不等式的性質(zhì)及解法

1、不等式的性質(zhì)及解法知識要點：不等式與等式有許多不同，主要包括：1、等式兩邊同乘（或除）以一個數(shù)（或式），等式仍然成立；不等式兩邊同乘（或除）以一個數(shù)（或式），不等式能否成立，要考慮該數(shù)（式）的符號，即2、解方程時允許出現(xiàn)不等價轉(zhuǎn)化，出現(xiàn)增根時以驗根彌補；解不等式要求必須是等價轉(zhuǎn)化。3、解方程組時，方程組中的方程之間允許進行加、減等運算，以達到消元目的；解不等式組時，不等式組中的不等式之間只能獨立求解，再求交集。不等式的性質(zhì)可分為：1）、公理這也是將不等式問題比較兩個實數(shù)a、b的大小，轉(zhuǎn)化為恒等變形問題的依據(jù)。2）、基本性質(zhì)：（1）對稱性這個性質(zhì)等式中也存在，即，對稱性說明了每一個已知的不等式都

2、有兩種形式，如：這個基本不等式本身就有及兩種形式，要能靈活運用。當然若進行等價轉(zhuǎn)化還會有許多變式。 （2）傳遞性這個性質(zhì)是媒介法比較兩個實數(shù)大小的依據(jù)，是放縮法證明不等式的依據(jù)。 （3）移項法則如：，相當于在這個不等式兩邊同時加上3得到的。3、運算性質(zhì)：（1）加法運算：（2）減法運算：統(tǒng)一成加法運算（3）乘法運算：（4）除法運算：統(tǒng)一成乘法運算（由在（0，+）上是減函數(shù)，）（5）乘方運算：（6）開方運算：4、函數(shù)的單調(diào)性：（1） （）（2） （）諸如此類：上是減函數(shù))已知冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性可做為不等式的性質(zhì)運用。我們知道，求不等式的解集叫做解不等式，如果兩個不等式的解集相

3、等，那么這兩個不等式就叫做同解不等式。一個不等式變形為另一個不等式時，如果這兩個不等式是同解不等式那么這種變形叫做不等式的同解變形。解不等式的每一步都要求是同解變形。一元一次不等式（組）和一元二次不等式的解法，是解其它各種不等式（組）的基礎。高次不等式、分式不等、無理不等式、指數(shù)對數(shù)不等式的解法都是通過等價轉(zhuǎn)化為一元一次不等式（組）和一元二次不等式后求解。在解不等式的過程中，要注意保持字母的允許值范圍不發(fā)生變化。為此，要注意不等式兩邊同乘以一個數(shù)或式對不等式所產(chǎn)生的影響，要注意不等式兩邊同次乘方、開方或取對數(shù)等運算的可行性。在解不等式或不等式組的過程中，要熟練掌握集合的交、并運算；要充分運用數(shù)

4、軸與圖象的直觀，找全輔助不等式，把每一個解不等式問題等價轉(zhuǎn)化為解不等式組問題。方程與函數(shù)的思想、分類與歸納的思想、等價轉(zhuǎn)化的思想及數(shù)形結(jié)合的思想在解不等式問題中都有著廣泛的應用。解不等式的方法有：圖象法一元二次不等式、高次不等式、三角不等式等；轉(zhuǎn)化法分式不等式、無理不等式、指數(shù)對數(shù)不等式等。1、一元二次不等式的解法解一元二次不等式與一元二次方程及二次函數(shù)有密切聯(lián)系求根、畫圖象、寫解集例1：解關于x的不等式其中解：由一元二次方程的根為知（1）當，即時二次函數(shù)的草圖為：故原不等式的解為 （2）即時二次函數(shù)的草圖為：故原不等式的解為（）（3），即a=1時二次函數(shù)的草圖為：故原不等式的解為綜上，當時原

5、不等式的解集為；當時原不等式解集為；當時原不等式解集為。例2：已知關于x的不等式的解集是。求關于x的不等式的解集。解：此題是對一元二次不等式的解進行講行討論知解集求原不等式中待定常數(shù)的值。的解集是y=的草圖應為： 故：不等式可化為 解得其解集為2、高次不等式的解法解高次不等式的方法是圖象法，具體步驟是求根、畫圖象、寫解集。例：解不等式 解：方程可化為知其根為故函數(shù)的草圖為：因此，原不等式的解集為3、分式不等式的解法解分式不等式的方法是轉(zhuǎn)化法，具體步驟是移項、通分、轉(zhuǎn)化。首先將不等式經(jīng)過同解變形，化成或（）的形式，然后再利用同種變形：或例：解不等式解：移項，通分得轉(zhuǎn)化為解得，所求不等式的解集為說明：高次不等式中對重根的處理分奇次重根、偶次重根兩種。如或時不等式成立（若為大于零，則時不等式不成立）。4、無理不等式的解法解無理不等式的方法是通過乘方討論的方法將其轉(zhuǎn)化。 5、指數(shù)不等式和對數(shù)不等式的解法解指對數(shù)不等式的方法是通過函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（組）求解。時， 注意分類與歸納思想的正確