工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論

1、張建花張建花一、課程介紹一、課程介紹什么是場(chǎng)？什么是場(chǎng)？溫度場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)、電磁場(chǎng)、重力場(chǎng)、引力場(chǎng)溫度場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)、電磁場(chǎng)、重力場(chǎng)、引力場(chǎng)物理場(chǎng)：物理場(chǎng)：一種客觀存在的特殊形式的物質(zhì)一種客觀存在的特殊形式的物質(zhì)數(shù)學(xué)場(chǎng)：數(shù)學(xué)場(chǎng)：空間坐標(biāo)的函數(shù)空間坐標(biāo)的函數(shù)如果在全部空間或部分空間里的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)如果在全部空間或部分空間里的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定值，就可以說在這個(gè)空著某個(gè)物理量的一個(gè)確定值，就可以說在這個(gè)空間里確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。間里確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。如何描述？如何描述？一、課程介紹一、課程介紹空間性：空間性：場(chǎng)是所關(guān)注量的空間分布特性，其可以是矢量場(chǎng)，也場(chǎng)是所關(guān)注量的

2、空間分布特性，其可以是矢量場(chǎng)，也 可以是標(biāo)量場(chǎng)。可以是標(biāo)量場(chǎng)。時(shí)間性：時(shí)間性：場(chǎng)不但是空間的函數(shù)，往往也是時(shí)間的函數(shù)。場(chǎng)不但是空間的函數(shù)，往往也是時(shí)間的函數(shù)。事件性：事件性：當(dāng)一個(gè)事件對(duì)另一個(gè)空間位置的某個(gè)事件產(chǎn)生影響，當(dāng)一個(gè)事件對(duì)另一個(gè)空間位置的某個(gè)事件產(chǎn)生影響， 稱這些事件被場(chǎng)所聯(lián)系。稱這些事件被場(chǎng)所聯(lián)系。場(chǎng)的性質(zhì)場(chǎng)的性質(zhì)一、課程介紹一、課程介紹為什么要學(xué)習(xí)電磁場(chǎng)？為什么要學(xué)習(xí)電磁場(chǎng)？電力工程領(lǐng)域電力工程領(lǐng)域能源的發(fā)、輸、配、供能源的發(fā)、輸、配、供電子信息與工程領(lǐng)域電子信息與工程領(lǐng)域信息的發(fā)、輸、配、供信息的發(fā)、輸、配、供設(shè)備：電波設(shè)備、無線電、雷達(dá)、衛(wèi)星、光纖、大規(guī)模集成電設(shè)備：電波設(shè)備

3、、無線電、雷達(dá)、衛(wèi)星、光纖、大規(guī)模集成電路、各類通信系統(tǒng)等路、各類通信系統(tǒng)等各類科學(xué)研究各類科學(xué)研究實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)( (如對(duì)撞機(jī)加速器如對(duì)撞機(jī)加速器) )、新能源、新材料、生物電磁、國(guó)家安、新能源、新材料、生物電磁、國(guó)家安全、軍事全、軍事( (如電磁炮、電磁彈射、高功率電磁脈沖、電磁干擾、如電磁炮、電磁彈射、高功率電磁脈沖、電磁干擾、電子戰(zhàn)電子戰(zhàn)) )其他領(lǐng)域其他領(lǐng)域電磁兼容、無損電磁探傷、磁懸浮、超導(dǎo)、遙感等電磁兼容、無損電磁探傷、磁懸浮、超導(dǎo)、遙感等一、課程介紹一、課程介紹電路理論電路理論和和電磁場(chǎng)理論電磁場(chǎng)理論均是電氣學(xué)科基礎(chǔ)課程，和均是電氣學(xué)科基礎(chǔ)課程，和信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)一起號(hào)稱電氣三基

4、石！一起號(hào)稱電氣三基石！電路理論電路理論：集總，是時(shí)間的函數(shù)。：集總，是時(shí)間的函數(shù)。電磁場(chǎng)電磁場(chǎng)：分布，是時(shí)間和：分布，是時(shí)間和空間空間的函數(shù)。的函數(shù)。電路是電磁場(chǎng)理論的一種特殊情況下的近似。電路是電磁場(chǎng)理論的一種特殊情況下的近似。Acos()itikz一、課程介紹一、課程介紹電磁場(chǎng)理論電磁場(chǎng)理論是是電磁學(xué)電磁學(xué)的后續(xù)課程；的后續(xù)課程；電磁學(xué)電磁學(xué)：電場(chǎng)、磁場(chǎng)的特點(diǎn)，研究電場(chǎng)和磁場(chǎng)的相互聯(lián)系：電場(chǎng)、磁場(chǎng)的特點(diǎn)，研究電場(chǎng)和磁場(chǎng)的相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化，總結(jié)電磁場(chǎng)的基本規(guī)律和相互轉(zhuǎn)化，總結(jié)電磁場(chǎng)的基本規(guī)律麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組電磁場(chǎng)理論電磁場(chǎng)理論：利用麥克斯韋方程組更深入地研究電磁現(xiàn)象：利用麥克

5、斯韋方程組更深入地研究電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律，在實(shí)際問題中求解電磁場(chǎng)和電磁波的一些基本方的基本規(guī)律，在實(shí)際問題中求解電磁場(chǎng)和電磁波的一些基本方法。法。與與電磁學(xué)電磁學(xué)的關(guān)系的關(guān)系二、教材二、教材三、內(nèi)容三、內(nèi)容第一章第一章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)第二章第二章 恒定電場(chǎng)恒定電場(chǎng)第三章第三章 恒定磁場(chǎng)恒定磁場(chǎng)第四章第四章 時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí)變電磁場(chǎng)第五章第五章 準(zhǔn)靜態(tài)磁場(chǎng)準(zhǔn)靜態(tài)磁場(chǎng)第六章第六章 平面電磁波的傳播平面電磁波的傳播第七章第七章 均勻傳輸線中的導(dǎo)行電磁波均勻傳輸線中的導(dǎo)行電磁波第八章第八章 波導(dǎo)與諧振腔波導(dǎo)與諧振腔四、考核方式四、考核方式考勤：考勤：10%作業(yè)：作業(yè)：10%考試：閉卷，考試：閉卷，80%第第

6、0 0章章 矢量分析和場(chǎng)論基礎(chǔ)矢量分析和場(chǎng)論基礎(chǔ)常用正交坐標(biāo)系常用正交坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系, ,x y z, ,z , ,r 第一節(jié)第一節(jié) 矢量分析基礎(chǔ)矢量分析基礎(chǔ)第一節(jié)第一節(jié) 矢量分析基礎(chǔ)矢量分析基礎(chǔ)0.1.1 標(biāo)量、矢量和單位矢量標(biāo)量、矢量和單位矢量標(biāo)量：標(biāo)量：只有大小、沒有方向的量。只有大小、沒有方向的量。例：例：溫度溫度T、時(shí)間、時(shí)間t、電量、電量q、電位、電位 、功率、功率P等等。等等?？梢杂靡挥邢蚓€段來表述；可以用一有向線段來表述；該有向線段的長(zhǎng)度為矢量的大?。ɑ蚍Q為模）；該有向線段的長(zhǎng)度為矢量的大?。ɑ蚍Q為模）；而有向線段的指

7、向?yàn)槭噶康姆较?。而有向線段的指向?yàn)槭噶康姆较?。例：例：力力F F、加速度、加速度a a、速度、速度v v、電場(chǎng)強(qiáng)度、電場(chǎng)強(qiáng)度E E、磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度H H等。等。單位矢量：?jiǎn)挝皇噶浚耗槟? 1的矢量，用的矢量，用e e表示。表示。如如e ex x、e ey y、e ez z分別表示分別表示x、y、z三個(gè)坐標(biāo)同方向的單位矢量。三個(gè)坐標(biāo)同方向的單位矢量。矢量：矢量：不僅具有大小，而且具有空間方向的量。不僅具有大小，而且具有空間方向的量。第一節(jié)第一節(jié) 矢量分析基礎(chǔ)矢量分析基礎(chǔ)0.1.2 矢量的加減法矢量的加減法設(shè)設(shè) A=Axex+Ayey+Azez， B=Bxex+Byey+Bzez則則AB=

8、（Ax+Bx）ex+（Ay+By）ey+（Az+Bz）ez加減運(yùn)算符合加減運(yùn)算符合平行四邊形法則平行四邊形法則ABA+BA-B0.1.3 矢量的數(shù)乘矢量的數(shù)乘A=Axex+Ayey+Azez第一節(jié)第一節(jié) 矢量分析基礎(chǔ)矢量分析基礎(chǔ)0.1.4 兩矢量的點(diǎn)積兩矢量的點(diǎn)積AB=AxBx+AyBy+AzBz=ABcosABBcos 是矢量是矢量A、B之間的夾角；之間的夾角；A是矢量是矢量A的模；的模；B是矢量是矢量B的模。的模。點(diǎn)積運(yùn)算公式：點(diǎn)積運(yùn)算公式：注意：矢量的點(diǎn)積是標(biāo)量。注意：矢量的點(diǎn)積是標(biāo)量。AB=BAA（B+C）= AB+ AC(A）(B）= (AB） 、均為實(shí)數(shù)均為實(shí)數(shù)。AA=A2A/B時(shí)

9、取最大值；時(shí)取最大值；A B時(shí)等于零。時(shí)等于零。第一節(jié)第一節(jié) 矢量分析基礎(chǔ)矢量分析基礎(chǔ)0.1.5 兩矢量的叉積兩矢量的叉積AB=(AyBz-AzBy)ex+(AzBx-AxBz)ey+(AxBy-AyBx)eznzyxzyxzyxABBBBAAAeeeesin式中：式中：en是是A和和B都垂直的單位矢量，且都垂直的單位矢量，且A、B和和en構(gòu)成右手構(gòu)成右手螺旋關(guān)系；螺旋關(guān)系；是是A、B間的夾角，取間的夾角，取180o；ABsin是是 AB的模的模。ABAB叉積運(yùn)算公式：叉積運(yùn)算公式：AB= - (BA)AA= 0， A（-A）=0注意：矢量的叉積還是矢量。注意：矢量的叉積還是矢量。A/B時(shí)等于

10、零；時(shí)等于零；A B時(shí)有最大模值。時(shí)有最大模值。第一節(jié)第一節(jié) 矢量分析基礎(chǔ)矢量分析基礎(chǔ)0.1.6 單位矢量的點(diǎn)積單位矢量的點(diǎn)積1,1,10,0,0 xxyyzzxyyzzxeeeeeeeeeeee直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系1,1,10,0,0zzzzeeeeeeeeeeee柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系1,1,10,0,0rrrreeeeeeeeeeee球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系第一節(jié)第一節(jié) 矢量分析基礎(chǔ)矢量分析基礎(chǔ)0.1.7 單位矢量的叉積單位矢量的叉積0,0,0,xxyyzzxyzyzxzxyeeeeeeeee eee eee直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系0,0,zzzzzeeeeeeeeee eeeeee柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系0,0

11、,0,rrrrreeeeeeeee eee eee球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系第一節(jié)第一節(jié) 矢量分析基礎(chǔ)矢量分析基礎(chǔ)例例1 已知已知 ，求：，求： (a) 和和 的模；的模；(b) 和和 的單位矢量；的單位矢量； (c) ；(d) 。zyxzyxeeeBeeeA232,35AABBA B BA解解：(a)35) 1(35|222 AA17)2(32|222 BB(b)zyxzyxeeeeeeAA3513533553535zyxzyxeeeeeeBB17217317217232第一節(jié)第一節(jié) 矢量分析基礎(chǔ)矢量分析基礎(chǔ)(c)(53) (232)5 23 3( 1) ( 2)21xyzxyzA Beeeeee (

12、d)zyxzyxeeeeeeBA983232135第二節(jié)第二節(jié) 標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng)第二節(jié)第二節(jié) 場(chǎng)的等值面和矢量線場(chǎng)的等值面和矢量線0.2.1 場(chǎng)的基本概念場(chǎng)的基本概念目的：為了考察某些物理量在目的：為了考察某些物理量在空間空間的分布和變化規(guī)律而引入的分布和變化規(guī)律而引入如果空間中的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量一個(gè)確定的值，就如果空間中的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量一個(gè)確定的值，就說這個(gè)空間確定了該物理量的場(chǎng)。說這個(gè)空間確定了該物理量的場(chǎng)。例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、速度場(chǎng)、力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、速度場(chǎng)、力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。由標(biāo)量構(gòu)成的場(chǎng)稱為由標(biāo)量構(gòu)成的場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)。由矢

13、量構(gòu)成的場(chǎng)稱為由矢量構(gòu)成的場(chǎng)稱為矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)。標(biāo)量場(chǎng)的表示方法：標(biāo)量場(chǎng)的表示方法：= ( , , )x y z A(M)=A(x,y,z)=Ax(x,y,z)ex+Ay(x,y,z)ey+Az(x,y,z)ez矢量場(chǎng)：矢量場(chǎng)：第二節(jié)第二節(jié) 場(chǎng)的等值面和矢量線場(chǎng)的等值面和矢量線設(shè)設(shè) 分別為矢量分別為矢量A與三個(gè)坐標(biāo)軸正向之間的夾角與三個(gè)坐標(biāo)軸正向之間的夾角(即即方向角方向角)，則，則恒定場(chǎng)：恒定場(chǎng)：場(chǎng)中物理量的值僅與空間位置有關(guān)，而不隨時(shí)間場(chǎng)中物理量的值僅與空間位置有關(guān)，而不隨時(shí)間變化的場(chǎng)。變化的場(chǎng)。比如：比如：通有直流電源的閉合回路形成的電場(chǎng)。通有直流電源的閉合回路形成的電場(chǎng)。均勻場(chǎng)：均勻場(chǎng)：

14、場(chǎng)中物理量的值僅與時(shí)間有關(guān)，而不隨空間位置場(chǎng)中物理量的值僅與時(shí)間有關(guān)，而不隨空間位置變化的場(chǎng)。變化的場(chǎng)。比如：比如：溫度場(chǎng)。溫度場(chǎng)。時(shí)變場(chǎng)：時(shí)變場(chǎng)：場(chǎng)中物理量的值不僅與該點(diǎn)的空間位置有關(guān)，而場(chǎng)中物理量的值不僅與該點(diǎn)的空間位置有關(guān)，而且隨時(shí)間變化的場(chǎng)。且隨時(shí)間變化的場(chǎng)。比如：比如：時(shí)變電磁場(chǎng)。時(shí)變電磁場(chǎng)。, 矢量函數(shù)的另一種矢量函數(shù)的另一種表示方法表示方法()coscoscosMAAAxyzAeee第二節(jié)第二節(jié) 場(chǎng)的等值面和矢量線場(chǎng)的等值面和矢量線為了形象描述某個(gè)標(biāo)量在空間的分布，引入標(biāo)量場(chǎng)的等值面；為了形象描述某個(gè)標(biāo)量在空間的分布，引入標(biāo)量場(chǎng)的等值面；為了形象描述某個(gè)矢量在空間的分布，引入矢量

15、場(chǎng)的矢量線。為了形象描述某個(gè)矢量在空間的分布，引入矢量場(chǎng)的矢量線。為了描述某個(gè)標(biāo)量在空間的變化情況，引入標(biāo)量的梯度。為了描述某個(gè)標(biāo)量在空間的變化情況，引入標(biāo)量的梯度。為了描述某個(gè)矢量在空間的變化情況，引入矢量的旋度和旋度。為了描述某個(gè)矢量在空間的變化情況，引入矢量的旋度和旋度。第二節(jié)第二節(jié) 場(chǎng)的等值面和矢量線場(chǎng)的等值面和矢量線0.2.2 標(biāo)量場(chǎng)的等值面標(biāo)量場(chǎng)的等值面等值面：等值面：空間曲面任意一點(diǎn)的函數(shù)值相等。即空間曲面任意一點(diǎn)的函數(shù)值相等。即2、等值面互不相交；、等值面互不相交；1、給定不同的、給定不同的C值，可得到等值面族；值，可得到等值面族；3、經(jīng)過場(chǎng)中的一個(gè)點(diǎn)只能作出一個(gè)等值面。、經(jīng)過

16、場(chǎng)中的一個(gè)點(diǎn)只能作出一個(gè)等值面。特點(diǎn)：特點(diǎn)：例：例：電磁場(chǎng)中的電位場(chǎng)、地形的等高面、溫度場(chǎng)的等溫面電磁場(chǎng)中的電位場(chǎng)、地形的等高面、溫度場(chǎng)的等溫面(,)xy zC第二節(jié)第二節(jié) 場(chǎng)的等值面和矢量線場(chǎng)的等值面和矢量線地形圖與等高線地形圖與等高線第二節(jié)第二節(jié) 場(chǎng)的等值面和矢量線場(chǎng)的等值面和矢量線0.2.3 矢量場(chǎng)的矢量線矢量場(chǎng)的矢量線矢量線矢量線：是指在其每一點(diǎn)處的切線方向和該點(diǎn)的場(chǎng)矢量方向：是指在其每一點(diǎn)處的切線方向和該點(diǎn)的場(chǎng)矢量方向相同的曲線。相同的曲線。特點(diǎn)：特點(diǎn)：2、任意兩條矢量線互不相交；、任意兩條矢量線互不相交；3、矢量場(chǎng)中每一點(diǎn)有一條矢量線通過。、矢量場(chǎng)中每一點(diǎn)有一條矢量線通過。1、矢量

17、線應(yīng)是一族曲線；、矢量線應(yīng)是一族曲線；舉例：電磁場(chǎng)中的電力線（舉例：電磁場(chǎng)中的電力線（E線）、磁力線線）、磁力線(B線線)M1M2r1r2A第二節(jié)第二節(jié) 場(chǎng)的等值面和矢量線場(chǎng)的等值面和矢量線0d lA矢量線方程為矢量線方程為在直角坐標(biāo)下在直角坐標(biāo)下: :二維場(chǎng)二維場(chǎng)dyAdxAyxdzAdyAdxAzyx三維場(chǎng)三維場(chǎng)d dl：矢量線的線元：矢量線的線元第二節(jié)第二節(jié) 場(chǎng)的等值面和矢量線場(chǎng)的等值面和矢量線電荷與接地金屬球之間的電力線電荷與接地金屬球之間的電力線 兩異向長(zhǎng)直流導(dǎo)線的磁力線兩異向長(zhǎng)直流導(dǎo)線的磁力線第三節(jié)第三節(jié) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度第三節(jié)第三節(jié) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度地形圖與等高圖

18、地形圖與等高圖等高圖等高圖地形的變化地形的變化什么方向什么方向變化最快變化最快？引入方向?qū)?shù)和梯度概念引入方向?qū)?shù)和梯度概念研究標(biāo)量函數(shù)在什研究標(biāo)量函數(shù)在什么方向變化最快么方向變化最快第三節(jié)第三節(jié) 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù) (x，y，z）在空間沿某一方向在空間沿某一方向l上的變化情況，可用該上的變化情況，可用該方向上的方向上的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)表示表示coscoscoslxyz() (coscoscos)xyzxyzxyzeeeeeegrad=llee其中，其中，el為為l方向上的單位矢量；方向上的單位矢量；根據(jù)矢量點(diǎn)積的定義，根據(jù)矢量點(diǎn)積的定義，方向?qū)?shù)是方

19、向?qū)?shù)是gradgrad 在在l方向上的投影，即為方向上的投影，即為在在l方向上的變化率。方向上的變化率。用用grad 來描述標(biāo)量場(chǎng)來描述標(biāo)量場(chǎng)在空間沿各坐標(biāo)軸方向變化的情況，稱為在空間沿各坐標(biāo)軸方向變化的情況，稱為標(biāo)量場(chǎng)的標(biāo)量場(chǎng)的梯度梯度。第三節(jié)第三節(jié) 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度設(shè)梯度的方向沿設(shè)梯度的方向沿en方向，則方向，則 在在en方向的方向?qū)?shù)為方向的方向?qū)?shù)為grad|grad|grad|nnnneee在其它方向的方向?qū)?shù)為在其它方向的方向?qū)?shù)為grad|grad|grad|coslnlleee式中：式中：為為el方向與方向與en方向之間的夾角。方向之間的夾角。結(jié)論

20、：結(jié)論：1、方向?qū)?shù)是個(gè)標(biāo)量；梯度是個(gè)矢量。、方向?qū)?shù)是個(gè)標(biāo)量；梯度是個(gè)矢量。 2、梯度的模是所有方向?qū)?shù)中最大的那一個(gè)；梯度、梯度的模是所有方向?qū)?shù)中最大的那一個(gè)；梯度的方向表征該標(biāo)量場(chǎng)變化最快的方向。的方向表征該標(biāo)量場(chǎng)變化最快的方向。第三節(jié)第三節(jié) 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度gradxyzxyz eee梯度梯度(gradient)哈密頓算子哈密頓算子()xyzxyz eee式中第三節(jié)第三節(jié) 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度例例 電位場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度圖圖0.2.2 電位場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度與過該點(diǎn)的等位與過該點(diǎn)的等位線垂直；線垂直；數(shù)值

21、等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；指向電位增加的方向。指向電位增加的方向。第三節(jié)第三節(jié) 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度例例1：求標(biāo)量場(chǎng)求標(biāo)量場(chǎng) 的梯度。的梯度。232xyzxyzuuuuxyxyz eeeeeezyxu23例例2：求標(biāo)量場(chǎng)求標(biāo)量場(chǎng) 的梯度。的梯度。34zxyu4432xyzxyzuuuuyxzxyz eeeeee 解： 解：第三節(jié)第三節(jié) 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度例例3：求標(biāo)量場(chǎng)求標(biāo)量場(chǎng)f(x,y,z)=3xy+2yz2在點(diǎn)（在點(diǎn)（1，1，1）沿）沿 方向的變化率。方向的變化率。zyxeeexl2解：解：coscoscosgra

22、dlfffff elxyzzyxzyxyzzxyzfyfxfgradfeeeeee4)23(3)(21)2(2)coscos(cos22xeeexeeeezyxzyxl2(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)232(32)4365lfxyxzyzgradf elx 第四節(jié)第四節(jié) 矢量場(chǎng)的通量和散度矢量場(chǎng)的通量和散度第四節(jié)第四節(jié) 矢量場(chǎng)的通量和散度矢量場(chǎng)的通量和散度0.4.1 矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的通量 矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)A 沿有向曲面沿有向曲面 S 的面積分的面積分dS AS若若 S 為閉合曲面為閉合曲面 dS AS 0 0 (有正源有正源) 0 0 (有負(fù)源有負(fù)源) = 0= 0 (無源無源)圖

23、圖0.3.2 矢量場(chǎng)通量的性質(zhì)矢量場(chǎng)通量的性質(zhì) 根據(jù)通量的大小判斷閉合面內(nèi)源的性質(zhì)：根據(jù)通量的大小判斷閉合面內(nèi)源的性質(zhì)：第四節(jié)第四節(jié) 矢量場(chǎng)的通量和散度矢量場(chǎng)的通量和散度 如果包圍點(diǎn)如果包圍點(diǎn) P 的閉合面的閉合面 S 所圍區(qū)域所圍區(qū)域 V 以任意方式縮小到點(diǎn)以任意方式縮小到點(diǎn) P 時(shí)：時(shí)：ASA divdlim10SVV散度 (divergence)zAyAxAzyxAAdiv0.4.2 散度散度 通量是一個(gè)積分量，是從通量是一個(gè)積分量，是從整體上整體上描述描述S S所圍區(qū)域所圍區(qū)域V V中矢量線總的中矢量線總的發(fā)散情況，而沒有說明閉合面內(nèi)每點(diǎn)處的性質(zhì)。為了描述發(fā)散情況，而沒有說明閉合面內(nèi)每

24、點(diǎn)處的性質(zhì)。為了描述V V中某一點(diǎn)中某一點(diǎn)附近矢量附近矢量A A的的通量性質(zhì)，必須引出散度的概念。的的通量性質(zhì)，必須引出散度的概念。第四節(jié)第四節(jié) 矢量場(chǎng)的通量和散度矢量場(chǎng)的通量和散度散度的意義散度的意義 在矢量場(chǎng)中，若在矢量場(chǎng)中，若 A= = 0，稱之為有源場(chǎng)，稱之為有源場(chǎng)， 稱為稱為 (通量通量) )源密源密度；若矢量場(chǎng)中處處度；若矢量場(chǎng)中處處 A=0，稱之為無源場(chǎng)。，稱之為無源場(chǎng)。 矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；散度是通量體密度，即通過包圍單位體積閉合面的通量。散度是通量體密度，即通過包圍單位體積閉合面的通量。代表代表矢量場(chǎng)的通量源的分

25、布特性。矢量場(chǎng)的通量源的分布特性。 ( (無源）無源）0 A ( (正源正源) ) A ( (負(fù)負(fù)源源) ) A圖圖0.3.3 通量的物理意義通量的物理意義 第四節(jié)第四節(jié) 矢量場(chǎng)的通量和散度矢量場(chǎng)的通量和散度0.4.3 散度定理散度定理SVVSA Adlim10圖0.3.4 散度定理 通量體密度通量體密度 高斯公式高斯公式VSVASA d d矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換。矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換。d dVSV ASA第四節(jié)第四節(jié) 矢量場(chǎng)的通量和散度矢量場(chǎng)的通量和散度xyza2222 (z0),enxyzxyzeeeAA其法向單位矢量其法向單位矢量與與Z軸的夾角為銳角，求矢量場(chǎng)軸

26、的夾角為銳角，求矢量場(chǎng) 沿沿所指的方向穿過所指的方向穿過S的通量。（提示：注意的通量。（提示：注意與與同向）同向）例：例：設(shè)設(shè)S為上半球面為上半球面enenna eA23d22saaaAS 解解: 將將xyzxyzeeeA用球坐標(biāo)表示，則在用球坐標(biāo)表示，則在S面上有面上有，因此，可得，因此，可得第四節(jié)第四節(jié) 矢量場(chǎng)的通量和散度矢量場(chǎng)的通量和散度Aeeexyzxyz333xyza2222，S為球面為球面 例：例：求矢量場(chǎng)求矢量場(chǎng)A從內(nèi)穿出所給閉曲面從內(nèi)穿出所給閉曲面S的通量的通量解：根據(jù)散度定理，可得解：根據(jù)散度定理，可得222225012dd333d34d5aSVVVxyzVrrraAAS第五

27、節(jié)第五節(jié) 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度第五節(jié)第五節(jié) 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度0.5.1 環(huán)量環(huán)量環(huán)量：環(huán)量：矢量矢量 A 沿空間有向閉合曲線沿空間有向閉合曲線 L 的線積分的線積分=A dll環(huán)量的物理意義由具體的場(chǎng)而定。環(huán)量的物理意義由具體的場(chǎng)而定。第五節(jié)第五節(jié) 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度 環(huán)量不為零的矢量場(chǎng)叫做旋渦場(chǎng)，其場(chǎng)源稱為旋渦源，矢量環(huán)量不為零的矢量場(chǎng)叫做旋渦場(chǎng)，其場(chǎng)源稱為旋渦源，矢量場(chǎng)的環(huán)量有檢源作用場(chǎng)的環(huán)量有檢源作用。 A為力時(shí)，則環(huán)量表示力沿路徑為力時(shí)，則環(huán)量表示力沿路徑L做的功；做的功；水流沿平行于水管軸線方向水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)流動(dòng) =

28、0=0，無渦旋運(yùn)動(dòng)，無渦旋運(yùn)動(dòng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)0 0，有產(chǎn)生，有產(chǎn)生渦旋的源渦旋的源圖圖0.0.5.2 5.2 流速場(chǎng)流速場(chǎng) 在流速場(chǎng)中：在流速場(chǎng)中：第五節(jié)第五節(jié) 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度在直角坐標(biāo)系中，設(shè)在直角坐標(biāo)系中，設(shè) A( x,y,z ) = Ax ( x,y,z )ex+ Ay ( x,y,z )ey+ Az ( x,y,z )ezdl = dx ex+ dy ey+ dz ez 則環(huán)量可寫成則環(huán)量可寫成dxyzllA dxA dyA dz Al()第五節(jié)第五節(jié) 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度 過點(diǎn)過點(diǎn)P 作一微小有向曲面作一微小有向曲面S,它的邊界曲線

29、記為它的邊界曲線記為l,曲面曲面的法線方向與曲線繞向成右手螺旋關(guān)系。當(dāng)?shù)姆ň€方向與曲線繞向成右手螺旋關(guān)系。當(dāng)S 0時(shí)時(shí),存在存在極限極限0A dldlimdlSSS 上式稱為上式稱為環(huán)量密度環(huán)量密度過點(diǎn)過點(diǎn)P 的有向曲面的有向曲面S 取不同的方向，其環(huán)量密度將會(huì)不同。取不同的方向，其環(huán)量密度將會(huì)不同。1. 環(huán)量密度環(huán)量密度 面元法向矢量與周界循面元法向矢量與周界循行方向的右手關(guān)系。行方向的右手關(guān)系。PlSen0.5.2 旋度旋度第五節(jié)第五節(jié) 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度2. 旋度旋度 旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樾仁且粋€(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)

30、量密度的方向。最大環(huán)量密度的方向。AArot 它與環(huán)量密度的關(guān)系為它與環(huán)量密度的關(guān)系為ndSdeArot 在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下zyxzyxzyxAAAeeeA第五節(jié)第五節(jié) 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度3. 旋度的物理意義旋度的物理意義 矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。 旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。 在矢量場(chǎng)中，若在矢量場(chǎng)中，若A=J 0，稱之為稱之為旋度場(chǎng)旋度場(chǎng)( (或渦旋場(chǎng)或渦旋場(chǎng)) )，J 稱稱為為旋度源旋度源( (或渦旋源或渦旋源) )； 旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。旋度的方向

31、是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。 若矢量場(chǎng)處處若矢量場(chǎng)處處A=0，稱之為無稱之為無旋場(chǎng)。旋場(chǎng)。第五節(jié)第五節(jié) 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度0.5.3 斯托克斯斯托克斯( (Stockes)Stockes)定理定理 A 是是環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量。環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量。因此，其面積分后，環(huán)量為因此，其面積分后，環(huán)量為()Sldd AlASStockesStockes定理定理 矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。 該公式表明了區(qū)域該公式表明了區(qū)域S S中場(chǎng)中場(chǎng)A與邊界與邊界L L上的場(chǎng)上的場(chǎng)A之間的關(guān)系之間的關(guān)系物理含義：物理含義： 矢量矢

32、量A沿任意閉合曲線沿任意閉合曲線l的環(huán)量等于以的環(huán)量等于以l為邊界的曲面為邊界的曲面S上旋度的面積分。上旋度的面積分。第五節(jié)第五節(jié) 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度例例1 已知已知A=(2xyz)ex(x+yz2)ey+(3x2y+4z)ez試就圖所示試就圖所示xoy平面上平面上 以原點(diǎn)為心、以原點(diǎn)為心、3為半徑的圓形路徑，求為半徑的圓形路徑，求A 沿其逆時(shí)針方向的環(huán)量。沿其逆時(shí)針方向的環(huán)量。 解一解一 在在xoy平面上平面上，有有 A = (2xy)ex+(x+y)ey+(3x2y)ez ， dl=dxex+dyey d2ddllxyxxyy Al設(shè)設(shè) x = 3cos ，y = 3si

33、n 202220222002 3cos3sin3sin3cos3sin3cos9 sincos9sincos19 1 sincos9sin182ldddddAl則則xy(x,y)l3o第五節(jié)第五節(jié) 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度例例1 已知已知A=(2xyz)ex(x+yz2)ey+(3x2y+4z)ez試就圖所示試就圖所示xoy平面上平面上 以原點(diǎn)為心、以原點(diǎn)為心、3為半徑的圓形路徑，求為半徑的圓形路徑，求A 沿其逆時(shí)針方向的環(huán)量。沿其逆時(shí)針方向的環(huán)量。 xy(x,y)l3o解二解二 dlsd AlA S22422324xyzxyzxyzxyzxyzxyz eeeAeee2( 242

34、)( 242 )318xyzxyzzssdd eeeeeeeA)SS第五節(jié)第五節(jié) 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度例例2 2 求矢量場(chǎng)求矢量場(chǎng) A=xyz(exey+ez)在點(diǎn)在點(diǎn) M(1,3,2)處的旋度。處的旋度。解：解：AxyzxyzAAAxyzxyzxyzxyzxyzxyzyzzxxyxzxyxyyzyzxzxyzxyzxyzeeeeeeeee23366234M xyzxyzAeeeeee第六節(jié)第六節(jié) 無源場(chǎng)和無旋場(chǎng)無源場(chǎng)和無旋場(chǎng)第六節(jié)第六節(jié) 無源場(chǎng)和無旋場(chǎng)無源場(chǎng)和無旋場(chǎng)0.6.1 無源場(chǎng)無源場(chǎng)若有矢量場(chǎng)若有矢量場(chǎng)A，如果在場(chǎng)域中每一點(diǎn)處恒有，如果在場(chǎng)域中每一點(diǎn)處恒有那么稱那么稱A

35、為無源場(chǎng)。為無源場(chǎng)。0A在無源場(chǎng)中穿過場(chǎng)域在無源場(chǎng)中穿過場(chǎng)域V中任一個(gè)矢量管的所有截面的通量都相等。中任一個(gè)矢量管的所有截面的通量都相等。性質(zhì)性質(zhì)1無源場(chǎng)存在著矢勢(shì)。無源場(chǎng)存在著矢勢(shì)。性質(zhì)性質(zhì)2第六節(jié)第六節(jié) 無源場(chǎng)和無旋場(chǎng)無源場(chǎng)和無旋場(chǎng)0.6.2 無旋場(chǎng)無旋場(chǎng)若有矢量場(chǎng)若有矢量場(chǎng)A，如果在場(chǎng)域中每一點(diǎn)處恒有，如果在場(chǎng)域中每一點(diǎn)處恒有那么稱那么稱A為無旋場(chǎng)。為無旋場(chǎng)。0A在無旋場(chǎng)中，在無旋場(chǎng)中，A沿場(chǎng)域沿場(chǎng)域V中任意閉合路徑中任意閉合路徑L的環(huán)量等于零，即的環(huán)量等于零，即性質(zhì)性質(zhì)1無旋場(chǎng)無旋場(chǎng)A可以表示為某一函數(shù)可以表示為某一函數(shù) 的梯度場(chǎng)。的梯度場(chǎng)。性質(zhì)性質(zhì)20LA dl第六節(jié)第六節(jié) 無源場(chǎng)和

36、無旋場(chǎng)無源場(chǎng)和無旋場(chǎng)0.6.3 調(diào)和場(chǎng)調(diào)和場(chǎng)散度和旋度都等于零的矢量場(chǎng)稱為調(diào)和場(chǎng)。其位函數(shù)散度和旋度都等于零的矢量場(chǎng)稱為調(diào)和場(chǎng)。其位函數(shù)20第六節(jié)第六節(jié) 無源場(chǎng)和無旋場(chǎng)無源場(chǎng)和無旋場(chǎng)0.6.4 其它特殊形式的電磁場(chǎng)其它特殊形式的電磁場(chǎng)1. 1. 平行平面場(chǎng)平行平面場(chǎng) 如果在經(jīng)過某一軸線如果在經(jīng)過某一軸線( 設(shè)為設(shè)為 z 軸）軸）的一的一族平行平面上，場(chǎng)族平行平面上，場(chǎng) F 的分布都相同，即的分布都相同，即 F= = f（x，y），則稱這個(gè)場(chǎng)為平行平面場(chǎng)。），則稱這個(gè)場(chǎng)為平行平面場(chǎng)。無限長(zhǎng)直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場(chǎng)無限長(zhǎng)直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場(chǎng)第六節(jié)第六節(jié) 無源場(chǎng)和無旋場(chǎng)無源場(chǎng)和無旋場(chǎng) 如果在經(jīng)過某一軸線（設(shè)為如果在經(jīng)過某一軸線（設(shè)為 z 軸軸) )的一族子午面上，場(chǎng)的一族子午面上，場(chǎng) F 的分布都相同，的分布都相同，即即 F= =f（r, , ），則稱這個(gè)場(chǎng)為軸對(duì)稱），則稱這個(gè)場(chǎng)為軸對(duì)稱場(chǎng)。場(chǎng)。2. 軸對(duì)稱場(chǎng)軸對(duì)稱場(chǎng) 如螺線管線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)；有限如螺線管線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)；有限長(zhǎng)直帶電導(dǎo)線產(chǎn)生的電場(chǎng)。長(zhǎng)直帶電導(dǎo)線產(chǎn)生的電場(chǎng)。第六節(jié)第六節(jié) 無源場(chǎng)和無旋場(chǎng)無源場(chǎng)和無旋場(chǎng)3. 球面對(duì)稱場(chǎng)球