全微分及其應(yīng)用(6)課件

1、全微分及其應(yīng)用(6)全微分及其應(yīng)用(6),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)x和和對(duì)對(duì)y的的偏偏微微分分 二二元元函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)x和和對(duì)對(duì)y的的偏偏增增量量由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得一、全微分的定義一、全微分的定義全微分及其應(yīng)用(6) 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，并并設(shè)設(shè)),(yyxxP 為為這這鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)，則則稱稱這這兩兩點(diǎn)點(diǎn)的的函函數(shù)數(shù)值值之之差差 ),(),(yxfyyxxf 為為函函數(shù)數(shù)在在

2、點(diǎn)點(diǎn) P對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量增增量量yx ,的的全全增增量量，記記為為z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 全增量的概念全增量的概念全微分及其應(yīng)用(6) 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為)( oyBxAz ，其中，其中BA,不依賴于不依賴于yx ,而僅與而僅與yx,有關(guān)，有關(guān)，22)()(yx ，則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx可微分，可微分，yBxA 稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的的全微分全微分，記為，記為dz，即，即 dz= =yBxA . .全微分

3、的定義全微分的定義全微分及其應(yīng)用(6) 函函數(shù)數(shù)若若在在某某區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)各各點(diǎn)點(diǎn)處處處處可可微微分分，則則稱稱這這函函數(shù)數(shù)在在 D 內(nèi)內(nèi)可可微微分分. 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx可微分可微分, 則則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).事實(shí)上事實(shí)上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處連連續(xù)續(xù).全微分及其應(yīng)用(6)二、可微的條件二、可微的條件 定定理理 1 1（必必要要條條件件）如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx可可微微分分，則則該該

4、函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xz 、yz 必必存存在在，且且函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx的的全全微微分分為為 yyzxxzdz 全微分及其應(yīng)用(6)證證如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域)( oyBxAz 總成立總成立,當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)時(shí)，上上式式仍仍成成立立，此時(shí)此時(shí)|x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 全微分及其應(yīng)用(6)一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)

5、數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(處有處有0)0 , 0()0 , 0( yxff全微分及其應(yīng)用(6)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考慮慮點(diǎn)點(diǎn)),(yxP 沿沿著著直直線線xy 趨趨近近于于)0 , 0(，則則 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 說說明明它它不不能能隨隨著著0 而而趨趨于于 0,0 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(處處不不可可微微.全微分及其應(yīng)用(6)

6、說明說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全 微分存在，微分存在，定定理理（充充分分條條件件）如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xz 、yz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx連連續(xù)續(xù)，則則該該函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx可可微微分分證證),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf 全微分及其應(yīng)用(6),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）且且當(dāng)當(dāng)0

7、, 0 yx時(shí)時(shí)，01 .其其中中1 為為yx ,的的函函數(shù)數(shù),全微分及其應(yīng)用(6)xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處可可微微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)時(shí)，02 ,全微分及其應(yīng)用(6)習(xí)慣上，記全微分為習(xí)慣上，記全微分為.dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微

8、分符合偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況全微分及其應(yīng)用(6)例例 1 1 計(jì)計(jì)算算函函數(shù)數(shù)xyez 在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 2(處處的的全全微微分分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分全微分及其應(yīng)用(6)例例 2 2 求函數(shù)求函數(shù))2cos(yxyz ，當(dāng)，當(dāng)4 x， y，4 dx， dy時(shí)的全微分時(shí)的全微分.解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).

9、74(82 全微分及其應(yīng)用(6)例例 3 3 計(jì)計(jì)算算函函數(shù)數(shù)yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 全微分及其應(yīng)用(6)例例 4 4 試證函數(shù)試證函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn))0 , 0(不連續(xù)，而不連續(xù)，而f在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(可微可微.思思路路：按按有有關(guān)關(guān)定定義義討討論論；對(duì)對(duì)于于偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)需需分分 )

10、0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx討討論論.全微分及其應(yīng)用(6)證證令令,cos x,sin y則則22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故故函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(連連續(xù)續(xù), )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf全微分及其應(yīng)用(6)當(dāng)當(dāng))0 , 0(),( yx時(shí)時(shí)， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)),(yxP沿沿直直線線xy 趨趨于于)0 , 0(時(shí)時(shí),),(lim)0

11、,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.全微分及其應(yīng)用(6)所所以以),(yxfx在在)0 , 0(不不連連續(xù)續(xù).同理可證同理可證),(yxfy在在)0 , 0(不連續(xù)不連續(xù).)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(可微可微. 0)0,0( df全微分及其應(yīng)用(6)多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)全微分及其應(yīng)用(6)全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用都

12、較小時(shí)，有近似等式都較小時(shí)，有近似等式連續(xù)，且連續(xù)，且個(gè)偏導(dǎo)數(shù)個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的兩的兩在點(diǎn)在點(diǎn)當(dāng)二元函數(shù)當(dāng)二元函數(shù)yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可寫成也可寫成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 全微分及其應(yīng)用(6)例例 5 5 計(jì)算計(jì)算02. 2)04. 1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由

13、公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 全微分及其應(yīng)用(6)、多元函數(shù)全微分的概念；、多元函數(shù)全微分的概念；、多元函數(shù)全微分的求法；、多元函數(shù)全微分的求法；、多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系、多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）三、小結(jié)三、小結(jié)全微分及其應(yīng)用(6) 函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處可微的充分條件是處可微的充分條件是:（1）),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處連續(xù)；處連續(xù)；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的的 某鄰域存在；某鄰域存在；（3）yyxfxy

14、xfzyx ),(),(， 當(dāng)當(dāng)0)()(22 yx時(shí)是無窮小量；時(shí)是無窮小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx , 當(dāng)當(dāng)0)()(22 yx時(shí)是無窮小量時(shí)是無窮小量.思考題思考題全微分及其應(yīng)用(6)一、一、 填空題填空題: :1 1、 設(shè)設(shè)xyez , ,則則 xz_； yz_； dz_._.2 2、 若若)ln(222zyxu , ,則則 du_._.3 3、 若函數(shù)若函數(shù)xyz , ,當(dāng)當(dāng)1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0 yx時(shí)時(shí), ,函數(shù)的全增量函數(shù)的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._.4 4、 若 函 數(shù)若 函 數(shù)yxxyz , , 則則x

15、z對(duì)對(duì)的 偏 增 量的 偏 增 量 zx_;_; xzxx0lim _. _.練練 習(xí)習(xí) 題題全微分及其應(yīng)用(6)二、二、 求函數(shù)求函數(shù))1ln(22yxz 當(dāng)當(dāng), 1 x 2 y時(shí)的全微分時(shí)的全微分. .三、三、 計(jì)算計(jì)算33)97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. .四、四、 設(shè)有一無蓋園柱形容器設(shè)有一無蓋園柱形容器, ,容器的壁與底的厚度均為容器的壁與底的厚度均為cm1 . 0，內(nèi)高為，內(nèi)高為cm20, ,內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為cm4, ,求容器外殼體求容器外殼體積的近似值積的近似值. .五、五、 測(cè)得一塊三角形土地的兩邊邊長(zhǎng)分別為測(cè)得一塊三角形土地的兩邊邊長(zhǎng)分別為m1 . 063 和

16、和m1 . 078 , ,這兩邊的夾角為這兩邊的夾角為0160 . .試求三角形面積試求三角形面積的近似值的近似值, ,并求其絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差并求其絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差. .六六、利利用用全全微微分分證證明明: :乘乘積積的的相相對(duì)對(duì)誤誤差差等等于于各各因因子子的的相相對(duì)對(duì)誤誤差差之之和和; ;商商的的相相對(duì)對(duì)誤誤差差等等于于被被除除數(shù)數(shù)及及除除數(shù)數(shù)的的相相對(duì)對(duì)誤誤差差之之和和. .全微分及其應(yīng)用(6)七、求函數(shù)七、求函數(shù) ),(yxf 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù), ,并研究在點(diǎn)并研究在點(diǎn))0 , 0(處偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性及處偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性及 函數(shù)函數(shù)),(yxf的可微性的可微性. .全微分及其應(yīng)用(6)一、一、1 1、)(1,