角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)

1、4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)傅里葉生平傅里葉生平 1768年生于法國(guó)年生于法國(guó) 1807年提出年提出“任何周任何周期信號(hào)都可用正弦函期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示數(shù)級(jí)數(shù)表示” 1829年狄里赫利第一年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件個(gè)給出收斂條件 拉格朗日反對(duì)發(fā)表拉格朗日反對(duì)發(fā)表 1822年首次發(fā)表在年首次發(fā)表在“熱的分析理論熱的分析理論” 一書中一書中4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn) “周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和信號(hào)的加權(quán)和”傅里葉的第一個(gè)傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)主要論點(diǎn) “非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)非周期信

2、號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示積分表示”傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)與傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)與傅立葉級(jí)數(shù) 周期信號(hào)可展開成正交函數(shù)線性組合的無(wú)窮級(jí)周期信號(hào)可展開成正交函數(shù)線性組合的無(wú)窮級(jí)數(shù)：數(shù)： 三角函數(shù)式的三角函數(shù)式的 傅立里葉級(jí)數(shù)傅立里葉級(jí)數(shù) cosncosn 1 1t,sinnt,sinn 1 1tt 復(fù)指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級(jí)數(shù) e e j n j n 1 1t t 4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)一、三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)一、三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)112t)sincos()(1110tnbtnaatfnnn直流分量基波分

3、量n =1 諧波分量n11n4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)100).(110tttdttfta100.cos).(211tttndttntftadttntftbtttn.sin).(210011直流直流系數(shù)系數(shù)余弦分量余弦分量系數(shù)系數(shù)正弦分量正弦分量系數(shù)系數(shù)4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)狄利赫利條件：狄利赫利條件： 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)絕對(duì)可積，即在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)絕對(duì)可積，即 一般周期信號(hào)都滿足這些條件一般周期信號(hào)都滿足這些條件. dttfttt. )(1004.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)三角函

4、數(shù)是正交函數(shù)三角函數(shù)是正交函數(shù)0.sin.cos11100dttmtnttt)()(0sinsin001211nmnmtdtmtntttt)()(0coscos001211nmnmtdtmtntttt4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的另一種三角函數(shù)正交集表示周期信號(hào)的另一種三角函數(shù)正交集表示)cos()(110nnntncctf)sin()(110nnntnddtf4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)幾種系數(shù)之間的關(guān)系幾種系數(shù)之間的關(guān)系nnnnndcasincos000dca22nnnnbadcnnnbatgnnnabtgnnnnndcbcossin4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù) 周期信號(hào)的頻譜ttjnn

5、ntjnnnnnndtetftfceftftncctf11)(22)()cos()(110周期信號(hào)頻譜：周期信號(hào)頻譜的周期信號(hào)頻譜的數(shù)學(xué)表達(dá)式4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)信號(hào)的頻譜:振幅譜,相位譜.f(t)tt解:0na02nbsin2sin2202020tdtnetdtnetbtttnn2(n為奇數(shù))(n為偶數(shù)為0)例例1 1：計(jì)算下圖傅立葉級(jí)數(shù)和頻譜計(jì)算下圖傅立葉級(jí)數(shù)和頻譜4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)tnnetfn0.5,3,1sin12)()2(2100220dteedteetftjtttjntn)1(1 2)cos1 (10nnjenjnet2jene(n為奇數(shù))(n為偶數(shù)時(shí)為0)4.2傅

6、立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)單邊譜和雙邊譜nc0n003e2nf0n00)0(2;,11nfcnnffnnnnn單邊幅度頻譜的奇函數(shù)是相位譜的偶函數(shù)是雙邊幅度頻譜4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)1單邊頻譜 若周期信號(hào) 的傅里葉展開式為：)(tf110)cos()(nnntncctf 則對(duì)應(yīng)的幅度頻譜 和相位頻譜 稱為單邊頻譜ncnnc1n015110124n1n01511021 （a）單邊幅度頻譜 （b）單邊相位頻譜周期信號(hào)的單邊頻譜4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)2 2雙邊頻譜雙邊頻譜 若 周期信號(hào)的傅里葉展開式為： )(tfntjnneftf1)(njnttjnnefdtetftf01)(1nf1n015110

7、1511012442雙邊幅度譜4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜圖的特點(diǎn) 引入了負(fù)頻率變量，沒有物理意義，只是數(shù)學(xué)推導(dǎo)； fn 一般是復(fù)函數(shù)， 當(dāng) fn 是實(shí)函數(shù)時(shí)，可用fn的正負(fù)表示0和相位， 幅度譜和相位譜合一。4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù) 周期信號(hào)的譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率處。直觀看出：各分量的大小，各分量的頻移， 11n)(n11n0c1c2cc cn n4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個(gè)正弦分量，即頻譜具有離散性。頻譜的每條譜線都只能出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率上，即頻譜具有諧波性。頻譜的各條譜線的高度，即各次諧波的振幅總是隨著諧

8、波次數(shù)的增大而逐漸減小；當(dāng)諧波次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，諧波分量的振幅也就無(wú)限趨小，即頻譜具有收斂性。離散性諧波性收斂性周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)二、周期信號(hào)的復(fù)指數(shù)級(jí)數(shù)二、周期信號(hào)的復(fù)指數(shù)級(jí)數(shù) 由前知由前知 由歐拉公式由歐拉公式 其中其中)sincos()(11101tnbtnaatfnnntjnnenftf1)()(1)(21)(1nnjbanf)(21)(1nnjbanf0)0(af引入了負(fù)頻率4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)nfnf)(11001)(11ttttjnndtetftf0000adcf)(21nnjnnjb

9、aeffn)(21nnjnnjbaeffn兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系22212121nnnnnnbadcffnnncffnnnaffnnnbffj)(nnnnnnffbadc422224.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜圖周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜圖 nnfnf1111n1n1n000-4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)周期復(fù)指數(shù)信號(hào)頻譜圖的特點(diǎn)周期復(fù)指數(shù)信號(hào)頻譜圖的特點(diǎn)l引入了負(fù)頻率變量，沒有物理意義，只是引入了負(fù)頻率變量，沒有物理意義，只是數(shù)學(xué)推導(dǎo)；數(shù)學(xué)推導(dǎo)；lcn 是實(shí)函數(shù)，是實(shí)函數(shù)，fn

10、 一般是復(fù)函數(shù)，一般是復(fù)函數(shù)， fn =(1/2)cn;l每個(gè)分量幅度分在對(duì)稱的頻率分量上；每個(gè)分量幅度分在對(duì)稱的頻率分量上；l 當(dāng)當(dāng) fn 是實(shí)函數(shù)時(shí)，可用是實(shí)函數(shù)時(shí)，可用fn 的正負(fù)表示的正負(fù)表示0和和相位，相位， 幅度譜和相位譜合一；幅度譜和相位譜合一；4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)三、周期信號(hào)的功率特性三、周期信號(hào)的功率特性 p為周期信號(hào)的平均功率為周期信號(hào)的平均功率 符合帕斯瓦爾定理符合帕斯瓦爾定理100).(1)(212tttdttfttfp12nnfp4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)四、對(duì)稱信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)四、對(duì)稱信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) 四種對(duì)稱：四種對(duì)稱： 偶函數(shù)偶函數(shù) ：f (t )=f (

11、-t) 奇函數(shù)奇函數(shù) ：f (t )= - f (-t) 半周期重疊對(duì)稱：半周期重疊對(duì)稱：f(t)=f(t t/2) 奇諧函數(shù)奇諧函數(shù) ：半周期鏡像對(duì)稱：半周期鏡像對(duì)稱f(t)=-f(t t/2) 任意周期函數(shù)有：任意周期函數(shù)有： )sincos()(11101tnbtnaatfnnn偶函數(shù)項(xiàng)偶函數(shù)項(xiàng) 奇函數(shù)項(xiàng)奇函數(shù)項(xiàng)4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)周期偶函數(shù)只含直流和周期偶函數(shù)只含直流和 其中其中a是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù) bn=0 fn是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)tnaatfnn110cos)(tnan1cos100.cos)(211tttndttntfta2nnnafftjnnenftf1)()(14.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉

12、級(jí)數(shù)例例2:周期三角函數(shù)是偶函數(shù)周期三角函數(shù)是偶函數(shù).)5cos2513cos91(cos42)(1112ttteetfef(t)t1/2-t1/2t4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)周期奇函數(shù)只含正弦項(xiàng)周期奇函數(shù)只含正弦項(xiàng)tnbtfnn11sin)(1011.sin).(2tndttntftb000naafn為虛數(shù)jbffnnn24.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)例例3：周期鋸齒波是奇函數(shù)周期鋸齒波是奇函數(shù).)3sin312sin21(sin)(111tttetfe/2-e/2t1/2-t1/2f(t)t04.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)半周期重疊對(duì)稱半周期重疊對(duì)稱l 半周期對(duì)稱半周期對(duì)稱l平移半個(gè)周期與原波形完

13、全重合平移半個(gè)周期與原波形完全重合l 波形不變波形不變)2()(ttftf4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)半周期重疊對(duì)稱波形半周期重疊對(duì)稱波形 實(shí)際周期為實(shí)際周期為t/2，實(shí)際角頻率為，實(shí)際角頻率為2 0，基波，基波和諧波頻率均為和諧波頻率均為 0的偶數(shù)倍，只有偶次諧的偶數(shù)倍，只有偶次諧波分量。波分量。0t/2-t/2a4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)半周期重疊對(duì)稱的傅氏級(jí)數(shù)半周期重疊對(duì)稱的傅氏級(jí)數(shù), 3 , 1 0, 4 , 2,cos)(4200nntdtntftatn, 3 , 1 0, 4 , 2,sin)(4200nntdtntftbtn4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)奇諧函數(shù)奇諧函數(shù) ：)2()(1

14、ttftfl沿時(shí)間軸移半個(gè)周期；沿時(shí)間軸移半個(gè)周期；l沿時(shí)間軸反轉(zhuǎn)重合；沿時(shí)間軸反轉(zhuǎn)重合；l 波形不變；波形不變；l半周期對(duì)稱半周期對(duì)稱4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)奇諧函數(shù)奇諧函數(shù) 的波形的波形：f(t)t1/2-t1/20t4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)奇諧函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)奇諧函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù) 奇諧函數(shù)的偶次諧波的系數(shù)為奇諧函數(shù)的偶次諧波的系數(shù)為0dtttftat.cos)(4201111dtttftbt.sin)(4201111a20 , b202nnnjbaf4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)例例4：利用傅立葉級(jí)數(shù)的對(duì)稱性判斷所含有的頻率利用傅立葉級(jí)數(shù)的對(duì)稱性判斷所含有的頻率分量分量周期偶函數(shù)，奇諧函

15、周期偶函數(shù)，奇諧函數(shù)，只含基波和奇次數(shù)，只含基波和奇次諧波的余弦分量諧波的余弦分量周期奇函數(shù)，奇諧函周期奇函數(shù)，奇諧函數(shù)，只含基波和奇次數(shù)，只含基波和奇次次諧波的正弦分量次諧波的正弦分量4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)含有直流分量和正弦分含有直流分量和正弦分量量只含有正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余含有直流分量和余弦分量弦分量4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)五、傅里葉有限級(jí)數(shù)五、傅里葉有限級(jí)數(shù)如果完全逼近，則如果完全逼近，則 n= ;實(shí)際中，實(shí)際中，n=n, n是有限整數(shù)。是有限整數(shù)。如果如果 n愈接近愈接近 n ，則，則 其均方誤差愈小其均方誤差愈小若用若用2n1項(xiàng)逼近，則項(xiàng)逼近，則)sincos

16、()(1110tbtaatsnnnnn4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)誤差函數(shù)和均方誤差誤差函數(shù)和均方誤差 誤差函數(shù)誤差函數(shù) 均方誤差均方誤差)()()(tstftnn)(21)()(222022nnnnbaatfte4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)例例5: 對(duì)稱方波對(duì)稱方波, 是偶函數(shù)且奇諧函數(shù)是偶函數(shù)且奇諧函數(shù) 只有奇次諧波的余弦項(xiàng)。只有奇次諧波的余弦項(xiàng)。2sin2nnean)5cos3cos(cos)(15113112ttttfee/2-e/2t1/4-t1/4t4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)對(duì)稱方波有限項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)稱方波有限項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù) n=1 n=2 n=32105.0ee )3cos31(c

17、os2112ttes2202. 0ee )(cos212tes)5cos513cos31(cos21113tttes2301. 0ee -0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.814.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)有限項(xiàng)的有限項(xiàng)的n越大，誤差越小例如越大，誤差越小例如: n=11)11cos1115cos513cos31(cos211119ttttes-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.814.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)

18、由以上可見由以上可見： n越大，越接近方波越大，越接近方波 快變信號(hào)，高頻分量，主要影響跳變沿；快變信號(hào)，高頻分量，主要影響跳變沿； 慢變信號(hào)，低頻分量，主要影響頂部；慢變信號(hào)，低頻分量，主要影響頂部； 任一分量的幅度或相位發(fā)生相對(duì)變化時(shí)，任一分量的幅度或相位發(fā)生相對(duì)變化時(shí)，波形將會(huì)失真波形將會(huì)失真 有吉伯斯現(xiàn)象發(fā)生有吉伯斯現(xiàn)象發(fā)生)(limtfsnn4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)典型周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)典型周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期矩形脈沖信號(hào)周期矩形脈沖信號(hào)周期鋸齒脈沖信號(hào)周期鋸齒脈沖信號(hào)周期三角脈沖信號(hào)周期三角脈沖信號(hào)周期半波脈沖信號(hào)周期半波脈沖信號(hào)周期全波脈沖信號(hào)周期全波脈沖信號(hào)4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)1. 周期矩形脈沖信號(hào)周期矩形脈沖信號(hào)22)2(0)2()(1ttetf4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)ntjnneftf1)(2)2sin()()(11112/2/11221111nnteeejntedteetfjnjntjnn)(1tnsa4.2傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)2.周期矩形脈沖的傅立葉級(jí)數(shù)周期矩形脈沖的傅立葉級(jí)數(shù))cos()2(te )cos()(2te )2(te )(11111111111111tnnsaetntnsateensae