立體幾何重要題型及求解方法

1、立體幾何重要題型及求解方法1空間幾何體的畫法例1 用斜二測(cè)法畫一個(gè)水平放置的平面圖形直觀圖為圖1的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是（ ）解析:按斜二測(cè)法作圖法則，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證（a）正確評(píng)析：本題是已知直觀圖，探求原平面圖形，考查逆向思維能力2表面積的計(jì)算例2 一個(gè)四面體的所有的棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）解法一：如圖2，設(shè)四面體為，其棱長(zhǎng)均為，為其外接球的球心，球半徑為為在面上的射影，為的中點(diǎn)，則，由，得，解得，故選（）解法二：注意到選項(xiàng)的特殊性，此時(shí)球的半徑而當(dāng)時(shí)，如圖2又知為鈍角，則，矛盾，故，從而排除（），（），（），故選（）解法三：注意到的特殊性，構(gòu)造棱長(zhǎng)為1的

2、正方體，如圖3（其實(shí)不必畫圖），則是棱長(zhǎng)為的正四面體，正方體的外接球也是正四面體的外接球，此時(shí)球的直徑為，故，選（）探究：解法一是運(yùn)用方程的思想求球的半徑，小題大做解法二觀察題目特點(diǎn)，利用排除法是最優(yōu)解法解法三是割補(bǔ)法，將正四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體，這種割補(bǔ)思想解決問(wèn)題值得我們學(xué)習(xí)3體積的計(jì)算由于體積的計(jì)算既需要同學(xué)們?cè)鷮?shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，又要用到一些重要的思想方法，因此也是高考的重要題型，其中又以錐體的體積和不規(guī)則幾何體的體積計(jì)算為主，因?yàn)殄F體的體積計(jì)算往往需要轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)和底面，而不規(guī)則幾何體的體積計(jì)算則常常需要用到分割或補(bǔ)形的方法例3如圖4，在多面體中，已知是邊長(zhǎng)為1的正方形，且，均為正三角形，則該多

3、面體的體積為（）分析：本題中的多面體是一個(gè)不規(guī)則的幾何體，因此可考慮對(duì)其進(jìn)行分割或補(bǔ)形解法一：如圖5，分別過(guò)作的垂線，垂足分別為，連結(jié)，容易求得，解法二：如圖6，將該多面體補(bǔ)成一個(gè)斜三棱柱（側(cè)棱與底面不垂直的棱柱），則探究：本題中所用的兩種方法就是求不規(guī)則幾何體體積的兩種基本方法，方法一是對(duì)不規(guī)則幾何體進(jìn)行分割，分割后每一部分都成為規(guī)則幾何體，套用公式求出體積后相加就是所求不規(guī)則幾何體的體積；方法二則是在原不規(guī)則幾何體的基礎(chǔ)上補(bǔ)上一個(gè)幾何體，使之成為規(guī)則幾何體，求出體積后再減去補(bǔ)上的幾何體的體積即得所求幾何體體積，兩種解法都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法4線面位置關(guān)系的判斷線面位置關(guān)系的判斷是立體幾何的

4、基本知識(shí)與基本技能，因而是高考的必考內(nèi)容之一，一般出現(xiàn)在選擇、填空題中，常常與命題等有關(guān)問(wèn)題融合在一起進(jìn)行考查例4 給出下列關(guān)于互不重合的直線和平面的四個(gè)命題：，點(diǎn)，則與不共面；是異面直線，且，則；若，則；若，則，其中為假命題的是（）解析：本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，命題中當(dāng)時(shí)，直線與可以平行，也可以相交或異面，因此該命題是錯(cuò)誤的，故選（）探究：這種題型的解法通常是緊扣定義，利用基本定理或反證法進(jìn)行推理，有時(shí)可借助常用的模型進(jìn)行判斷要求概念明確，關(guān)系清楚，基本運(yùn)算熟練，還要特別注意與平面幾何中有關(guān)結(jié)論的區(qū)別，防止負(fù)遷移5圖形的展開與折疊問(wèn)題圖形的展開與折疊問(wèn)題主要

5、考查同學(xué)們的空間想象能力，它最能體現(xiàn)出立體幾何的特點(diǎn)，通過(guò)圖形的展開與折疊問(wèn)題，考查最值問(wèn)題，范圍問(wèn)題，空間角與距離的求解，位置關(guān)系的判斷等都是高考的重要題型例5如圖7，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從到，兩點(diǎn)間的最短路徑的長(zhǎng)度為分析：這是一個(gè)求沿幾何體表面最短路徑的問(wèn)題，通常采用將幾何體表面展開化為平面問(wèn)題的方法處理，本題中由于是一個(gè)棱柱，將其表面展開的方法有多種，因此，應(yīng)采取分類討論的方法將每一種情形分別求出，再進(jìn)行比較，從而得出結(jié)論解：將三棱柱側(cè)面、底面展開有以下三種情形（如圖8）在（1）中，；在（2）；在（3）中，通過(guò)比較知第（3）種情況，即從沿平面過(guò)棱到點(diǎn)路徑最短探究：解決有關(guān)展開與折