數(shù)列與極限課件

1、數(shù)列與極限第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、小結(jié)三、小結(jié)數(shù)列與極限“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1.1.割圓術(shù)：割圓術(shù)：播放播放劉徽劉徽一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念數(shù)列與極限R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS數(shù)列與極限2.2.截丈問題：截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”11;2X

2、第第一一天天截截下下的的杖杖長長為為;212122 X為為第二天截下的杖長總和第二天截下的杖長總和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖長長總總和和為為第第nnX211 1數(shù)列與極限按自然數(shù)按自然數(shù), 3 , 2 , 1編號依次排列的一列數(shù)編號依次排列的一列數(shù) ,21nxxx (1) 稱為稱為無窮數(shù)列無窮數(shù)列,簡稱簡稱數(shù)列數(shù)列.其中的每個數(shù)稱為數(shù)列其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的的項項,nx稱為稱為通項通項(一般項一般項).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為nx. 例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n數(shù)列與極限注意：注意： 1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸

3、上一個點列.可看作一可看作一動點在數(shù)軸上依次取動點在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 數(shù)列與極限.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn播放播放數(shù)列與極限問題問題: 當(dāng)當(dāng) 無限增大時無限增大時, 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當(dāng)當(dāng)nxnnn 問題問題: “無限接近

4、無限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它刻劃它. 1nxnnn11)1(1 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:數(shù)列與極限,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只只要要 n,100011 nx有有數(shù)列與極限定義定義1 設(shè)有數(shù)列設(shè)有數(shù)列 ，如果，如果 時，時， 無限接近于無限接近于某個確定的常數(shù)某個確定的常數(shù) ，那么就稱數(shù)列，那么就稱數(shù)列 收斂，稱收斂，稱是數(shù)列是數(shù)列 的極限。或者稱數(shù)列的極限?；蛘叻Q數(shù)列

5、收斂于收斂于 ，記為，記為 nx nnxa nxa nx nxa naxaxnnn或或者者lim 如果這樣的常數(shù)如果這樣的常數(shù) 不存在，就稱數(shù)列不存在，就稱數(shù)列 沒有極沒有極限，或者稱數(shù)列限，或者稱數(shù)列 發(fā)散，習(xí)慣上也常常表達(dá)為發(fā)散，習(xí)慣上也常常表達(dá)為不存在不存在a nx nxnnx lim數(shù)列與極限例例1 給出數(shù)列的一般項如下，觀察它們的變化趨勢，判斷哪些數(shù)列收斂，哪些數(shù)列發(fā)散；如果收斂，指出其極限： ;111nnxnn ;212222nnnnxn ;11)3(1 nnx.)4(2nxn 解解 （1）因為 ，而當(dāng) 時， 無限接近于0，從而 無限接近于1，所以 nnnxnnn11111 n n

6、n 11 nx 11lim1 nnnn數(shù)列與極限（2）因為 nnnnnnnnnnxn2121121212122222 當(dāng) 時， 無限接近于 。所以 nn2121;2121lim222 nnnnn（3）因為數(shù)列是 2，0，2，0，, , 111 n在 時， 始終輪流地取得值2與0，并不接近于任何一個確定的常數(shù)，所以 nnx數(shù)列與極限 ;11lim1不存在不存在 nn（4） 因為當(dāng) 時，這個數(shù)列的一般項 的值無限地增大，也不接近于任何一個確定的常數(shù)，所以 nnx.lim2不存在不存在nn 數(shù)列與極限1.唯一性唯一性定理定理1 1 每個收斂的數(shù)列只有一個極限每個收斂的數(shù)列只有一個極限. .二、二、收

7、斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列與極限2.有界性有界性定定義義: 對對數(shù)數(shù)列列nx, 若若存存在在正正數(shù)數(shù)M, 使使得得一一切切自自然然數(shù)數(shù)n, 恒恒有有Mxn 成成立立, 則則稱稱數(shù)數(shù)列列nx有有界界,否否則則, 稱稱為為無無界界.例如例如,1nnxn 數(shù)數(shù)列列2nnx 數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)軸軸上上對對應(yīng)應(yīng)于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點點nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.有界有界;無界無界.數(shù)列與極限定理定理2 2 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .注意：注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論推論 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .數(shù)列與極限例例2.)1(1是

8、是發(fā)發(fā)散散的的證證明明數(shù)數(shù)列列 nnx證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義,21 對于對于,21,成立成立有有時時使得當(dāng)使得當(dāng)則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時時即即當(dāng)當(dāng)區(qū)間長度為區(qū)間長度為1.1,1,nx 而而無無休休止止地地反反復(fù)復(fù)取取兩兩個個數(shù)數(shù)不可能同時位于不可能同時位于長度為長度為1的的區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi)., ,但卻發(fā)散但卻發(fā)散是有界的是有界的事實上事實上nx數(shù)列與極限3.收斂數(shù)列的保號性收斂數(shù)列的保號性定理定理3（收斂數(shù)列的保號性）（收斂數(shù)列的保號性） 如果如果(或或 N，都有，都有0,lim aaxnn且且a0 nx 0 nx或或這個性質(zhì)的一個直接推論是：如果從某一項起數(shù)列這個性質(zhì)的一個直接推論是：如果從某一項起數(shù)列 的各項都非負(fù)（或都非正），且的各項都非負(fù)（或都非正），且