根據(jù)幅

8、頻特性在通頻帶系統(tǒng)函數(shù)。巴特沃斯濾波器是根據(jù)幅頻特性在通頻帶內具有最平坦特性定義的濾波器。內具有最平坦特性定義的濾波器。 數(shù)字濾波器的設計(7.2.1).下面歸納了巴特沃斯濾波器的主要特征下面歸納了巴特沃斯濾波器的主要特征 a.對所有的對所有的N， 。 201aHj 巴特沃思濾波器的低通模平方函數(shù)表示221|()|1,2,1(/)aNcHjN b. 對所有的對所有的N， 212caHj 0.707caHj 20 lg3caHjdB 即c. 是是 的單調下降函數(shù)的單調下降函數(shù)。2aHjd. 隨著階次隨著階次N的增大而更接近于理想低通的增大而更接近于理想低通濾波器。濾波器。2aHj數(shù)字濾波器的設計

9、 如圖如圖7-4，可以看出濾波器的幅頻特性隨著濾波器，可以看出濾波器的幅頻特性隨著濾波器階次階次N的增加而變得越來越好，在截止頻率的增加而變得越來越好，在截止頻率 處的函處的函數(shù)值始終為數(shù)值始終為1/2的情況下，通帶內有更多的頻帶區(qū)的值的情況下，通帶內有更多的頻帶區(qū)的值接近于接近于1；在阻帶內更迅速的趨近于零。；在阻帶內更迅速的趨近于零。 c圖7-4 巴特沃思低通濾波平方幅頻特性函數(shù)數(shù)字濾波器的設計 在以后的設計和分析時，經常用歸一化巴特沃思低通濾波器為原型濾波器，一旦歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)確定后，其它巴特沃思低通濾波、高通、帶通、帶阻濾波器的傳遞函數(shù)都可以通過變換法從歸一化低通原型的傳遞

10、函數(shù) 得到。歸一化原型濾波器是指截止頻率 已經歸一化成 的低通濾波器。對于截止頻率為某個 的低通濾波器，則令 代替歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的 ，即 對于其他高通、帶通、帶阻濾波器，可應用后面討論到的頻帶變換法，由其變換得出。 aHsc1cccs ScSS數(shù)字濾波器的設計(2)系統(tǒng)函數(shù)和極點分布系統(tǒng)函數(shù)和極點分布 設巴特沃斯的系統(tǒng)函數(shù)設巴特沃斯的系統(tǒng)函數(shù) ，則頻率響應是，則頻率響應是 aHsaasjHjHs 2*aaaaasjHjHjHjHs Hs 211aaNCHsHssj令上式分母為零可以得到令上式分母為零可以得到 的的2N個極點個極點Sk aaHs Hs210NkCsj212,1,2,.

11、,2kjNkcSekN并解得當并解得當N為偶數(shù)時則為偶數(shù)時則 數(shù)字濾波器的設計N N為奇數(shù)為奇數(shù)：22,1,2,.,2kjNkcSekN 的極點均勻分布在的極點均勻分布在s平面的單位圓平面的單位圓上，共有上，共有2N個角度間隔為個角度間隔為 /N的極點，極點關的極點，極點關于于j 軸對稱，不會落在虛軸上。將左半平面的軸對稱，不會落在虛軸上。將左半平面的極點構成極點構成 。 aaH s Hs( )aHs(3)設計過程設計過程巴特沃思低通濾波技術指標關系式為巴特沃思低通濾波技術指標關系式為 ； 為通帶邊界頻率為通帶邊界頻率 ； 為阻帶邊界頻率為阻帶邊界頻率20log,papHj p20log,sa

12、sHjs數(shù)字濾波器的設計代入（代入（7.2.17.2.1） 化簡后得化簡后得 兩式相比消去后得兩式相比消去后得由此得由此得取滿足上式的最小整數(shù)取滿足上式的最小整數(shù)N作為濾波器的階數(shù)。作為濾波器的階數(shù)。 2110log1pNpc2110log1sNsc 0.12()101pNpc0 .12()1 01sNsc0.10.12()(101) (101)psNps0.10.1lg(101) (101)2 lg ()pspsN數(shù)字濾波器的設計將將N N 帶入式（帶入式（7.2.47.2.4）或式）或式(7.2.5)(7.2.5)可得截止頻率可得截止頻率 或或 查表求得歸一化傳輸函數(shù)查表求得歸一化傳輸函數(shù)

13、 , ,令令 代替歸一化原代替歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的 , , 即即 代入代入 ，即得到實際濾波器傳輸函數(shù)，即得到實際濾波器傳輸函數(shù)。0.11 2(101)pPcN 0.11 2(101)sscN ( )aHScs ScSS( )aH S例例7.1 7.1 設計一巴特沃思低通濾波器，使其滿足以下指標設計一巴特沃思低通濾波器，使其滿足以下指標: : 通帶邊頻通帶邊頻 , ,通帶的最大衰減為通帶的最大衰減為 ，阻帶，阻帶邊頻為邊頻為 , ,阻帶的最小衰減為阻帶的最小衰減為 。20prad s 2pdB30srad s10sdB數(shù)字濾波器的設計解解: :濾波器技術指標為濾波器

14、技術指標為 ， ， , ,確定階次確定階次N N，代入式（代入式（7.2.67.2.6） 取取 N N=4=4 查表得四階巴特沃思多項式，得歸一化系統(tǒng)函數(shù)表查表得四階巴特沃思多項式，得歸一化系統(tǒng)函數(shù)表 達式達式由式（由式（7.2.77.2.7）得）得 用用 替換式（替換式（7.2.87.2.8）中的）中的s s，構成巴特沃思濾波器傳輸構成巴特沃思濾波器傳輸函數(shù)函數(shù)H(s)H(s)為為 20prad s 2pdB30srad s 10sdB0.10.1lg(101)(101)3.3712 lg ()pspsN4321( )2.6133.4142.6131aH sssss10.1 282021.3

15、87101ccs54332452.09 10( )55.881.562 102.556 102.09 10aH sssss數(shù)字濾波器的設計3. 切比雪夫切比雪夫I濾波器濾波器切比雪夫切比雪夫I I型濾波器的幅度平方函數(shù)為型濾波器的幅度平方函數(shù)為 22211aNCHjC（1）基本性質）基本性質NC 是是N階切比雪夫多項式，定義為階切比雪夫多項式，定義為 NC數(shù)字濾波器的設計N=0，C0(x)=1N=1, C1(x)=xN=2, C2(x)=2x2-1=2xC1(x)-C0(x)迭代公式：迭代公式：CN(x)=2xCN-1(x)-CN-2(x) N1N=偶數(shù)，偶數(shù)，CN(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù) N=

16、奇數(shù)，奇數(shù)，CN(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù) 1)(1)coscos()(11xxNchchxxNxCN數(shù)字濾波器的設計切比雪夫多項式曲線切比雪夫多項式曲線1-1xCN(x)11) x:0, 1 設：設： =Ncos-1x , x: 0 1N=0 , =0 C0(x):1N=1 , : /2 0, C1(x):0 1N=2 , : /2 0, C2(x):-1 0 1N=3 , : 3 /2 0, C2(x):0 -1 0 1N=4 , : 2 0, C2(x):1 0 -1 0 12) x:1, ) x ch(ch-1x) 數(shù)字濾波器的設計 x=0, N=even, |CN(0)|=1, N=od

17、d, CN(0)=0 x=1, CN(1)=1 |x|1, CN(x)在在-1, +1之間波動，之間波動， N增加，波動次數(shù)增加增加，波動次數(shù)增加 |x|1, CN(x)單調上升，單調上升，N增加，上升速度增加。增加，上升速度增加。數(shù)字濾波器的設計N=3N=41)(2A c c1/(1+ 2)(11)(222 NCA 數(shù)字濾波器的設計切比雪夫濾波器的幅頻響應有如下特點：切比雪夫濾波器的幅頻響應有如下特點： 1)0 1)0 時，曲線單調下降時，曲線單調下降, , 越大，越大，N N越大，曲線衰越大，曲線衰減越快。減越快。c|()|aHj211|()|aHj21|() |1aHjc|()|aHj2

18、11c數(shù)字濾波器的設計(2)設計過程 1)根據(jù)要求的濾波器指標確定波紋參數(shù) 和階數(shù)N。 由允許的通帶波紋 確定。則 濾波器的階數(shù)N由阻帶允許的衰減確定。 2)查表求得歸一化傳輸函數(shù) ,令 代替歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的 ，即得到實際濾波器傳輸函數(shù) 。1121 01 010.10.111101101()psspchNchScSS( )aHS數(shù)字濾波器的設計1.變換原理 數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)h(n)正好等于模正好等于模擬濾波器的沖激響應擬濾波器的沖激響應h ha a(t)(t)的采樣值，即的采樣值，即 h(n)=hh(n)=ha a(nT), T(nT

19、), T為采樣周期為采樣周期. .如以如以 H Ha a(s) (s) 及及 H H（z z）分分別表示別表示 h ha a(t) (t) 的拉氏變換及的拉氏變換及 h(n) h(n) 的的Z Z變換，即變換，即aa(s)= L h(t) H (z)=h (n )H數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 便是的Z變換 。 ( )h n( )H z7.2.2脈沖響應不變法脈沖響應不變法( Impulse Invariance ) 下面我們分析從模擬濾波器到數(shù)字濾波器下面我們分析從模擬濾波器到數(shù)字濾波器S平面和平面和Z平面之間的映射關系。平面之間的映射關系。 數(shù)字濾波器的設計 dtethsHstaa)()( nst

20、sasadtenTtnTh)()( nsnTnsnTsassenhenTh)()( )( )( )( )sTsnaz enH zh n zH sH z nsasaaanTtnThtthth)()()()()( 設設抽樣信號抽樣信號抽樣信號的拉氏變換抽樣信號的拉氏變換序列序列h(n)的的z變換變換數(shù)字濾波器的設計 j S/2- S/23 S/2ImZReZ()sssssTTj Tj Tzeeeresj 數(shù)字濾波器的設計平平面面單單位位圓圓上上映映射射到到平平面面虛虛軸軸即即時時當當zSzzssss2222:1|:,0 平面單位圓內帶映射到左半平面的即時當zSzrssss2222:, 1|, 1,

21、0平平面面單單位位圓圓外外帶帶映映射射到到右右半半平平面面的的即即當當zSzrss221| , 1, 0 平平面面均均重重疊疊映映射射到到同同一一增增加加平平面面上上每每條條帶帶的的區(qū)區(qū)間間內內其其余余zssHsa)()(: 數(shù)字濾波器的設計(1).( )( )aH zHs與的關系dtethsHstaa )()(dtetthstaa )()( dtemTtthstmsaa )()( mtjmsaTdtethsTs)(12)( mTaTssjmsH)(21 mjmTmsasTtsemTt 21)(數(shù)字濾波器的設計)(,)(,)(,)()(zHzsHezsHssHthAFasTaaas得得到到平平

22、面面上上映映射射到到將將關關系系的的映映射射然然后后再再經經過過得得到到周周期期延延拓拓平平面面上上沿沿虛虛軸軸在在的的拉拉氏氏變變換換的的 msaTezjmsHzHsssT)()(1 msaTajmsHsHs)()(1(2) 抽樣信號與原信號關系抽樣信號與原信號關系數(shù)字濾波器的設計2.混疊失真 利用抽樣序列的Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關系，得 aa12( )STmz eH zH sHsjmTT12jammH eHjjTT 由采樣定律可知，如果模擬濾波器的頻率響應帶限于折疊頻率 以內2S()02saHj 這時數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響（存在于折疊頻率2S 以內）數(shù)字

23、濾波器的設計1()()jaH eHjTT 但任何一個實際的模擬濾波器，其頻率響應都不但任何一個實際的模擬濾波器，其頻率響應都不可能是嚴格帶限的，因此不可避免地存在頻譜的交疊可能是嚴格帶限的，因此不可避免地存在頻譜的交疊，即產生頻率響應的混疊失真，即產生頻率響應的混疊失真。 TT 原模擬信號的頻帶不是限于原模擬信號的頻帶不是限于之間，則會在之間，則會在的奇數(shù)倍附近產生頻率混疊，從而映射到的奇數(shù)倍附近產生頻率混疊，從而映射到Z平面上平面上， 附近產生頻率混疊。這種頻率混疊現(xiàn)象會使設附近產生頻率混疊。這種頻率混疊現(xiàn)象會使設計出的數(shù)字濾波器在計出的數(shù)字濾波器在 附近的頻率特性，程度不附近的頻率特性，程

24、度不同的偏離模擬濾波器在同的偏離模擬濾波器在 附近的頻率特性，嚴附近的頻率特性，嚴重時使數(shù)字濾波器不滿足給定的技術指標。重時使數(shù)字濾波器不滿足給定的技術指標。 T 數(shù)字濾波器的設計()aHj( )aHs( )ah t()aHj( )aHs( )ah tpsss解決混疊的方法：解決混疊的方法：1)濾波器指標以模擬域形式給出，此時濾波器指標以模擬域形式給出，此時已確定，采樣頻率已確定，采樣頻率T增加，混疊減小。增加，混疊減小。未確定，但未確定，但已定，采樣頻率增加，為保證已定，采樣頻率增加，為保證不變，必有不變，必有增加，增加濾波器的階數(shù)增加，增加濾波器的階數(shù)N，混疊，混疊2)濾波器指標以數(shù)字域形

25、式給出，此時濾波器指標以數(shù)字域形式給出，此時( )aHs減小。減小。數(shù)字濾波器的設計 設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)若只有單階極點，且分設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)若只有單階極點，且分母的階數(shù)高于分子階數(shù)母的階數(shù)高于分子階數(shù) N NM M，則可表達為部分分式則可表達為部分分式形式形式 其拉氏反變換為其拉氏反變換為 是單位階躍函數(shù)，是單位階躍函數(shù)，對對ha(t)采樣得到數(shù)字濾波器的采樣得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列單位脈沖響應序列1( )NiaiiAHsss1( )( )iNs taiihtA eu t( )u t11( )()( )()( )iiNNs nTsTnaiiiih nh nTAeu nA eu

26、 n3.數(shù)字化設計數(shù)字化設計數(shù)字濾波器的設計再對再對h h( (n n) )取取Z Z 變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)10110( )()iiNNs nTs TnniiniinH zA ezAez 第二個求和為等比級數(shù)之和，要收斂的話第二個求和為等比級數(shù)之和，要收斂的話 必有必有111()1iis Tkks Tezez 1()0is Tkkez11()1iNis TiAHzez所以所以 數(shù)字濾波器的設計例例7.2 IIR低通濾波器的設計指標如下：低通濾波器的設計指標如下：1）通帶截止頻率）通帶截止頻率P0.1rad， 阻帶起始頻率阻帶起始頻率s0.25rad 2）

27、通帶最大衰減通帶最大衰減p=3dB， 阻帶最小衰減阻帶最小衰減s=15dB4.設計舉例設計舉例解：解：1) 根據(jù)根據(jù)DF指標指標, 將將DF指標轉換為歸一化指標轉換為歸一化LPF指標指標 dBdBTTsppsspsspss1535.2/ 數(shù)字濾波器的設計2211)(,2sssHNa 選選巴巴特特沃沃思思濾濾波波器器2) 根據(jù)歸一化根據(jù)歸一化LPF指標指標, 查表求查表求Ha(S)pssaaasHsHjsssjssjsH 11111211111) ()(707. 0707. 021)*() (3) 將將Ha(S)化成部分分式之和化成部分分式之和數(shù)字濾波器的設計 sTjHeHnThTnheHTaj

28、sasjs)()()()()(此時此時一般情況下，令一般情況下，令增益太高增益太高很小時，很小時，當當4) 求求H(z) 111121*11112)(zejzejTzHsssppp sTsjHeHaTj)()(1數(shù)字濾波器的設計7.2.3雙線性變換法雙線性變換法 （Bilinear Transform)1.變換原理變換原理 s s平面到平面到z z平面的映射關系平面的映射關系二次映射法二次映射法 為了將為了將S S平面的平面的jj軸壓縮到軸壓縮到S S1 1平面平面jj1 1軸上的軸上的 到到 一段上，可通過以下的正切變換實現(xiàn)：一段上，可通過以下的正切變換實現(xiàn)： （7.2.7.2.1111）1

29、SSZTT1ta n ()2TC 這里這里C是待定常數(shù)，下面會講到用不同的方法確是待定常數(shù)，下面會講到用不同的方法確定定C 。 數(shù)字濾波器的設計 當當 由由 時時, , 由由 經過變化到經過變化到 ，即即S S平面的整個平面的整個 軸被壓縮到軸被壓縮到S S1 1平面的平面的 一段一段. .式（式（7.2.117.2.11）又可以寫成）又可以寫成將這一關系解析擴展至整個將這一關系解析擴展至整個S S平面，平面， 則得到則得到S S平面到平面到S S1 1平面的映射關系：平面的映射關系：再將再將 S S1 1 平面通過標準變換關系映射到平面通過標準變換關系映射到Z Z平面，即令平面，即令0 1T

30、Tj2T11112222TTjjTTjjeejCee11,js js 1111()21s Ts Ts TesC thCe1s Tze數(shù)字濾波器的設計從而得到從而得到s s平面與平面與z z平面的單值映射關系平面的單值映射關系 CszCs1111zsCz(7.2.12)11112)()( zzsTsasHzH數(shù)字濾波器的設計2.2.變換常數(shù)的選擇變換常數(shù)的選擇111tan22TTCC 2CT1ccT C 式（7.2.11）中常數(shù)的選擇可以使模擬濾波器的頻響特性和數(shù)字濾波器的頻響特性在不同的頻率范圍有對應的關系，起到調節(jié)二者頻帶間關系的作用。選擇的方法有兩種。 1)使模擬濾波器和數(shù)字濾波器的頻響特

31、性在低頻部分有較確切的對應關系，即當 較小時，有1由此得 2)使數(shù)字濾波器的某一特定頻率(例如截止頻率 與模擬原型濾波器的特定頻率 嚴格對應，即1ccT C數(shù)字濾波器的設計平平面面整整個個平平面面的的一一個個帶帶域域平平面面整整個個映映射射過過程程：帶帶域域映映射射映映射射ZSS1sTsez1 2.雙線性變換可以消除頻率混疊的原因1tantan22CCCTCC 由于在待定的模擬頻率和待定的數(shù)字頻率處頻率響應應嚴格相等，因而可以較準確的控制截止頻率位置。 數(shù)字濾波器的設計):(11ssTTSS ：平面的一條帶（平面的一條帶（映射至映射至平面平面將整個將整個)()()11sHsHaa映映射射sss

32、TsTsSTsSeeTsezzzTs11111211211 令令sSTTSTjtgTjTjss22211122 cossin數(shù)字濾波器的設計j 平平面面的的單單位位圓圓外外的的右右半半平平面面平平面面的的單單位位圓圓上上平平面面的的虛虛軸軸平平面面的的單單位位圓圓內內的的左左半半平平面面映映射射zszszsezzHsHsTsa 11111)()()2 1j 1 S/2- S/2ImZReZ 數(shù)字濾波器的設計3. 模擬角頻率模擬角頻率和數(shù)字角頻率和數(shù)字角頻率的映射關系的映射關系22 tgsT Ha(j ) 2 數(shù)字濾波器的設計 接接近近線線性性關關系系與與附附近近在在是是單單調調遞遞增增關關系系

33、與與在在主主值值區(qū)區(qū)間間內內 ,0:,:)2為周期為周期以以周期性周期性特點特點 2,)1:周周期期重重復復的的映映射射為為將將在在其其余余周周期期內內)()(,)3 jaeHjH 數(shù)字濾波器的設計總結計算總結計算H(Z)步驟如下：步驟如下：設給定數(shù)字低通濾波器的通帶截止頻率設給定數(shù)字低通濾波器的通帶截止頻率 、阻帶截、阻帶截止頻率止頻率 、通帶波動、通帶波動 和阻帶波動和阻帶波動 。(1)(1)利用公式利用公式 對通帶和阻帶截止頻率對通帶和阻帶截止頻率 和和 進行預畸變，求出模擬低通濾波器的通帶和阻進行預畸變，求出模擬低通濾波器的通帶和阻帶截止頻率帶截止頻率 和和 。預畸變函數(shù)式為。預畸變函

34、數(shù)式為(2)(2)求滿足指標求滿足指標 、 、 和和 要求的模擬低要求的模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)通濾波器的傳輸函數(shù) 。(3)(3)利用雙線性變換公式利用雙線性變換公式 將將 映射成映射成pT122arctan2TpTT2t a n2TT12 aHS1111zsCz aHS H ZPP4.4.數(shù)字化設計數(shù)字化設計 數(shù)字濾波器的設計11112 112 1( )( )1aazsTzzH zHsHTz例例7.3 設計設計IIR濾波器代替如下性能的模擬濾波器代替如下性能的模擬LPF: 1)fp=50Hz fs=125Hz 2)p3dB, s15dB 3)采樣頻率采樣頻率f=1kHz解解: 1)用脈沖響應

35、不變法用脈沖響應不變法 ; 2)雙線性變換法雙線性變換法數(shù)字濾波器的設計 25. 01 . 0)225. 01 . 0)1. spssppTTDFA的的技技術術指指標標確確定定 dBdBtgctgdBdBLPFDFBspsspssppsps15,3615. 2)215,35 . 2)1.22 指標指標指標轉換為歸一化指標轉換為歸一化將將數(shù)字濾波器的設計22211) (2)2211) (2)1) (.sssHNsssHNsHCaaa 查查表表求求11211) ()()2)()()()()() ()()1)() (. zzctgsaZTaaILTasaaappssHzHzHnThnhthsHsHs

36、HzHsHD 轉轉換換為為將將數(shù)字濾波器的設計:0.80.3340pspsIIRHPFdBdB例7.4 已知數(shù)字指標如下 04. 640,304029. 622:)1:sspspsdBdBLPFctgtg 指標指標歸一化歸一化指標轉換指標轉換解解數(shù)字濾波器的設計322211) (3: ) ()2ssssHNsHa選巴特沃斯濾波器查表求11112) ()()()3 zzptgsasHzHzH 求求(3)數(shù)字帶通的設計數(shù)字帶通的設計a.思路思路:歸一化歸一化LPF模擬模擬BPF數(shù)字數(shù)字BPF數(shù)字濾波器的設計:.頻率變換關系式頻率變換關系式b)()()()(22SGsssflullul 1111 z

37、zCs22uulltgCtgC 將將代入上式代入上式數(shù)字濾波器的設計)()(coscos211sincos212222212ssssEffEctgDzzEzDsDlll 數(shù)字濾波器的設計21:2,:400,300,3500,200,18lpsssfkHzfHz fHzdBfHz fHzdB例7.5 某系統(tǒng)采樣頻率設計一個為此系統(tǒng)使用的數(shù)字帶通濾波器 要求radradradradDFAssl 2.05.03.04.0:12 指指標標給給出出解解數(shù)字濾波器的設計:.指標轉換指標轉換B9193. 0coscos231375. 6222 llEctgDl 8665. 2sin2cos27944. 3s

38、in2cos22211 ssssssEDED 數(shù)字濾波器的設計 8865. 218,3sspdBdB 歸一化歸一化LPF指標為：指標為：121) () (.22 sssHsHCaa求求22111) ()(. zzEzDsasHzHD數(shù)字濾波器的設計 前面我們學習了模擬低通濾波器，數(shù)字低通濾波前面我們學習了模擬低通濾波器，數(shù)字低通濾波器的設計，對于數(shù)字高通和帶阻的設計，可以借助于器的設計，對于數(shù)字高通和帶阻的設計，可以借助于模擬濾波器的頻率變換設計一個所需類型的模擬濾波模擬濾波器的頻率變換設計一個所需類型的模擬濾波器，再通過雙線性變換將其換算成所需類型的數(shù)字濾器，再通過雙線性變換將其換算成所需類

39、型的數(shù)字濾波器。波器。1.1.高通濾波器高通濾波器 和和 分別是低通的歸一化通帶截止頻率和歸分別是低通的歸一化通帶截止頻率和歸一化阻帶截止頻率，一化阻帶截止頻率， 和和 分別是高通的歸一化通帶分別是高通的歸一化通帶下限頻率和歸一化阻帶上限頻率。下限頻率和歸一化阻帶上限頻率。psps7.2.4數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器設計數(shù)字濾波器的設計低通的低通的 從從 經過經過 和和 到到0時，高通的時，高通的 則從則從0經過經過 和和 到到 ，因此，因此 和和 之間關系為之間關系為 ，即是低，即是低通到高通的頻率變換公式。通到高通的頻率變換公式。 spsp1數(shù)字濾波器的設計總結步驟為：總結步驟為： (1)

40、確定數(shù)字高通濾波器的技術指標確定數(shù)字高通濾波器的技術指標 、 。(2)將數(shù)字高通濾波器的技術指標轉換成高通模擬濾將數(shù)字高通濾波器的技術指標轉換成高通模擬濾波器的技術指標波器的技術指標 、 ，轉換公式為，轉換公式為 。(3)利用頻率變換利用頻率變換 將模擬高通濾波器技術指標轉將模擬高通濾波器技術指標轉換成歸一化模擬低通濾波器換成歸一化模擬低通濾波器 的技術指標。的技術指標。psps2tan2T 1 G p(4)設計模擬低通濾波器設計模擬低通濾波器 。(5)將模擬低通濾波器將模擬低通濾波器 通過頻率轉換轉換成模擬高通過頻率轉換轉換成模擬高通濾波器通濾波器 ，并去歸一化后得，并去歸一化后得 。 G

41、p G pH s ppsH sG p 數(shù)字濾波器的設計(6)(6)采用雙線性變換，將所需類型的模擬濾波器轉換成采用雙線性變換，將所需類型的模擬濾波器轉換成所需類型的數(shù)字濾波器所需類型的數(shù)字濾波器. .2.帶通濾波器帶通濾波器 112 11ZSTZHZHs 、 分別是模擬帶通濾波器通帶的下限和上限頻分別是模擬帶通濾波器通帶的下限和上限頻率，率， 是下阻帶的上限頻率，是下阻帶的上限頻率， 是上阻帶的下限頻率，是上阻帶的下限頻率，令令 為通帶帶寬，用為通帶帶寬，用B B做為歸一化參考頻率，做為歸一化參考頻率，13slsh31B 3311,slslshshBBBB 數(shù)字濾波器的設計令令 為通帶的中心頻率，歸一化為通帶的中心頻率，歸一化 2231 2213 可以找到可以找到 和和 的轉換關系。的轉換關系。223122p數(shù)字濾波器的設計 , ，所以有所以有由此可以得到低通濾波器的技術指標由此可以得到低通濾波器的技術指標 、 ，可以，可以設計低通濾波器的轉移函數(shù)設計低通濾波器的轉移函數(shù) 。 ，將，將 代入得到代入得到去歸一化，將去歸一化，將 代入上式得：代入上式得：可得模擬帶通濾