人教版九年級數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、第二十一章 二次根式 1.二次根式：式子 (a0)叫做二次根式。 2.最簡二次根式：滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式；（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。如 不是最簡二次根式，因被開方數(shù)中含有4是可開得盡方的因數(shù)，又如 ， ， .都不是最簡二次根式，而 ， ，5 ， 都是最簡二次根式。 3.同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式。如 , , 就是同類二次根式，因?yàn)?=2 ， =3 ，它們與 的被開方數(shù)均為2。 4.有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二

2、次根式，則說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。如 與 ，a+ 與a- ， - 與 + ，互為有理化因式。二次根式的性質(zhì)：1. (a0)是一個(gè)非負(fù)數(shù), 即 0;2.非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根再平方仍得這個(gè)數(shù)，即：( )2=a(a0)；3.某數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于某數(shù)的絕對值，即 =|a|= 4.非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，即 = （a0,b0）。5.非負(fù)數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根，即 = （a0,b0）。21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即（0，0）。說明：（1）法則中、可以是單項(xiàng)式，也可以

3、是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍，、都是非負(fù)數(shù)；（2）（0，0）可以推廣為（0，0）； （0，0，0，0）。（3）等式（0，0）也可以倒過來使用，即（0，0）。也稱“積的算術(shù)平方根”。它與二次根式的乘法結(jié)合，可以對一些二次根式進(jìn)行化簡。 2. 二次根式的除法兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即（0，0）。說明：（1）法則中、可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍，0，在分母中，因此0；（2）（0，0）可以推廣為（0，0，0）；（3）等式（0，0）也可以倒過來使用，即（0，0）。也稱“商的算術(shù)平方根”。它與二根式的除法結(jié)合，可以對一些二次根式進(jìn)行化簡。3. 最簡二次根式（1

4、）被開方數(shù)中不含能開方開得盡的因數(shù)或因式；（2）被開方數(shù)中不含分母。21.3 二次根式的加減 1. 同類二次根式 注：判斷幾個(gè)二次根式是否為同類二次根式，關(guān)鍵是先把二次根式準(zhǔn)確地化成最簡二次根式，再觀察它們的被開方數(shù)是否相同。 （2）合并同類二次根式：合并同類二次根式的方法與合并同類項(xiàng)的方法類似，系數(shù)相加減，二次根號(hào)及被開方數(shù)不變。 2. 二次根式的加減 （1）二次根式的加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再將同類二次根式分別合并。 （2）二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，首先是化簡，在化簡的基礎(chǔ)上去括號(hào)再合并同類二次根式，同類二次根式相當(dāng)于同類項(xiàng)。 一般地，二次根式的加減法可分以下三

5、個(gè)步驟進(jìn)行： i）將每一個(gè)二次根式都化簡成最簡二次根式 ii）判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類二次根式結(jié)合成一組 iii）合并同類二次根式 3. 二次根式的混合運(yùn)算 二次根式的混合運(yùn)算可以說是二次根式乘法、除法、加、減法則的綜合應(yīng)用，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1）觀察式子的結(jié)構(gòu)，選擇合理的運(yùn)算順序，二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)的。 （2）在運(yùn)算過程中，每個(gè)根式可以看作是一個(gè)“單項(xiàng)式”，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作是“多項(xiàng)式”。 （3）觀察式中二次根式的特點(diǎn)，合理使用運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在實(shí)數(shù)和整式中的運(yùn)算律和運(yùn)算

6、性質(zhì)，在二次根式的運(yùn)算中都可以應(yīng)用。4. 分母有理化 （1）我們在前面的學(xué)習(xí)中研究了分母形如 形式的分式的分母有理化 綜合起來，常見的有理化因式有： 的有理化因式為 ， 的有理化因式為 ， 的有理化因式為 ， 的有理化因式為 ， 的有理化因式為 （2）分母有理化就是通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的過程，混合運(yùn)算中進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，一般都是通過分母有理化而進(jìn)行的。第二十二章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 在一個(gè)等式中，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程。 22.2 降次解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通過“降

7、次”將它化為兩個(gè)一元一次方程。一元二次方程有四種解法：1、直接開平方法： 用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n0)的方程，其解為x= m. 2、配方法1.轉(zhuǎn)化： 2.系數(shù)化 3.移項(xiàng)： 4.配方： 5.變形： 6.開方： 3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式=b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac0時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac0)就可得到方程的根。 因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)根。這種解

8、一元二次方程的方法叫做因式分解法。22.3 實(shí)際問題與一元二次方程 列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程解應(yīng)用題的繼續(xù)和發(fā)展從列方程解應(yīng)用題的方法來講，列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題是非常相似的，由于一元一次方程未知數(shù)是一次，因此這類問題大部分都可通過算術(shù)方法來解決如果未知數(shù)出現(xiàn)二次，用算術(shù)方法就很困難了，正由于未知數(shù)是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關(guān)面積問題，經(jīng)過兩次增長的平均增長率問題，數(shù)學(xué)問題中涉及積的一些問題，經(jīng)營決策問題等等第二十三章 旋轉(zhuǎn) 23.1 圖形的旋轉(zhuǎn) 1. 圖形的旋轉(zhuǎn)（1）定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圓形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)

9、角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角。（2）生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象大致有兩大類：一類是物體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，如時(shí)鐘的時(shí)針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)車的轉(zhuǎn)動(dòng)等；另一類則是由某一基本圖形通過旋轉(zhuǎn)而形成的圖案，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。（3）圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所決定，旋轉(zhuǎn)中心可以在圖形上也可以在圖形外。（4）會(huì)找對應(yīng)點(diǎn)，對應(yīng)線段和對應(yīng)角。 2. 旋轉(zhuǎn)的基本特征：（1）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；（3）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形的大小

10、和形狀都沒有發(fā)生改變。 3. 幾點(diǎn)說明：旋轉(zhuǎn)中心的確定分兩種情況，即在圖形上或在圖形外，若在圖形上，哪一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中位置沒有改變，哪一點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心；若在圖形外，對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心。23.2 中心對稱 中心對稱：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，假如它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱或中心對稱。 中心對稱的性質(zhì)：關(guān)于中心對稱的劉遇圖形，對應(yīng)點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分。關(guān)于中心對稱的劉遇圖形是全等形。中心對稱圖形：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形。對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于x軸

11、對稱：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，關(guān)于y軸對稱：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，關(guān)于原點(diǎn)對稱：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。第二十四章 圓第三章 圓1、定義：圓是平面上到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合。其中定點(diǎn)叫做圓心，定長叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個(gè)條件唯一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即定長）。2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：如果圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則：點(diǎn)在圓上d=r；點(diǎn)在圓內(nèi)dr；點(diǎn)在圓外dr。（p56-5，6、p58-16）證明若干個(gè)點(diǎn)共圓，就是證明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)的距

12、離相等。3、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心。直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。（p58-4、p59-9、p61-3、p63-16、p65-15）4、與圓相關(guān)的概念：弦和直徑。弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。圓弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧。圓?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號(hào)“”表示，半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個(gè)字母表示。)弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。同心圓：圓心相同，半徑不等的

13、兩個(gè)圓叫做同心圓。等圓：能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。5、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個(gè)圓和一條直線來說，如果具備：過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對的優(yōu)??；平分弦所對的劣弧。6、定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心

14、距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。7、1的弧的概念：把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份時(shí)，每一份的角都是1的圓心角，相應(yīng)的整個(gè)圓也被等分成360份，每一份同樣的弧叫1弧。圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等。8、圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角。圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1： 同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等；推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑；（p66-5，7、p68-16）9、確定圓的條件：理解確定一個(gè)圓必須的具備兩個(gè)條件：圓心和半徑，圓心

15、決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)圓，經(jīng)過兩點(diǎn)也可以作無數(shù)個(gè)圓，其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線段的垂直平分線上。經(jīng)過三點(diǎn)作圓要分兩種情況：(1)經(jīng)過同一直線上的三點(diǎn)不能作圓。(2)經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，能且僅能作一個(gè)圓。定理：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。10、 (1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形：經(jīng)過一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形。（p69-4,5、p70-15）(2)三角形的外心：三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心。(3)三角形的外心的性質(zhì)：三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等。11、直線和圓的位置關(guān)系：（p72-3,5）(1)相交：

16、直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線。(2)相切：直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，惟一的公共點(diǎn)做切點(diǎn)。(3)相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離。(4)直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征：設(shè)o的半徑為r，圓心o到直線的距離為d，則dr直線l和o相交。d=r直線l和o相切。dr直線l和o相離。12、切線的總判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個(gè)條半徑的直線是圓的切線。切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。結(jié)論：如果一條直線具備下列三個(gè)條件中

17、的任意兩個(gè)，就可推出第三個(gè)。垂直于切線；過切點(diǎn)；過圓心。（p73-13、p74-3、p75-14）13、和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。三角形內(nèi)心的性質(zhì)：(1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等。(2)過三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角。由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線： 連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)，該線平分三角形的這個(gè)內(nèi)角。（p77-2、p78-14）14、兩圓的位置關(guān)系：（p79-6、p81-13） (1)外離： 兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離。(2)外切： 兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn)，并且除

18、了這個(gè)公共點(diǎn)以外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)， 叫做這兩個(gè)圓外切。這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。(3)相交： 兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這個(gè)兩個(gè)圓相交。(4)內(nèi)切： 兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)圓上的都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切。這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。(5)內(nèi)含： 兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)， 并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含。兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個(gè)特例。(6)兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定：(1)兩圓外離dr+r；(2)兩圓外切d=r+r；(3)兩圓相交r-rdr+r(rr)；(4)兩圓內(nèi)切d=r-r(rr)；(5)兩圓內(nèi)含dr)。(7)相切兩圓

19、的性質(zhì)：如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上。(8)相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦。 15、圓周長公式：圓周長c=2r(r表示圓的半徑)。圓的面積公式：s=r 2(r表示圓的半徑)。弧長公式：2nr/360(r表示圓的半徑，n表示弧所對的圓心角的度數(shù))。（p82-6）扇形定義：一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形。（p82-9、p84-1、p85-8）扇形的面積公式：扇形的面積=nr2/360(r表示圓的半徑，n表示弧所對的圓心角的度數(shù))。弓形定義：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形。弓形弧的中點(diǎn)到弦的距離叫做弓形高。16、圓錐：可以看作是一個(gè)直角三角形繞著

20、直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形，另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面，斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面。圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長、弧長是圓錐底面圓的周長、圓心是圓錐的頂點(diǎn)。如果設(shè)圓錐底面半徑為r，側(cè)面母線長(扇形半徑)是l，底面圓周長(扇形弧長)為c，那么它的側(cè)面積是：s=cl/2=2rl/3=rl。總面積=側(cè)面積+底面積。（p87-7，9，11）17、若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形的特征： 圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)

21、錯(cuò)角。18、切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。19、和圓有關(guān)的比例線段：相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等；推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。20、切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)；推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。21、兩圓連心線的性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上，或者說，連心線過切點(diǎn)。如果兩圓相交，那么連心線垂直平分兩圓的公共弦。（p91-7 24.3

22、正多邊形和圓 1、正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形與圓的關(guān)系： (1)將一個(gè)圓n(n3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形。 (2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓。3、正多邊形的有關(guān)概念： (1)正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心。 (2)正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑。 (3)正多邊形的邊心距正多邊形中心到正多邊形各邊的距離。 (4)正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角。4、正多邊形性質(zhì)： (1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓。 (2)正多邊形都是軸對稱圖形，當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它又是中心對稱圖形，正n

23、邊形的對稱軸有n條。 (3)邊數(shù)相同的正多邊形相似。重點(diǎn)：正多邊形的有關(guān)計(jì)算。24.4 弧長和扇形面積 知識(shí)點(diǎn)1、弧長公式因?yàn)?60的圓心角所對的弧長就是圓周長c2r，所以1的圓心角所對的弧長是，于是可得半徑為r的圓中，n的圓心角所對的弧長l的計(jì)算公式：，說明：（1）在弧長公式中，n表示1的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑r10，計(jì)算20的圓心角所對的弧長l時(shí)，不要錯(cuò)寫成。（2）在弧長公式中，已知l，n，r中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量。知識(shí)點(diǎn)2、扇形的面積如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為r，圓心角為n的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，因?yàn)閳A心角

24、是360的扇形面積等于圓面積，所以圓心角為1的扇形面積是，由此得圓心角為n的扇形面積的計(jì)算公式是。又因?yàn)樯刃蔚幕￠L，扇形面積，所以又得到扇形面積的另一個(gè)計(jì)算公式：。知識(shí)點(diǎn)3、弓形的面積（1）弓形的定義：由弦及其所對的?。ò踊?、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。（2）弓形的周長弦長弧長（3）弓形的面積如圖所示，每個(gè)圓中的陰影部分的面積都是一個(gè)弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形oamb的面積和aob的面積計(jì)算出來，就可以得到弓形amb的面積。當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí)，如圖1所示， 當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，如圖2所示，當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，如圖3所示，注意：（1）圓周長、弧長、圓面積、扇形面積

25、的計(jì)算公式。圓周長弧長圓面積扇形面積公式（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別圖示面積知識(shí)點(diǎn)4、圓錐的側(cè)面積圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，如圖所示，設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長為2，圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積說明：（1）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。（2）研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間的關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)5、圓柱的側(cè)面積圓柱的側(cè)面積展開圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側(cè)面積，圓柱的全面積知識(shí)小結(jié)：

26、圓錐與圓柱的比較名稱圓錐圓柱圖形圖形的形成過程由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，如rtsoa繞直線so旋轉(zhuǎn)一周。由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形abcd繞直線ab旋轉(zhuǎn)一周。圖形的組成一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面?zhèn)让嬲归_圖的特征扇形矩形面積計(jì)算方法第二十五章 概率初步 25.1 隨機(jī)事件與概率 1隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間 具有下列三個(gè)特性的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)： (1) 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行； (2) 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但事先知道每次試驗(yàn)所有可能的結(jié)果； (3) 每次試驗(yàn)前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)第二十六章二次函數(shù) 1、定義：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù)。自變量的取值范圍是全

27、體實(shí)數(shù)。2、二次函數(shù)的性質(zhì)：（1）拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是軸；（2）函數(shù)的圖像與的符號(hào)關(guān)系： 當(dāng)時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)。（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為。（p21-12）3、二次函數(shù) 的圖像是對稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線。4、二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中。5、二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；。6、拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)。 的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同。 平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線。（p23-9,1

28、0）7、頂點(diǎn)決定拋物線的位置。幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同。8、求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法 （1）公式法：，頂點(diǎn)是，對稱軸是直線。（p26-9） （2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對稱軸是直線。 （3）運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。 注意：用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失。9、拋物線中，的作用（p29-例2,1,10） （1）決定開口方向及開口大小，

29、這與中的完全一樣。 （2）和共同決定拋物線對稱軸的位置。由于拋物線的對稱軸是直線。，故：時(shí)，對稱軸為軸；（即、同號(hào)）時(shí)，對稱軸在軸左側(cè)；（即、異號(hào)）時(shí)，對稱軸在軸右側(cè)。 （3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置。 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）： ，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)； ,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸。 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則 。10、幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開口向上當(dāng)時(shí)開口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()11、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（p32-12、p34-7,8、p

30、37-2,4、p42-1,2、p51-例、p54-16） （1）一般式：。已知圖像上三點(diǎn)或三對、的值，通常選擇一般式。 （2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式。 （3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：。261 （用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程 1. 如果拋物線與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，那么當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值是0，因此就是方程的一個(gè)根。 2. 二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)。這對應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。262 實(shí)際問題與二次函數(shù) 在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材

31、料最省、時(shí)間最少、效率最高等問題，有些可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。第二十七章相似 271 圖形的相似 概述判定1、如果兩個(gè)圖形形狀相同,但大小不一定相等,那么這兩個(gè)圖形相似。2、如果兩個(gè)多邊形滿足對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形相似。 相似比3、相似多邊形的對應(yīng)邊的比叫相似比。相似比為1時(shí)，相似的兩個(gè)圖形全等。 性質(zhì)4、相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的周長比等于相似比。 5、相似多邊形的面積比等于相似比的平方。272 相似三角形 判定：1.兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等 2.兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等 3.三邊對應(yīng)成比例 4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊

32、或兩邊延長線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 1.相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。 2.相似三角形周長的比等于相似比。 3.相似三角形面積的比等于相似比的平方273 位似 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。性質(zhì)1、位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。 2、位似多邊形的對應(yīng)邊平行或共線。3、位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小。位似圖形的中心可以在任意的一點(diǎn)，不過位似圖形也會(huì)隨著位

33、似中心的位變而位變。 根據(jù)一個(gè)位似中心可以作兩個(gè)關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個(gè)圖形分布在位似中心的兩側(cè),并且關(guān)于位似中心對稱。 注意 1、位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形； 2、兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)； 3、兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)； 4、位似比就是相似比利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似； 5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形位似。第二十八章銳角三角函數(shù) 281 銳角三角函數(shù) 銳角角a的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（

34、cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角a的銳角三角函數(shù)。 正弦（sin）等于對邊比斜邊， 余弦（cos）等于鄰邊比斜邊 正切（tan）等于對邊比鄰邊； 余切（cot）等于鄰邊比對邊 正切與余切互為倒數(shù)，互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系。sin(90-)=cos, cos(90-)=sin, tan(90-)=cot, cot(90-)=tan.同角三角函數(shù)間的關(guān)系 平方關(guān)系： tan=sin/cos，sin2+cos2=1 積的關(guān)系： 倒數(shù)關(guān)系： tancot=1 ；sincsc=1； cossec=1 直角三角形abc中, 角a的正弦值就等于角a的對邊比斜邊, 余弦等于角a的鄰邊比斜邊

35、正切等于對邊比鄰邊, 余切等于鄰邊比對邊三角函數(shù)值（1）特殊角三角函數(shù)值 （2）090的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表。 （3）tana的值越大，梯子越陡，a越大；a越大，梯子越陡，tana的值越大。（i）銳角三角函數(shù)值都是正值 （ii）當(dāng)角度在090間變化時(shí)， 正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大） （iii）當(dāng)角度在090間變化時(shí)， 0sin1, 1cos0, 當(dāng)角度在00, cot0. 特殊的三角函數(shù)值 282 解直角三角形 勾股定理，

36、只適用于直角三角形（外國叫“畢達(dá)哥拉斯定理”） a2+b2=c2, 其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。 勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個(gè)正整數(shù)。比如：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數(shù)。 常見的勾股弦數(shù)有：3，4，5；6，8，10；等等.直角三角形的特征直角三角形兩個(gè)銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形中30所對的直角邊等于斜邊的一半；勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：在rtabc中，若c90，則a2+b2=c2；勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，則這個(gè)三角形是直角三角形，即：在abc中，若a2+b2=c2，則c90；abcd射影定理：ac2=adab,bc2=bdab,cd2=dadbabcacb銳角三角