狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷

1、東 北 大 學(xué)研 究 生 考 試 試 卷評(píng)分考試科目： 狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷 課程編號(hào)： y09581053 閱 卷 人： 李常友 考試日期： 2013.5.29 姓 名： 于海洋 學(xué) 號(hào)： 1270208 注 意 事 項(xiàng)1考 前 研 究 生 將 上 述 項(xiàng) 目 填 寫 清 楚2字 跡 要 清 楚，保 持 卷 面 清 潔3交 卷 時(shí) 請(qǐng) 將 本 試 卷 和 題 簽 一 起 上 交東北大學(xué)研究生院淺析小波函數(shù)在圖像降噪中的應(yīng)用摘要：隨著信息時(shí)代的快速發(fā)展，人們對(duì)數(shù)字圖像的質(zhì)量要求越來(lái)越高。但是數(shù)字圖像在采集和傳輸過(guò)程中，圖像經(jīng)常受到各種噪聲影響，所以要對(duì)圖像進(jìn)行處理。隨著小波理論的不斷完善，小波在

2、圖像降噪中也得到了廣泛的應(yīng)用，因此圖像降噪具有很強(qiáng)的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。小波域降噪是根據(jù)信號(hào)和噪聲在小波變換下表現(xiàn)的方式不同，構(gòu)造出相應(yīng)的規(guī)則，把噪聲產(chǎn)生的系數(shù)減小以至完全濾除，同時(shí)最大限度的保留有效信號(hào)。小波閾值收縮圖像降噪算法能有效地減少圖像中的噪聲，同時(shí)還能較好地保留圖像的邊緣和紋理信息。關(guān)鍵詞：圖像降噪；小波變換；小波函數(shù)；小波閾值A(chǔ)bstract：With the increasing popularity of computer in the information age, the quality desire of digital images becomes more and

3、 more strict. But digital image is usually corrupted by the various noise in its acquisition or transmission. So the noise needs to be reduced in the image processing. Recently, with the improvement of wavelet theory, wavelet transform in image denoising has been widely used, meanwhile, the image de

4、noising has a strong theoretical significance and applied value. Wavelet shrinkage is a method that creating certain regulation according to the different representation of signal and noise in wavelet domain and processing the wavelet coefficients. The essential lies in shrinking or deleting the coe

5、fficients raised from noise and reserve those raised from signal. Wavelet threshold shrinkage image noise reduction algorithm can effectively reduce the noise in the image, while better preserving image edges and texture information. Key word: Image denoising；Wavelet Transform；Wavelet Function；Wavel

6、et thresholding數(shù)字圖像隨著數(shù)字技術(shù)的發(fā)展，在人類生活和活動(dòng)中開始扮演越來(lái)越重要的角色，例如衛(wèi)星電視、X射線透視、天文觀測(cè)、地理信息系統(tǒng)的開發(fā)等領(lǐng)域都要用到數(shù)字圖像。然而圖像傳感器所采集到的圖像數(shù)據(jù)經(jīng)常會(huì)被噪聲污染，所以常要先對(duì)圖像進(jìn)行降噪處理，再對(duì)圖像做進(jìn)一步處理（如三維重建、模式識(shí)別、紋理分析等）。1. 緒論圖像降噪在圖像處理領(lǐng)域已研究了數(shù)十年的時(shí)間，是圖像處理中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題。一般圖像降噪技術(shù)可分為兩大類：空間域降噪和變換域降噪?？臻g域降噪指圖像平面本身，這類方法直接對(duì)圖像的像素進(jìn)行處理。變換域降噪法是指將圖像進(jìn)行變換，在變換域中對(duì)圖像的變換域進(jìn)行處理，處理完畢后再進(jìn)行逆變

7、換，獲得降噪后的圖像。目前使用最多的變換方法就是傅里葉變換和小波變換。1.1空間域圖像降噪在待處理圖像中空域?yàn)V波逐點(diǎn)地利用掩模進(jìn)行點(diǎn)點(diǎn)直接處理。設(shè)在點(diǎn)處的圖像為，通過(guò)事先定義的關(guān)系來(lái)計(jì)算濾波器在該點(diǎn)的響應(yīng)。線性空間濾波，其響應(yīng)由濾波器系數(shù)與濾波掩模掃過(guò)區(qū)域的相應(yīng)像素的數(shù)值的乘積之和給出。如，在的圖像上，用大小的濾波器掩模進(jìn)行線性濾波的公式為： （1-1）式中，為線性濾波器。非線性空間濾波利用掩模處理一幅圖像的原理和空間濾波線性處理是一樣的，都是基于鄰域處理。一般說(shuō)來(lái)，空間濾波處理不能直接使用某種乘積求和的方式，而是取決于所考慮的鄰域像素點(diǎn)的值來(lái)處理的，并且利用非線性濾波器可以有效地降低噪聲。最

8、簡(jiǎn)單的空間域圖像降噪法是均值濾波器1 Vaseghi S V. Advanced signal processing and noise reduction, second editionM. John Wiley & Sons Inc, 2000.1，它對(duì)一些圖像進(jìn)行線性濾波可去除圖像中某些類型的噪聲，記觀測(cè)的含噪聲的圖像為： （1-2）式中，x為原始圖像；n為噪聲；i表示像素位置。則均值濾波器的輸出為 （1-3）式中，為以i為中心的局部領(lǐng)域窗口；M為窗口中的像素總數(shù)。均值濾波器把圖像中不連續(xù)的階躍變化平滑成緩慢變化，這使得圖像變得模糊，這樣在空間域降噪的同時(shí)，也濾除了圖像的細(xì)節(jié)信息。由于均

9、值濾波器的這一缺點(diǎn)，很多的研究學(xué)者不斷地提出改進(jìn)的均值濾波方法，例如 ：雙邊帶濾波法（Bilateral Filtering）2 Tomasi C, Manduchi R. Bilateral filtering for gray and color images. Proceeding of the Sixth International Conference on Computer VisionJ. Bombay, India, 1988: 839-846.2雙邊帶濾波法自適應(yīng)于圖像的局部形狀調(diào)整均值系數(shù)的權(quán)重；非局部平均濾波法3 Buades A，Coll B，Morel J M. A

10、review of image denoising algorithms, with a new oneJ. Multiscale Modeling & Simulation, 2005, 4(2): 490-530.3是近期提出的一種改進(jìn)的均值濾波法，與均值濾波法不同的是，非局部平均濾波法不是在一個(gè)局部鄰域窗口中計(jì)算均值，而是在整幅圖像中計(jì)算均值，因此稱為非局部平均濾波法；基于偏微分方程（PDE）的圖像降噪也是空域?yàn)V波很重要的方法4 熊保平,杜明.基于PDE圖像去噪方法J, 2007, 27(8): 2025-2029.4，這些基于PDE的空域?yàn)V波方法對(duì)高斯白噪聲降噪效果一般,但是對(duì)于脈沖噪

11、聲有很強(qiáng)的抑制能力。1.2頻域圖像降噪傅里葉變換的降噪法是頻域降噪法的基本思想。圖1-1是頻域圖像降噪的一般過(guò)程。圖1-1 頻域圖像降噪的一般過(guò)程通常情況下，圖像的邊緣及噪聲都對(duì)應(yīng)于幅度譜的高頻段，而圖像的能量大部分集中在幅度譜的低頻和中頻段。為了更好的實(shí)現(xiàn)圖像平滑和降噪，可以通過(guò)對(duì)頻域范圍內(nèi)的高頻分量進(jìn)行衰減。頻域?yàn)V波可用下述關(guān)系式表示： （1-4）式中，是加噪后圖像的傅立葉變換。通過(guò)函數(shù)使的高頻分量衰減，輸出。是經(jīng)過(guò)傅立葉反變換后則可得到的平滑圖像。因?yàn)轭l域?yàn)V波把低頻信息全部保留下來(lái)，而濾掉了高頻分量，所以稱為低通濾波，函數(shù)即為低通濾波器的傳遞函數(shù)。常用的幾種頻域低通濾波器有：維納濾波器、

12、理想低通濾波器、巴特沃斯低通濾波器、指數(shù)低通濾波器等。低通濾波器是最簡(jiǎn)單的頻域?yàn)V波器。低通濾波器通過(guò)降低高頻成分的幅度來(lái)減弱噪聲的影響。頻域的維納濾波器是一種最小均方誤差濾波器，它的表達(dá)式如下： （1-5）式中，為降噪后圖像的傅里葉變換； 為不含噪聲圖像的功率譜；為零均值高斯白噪聲的方差；為含噪聲圖像的傅里葉變換。因?yàn)閳D像是非平穩(wěn)信號(hào)，對(duì)于估計(jì)圖像的功率譜會(huì)比較困難，這樣限制了維納濾波器的應(yīng)用，后文介紹了小波域上的維納濾波器，是小波收縮閾值與維納濾波器的結(jié)合，取得了較好的降噪效果。在實(shí)際中，圖像不可能是平穩(wěn)信號(hào)，而且圖像中經(jīng)常包含大量不連續(xù)的突變部分，但是基于傅里葉變換的降噪法要求圖像是平穩(wěn)信

13、號(hào)，這與實(shí)際圖像不相符合，因此應(yīng)用傅里葉變換的降噪效果一般不能使人滿意。然而，頻域?yàn)V波最近又開始受到關(guān)注。是因?yàn)榫植扛道锶~變換能夠克服這個(gè)缺陷。例如，F(xiàn)oi提出一種逐點(diǎn)自適應(yīng)離散余弦降噪法5 Foi A, Katkovnik V, Egiazarian K. Pointwise shape-adaptive DCT for high-quality denoising and deblocking of grayscale and color ImageJ. IEEE Trans. Image Processing, 2006, 16(5): 1395-1411.5。這種方法首先是在每一點(diǎn)尋找

14、一個(gè)局部區(qū)域，然后對(duì)這一區(qū)域進(jìn)行自適應(yīng)離散余弦變換，再用閾值降噪法降噪，這樣會(huì)取得較好的降噪效果。傳統(tǒng)的圖像降噪法僅具有空域或頻域的局部分析能力，在抑制圖像噪聲的同時(shí)，難免損壞圖像的邊緣細(xì)節(jié)信息，同時(shí)也去除了圖像的部分邊緣信息，而人眼對(duì)圖像的邊緣很敏感，不僅使降噪后的圖像變得模糊而且也降低了降噪圖像的主觀質(zhì)量。而且傳統(tǒng)的降噪方法是將被噪聲干擾的信號(hào)通過(guò)一個(gè)濾波器，濾掉噪聲頻率成分，但對(duì)于脈沖信號(hào)、白噪聲、非平穩(wěn)過(guò)程信號(hào)等，傳統(tǒng)方法存在一定的局限性。對(duì)這些信號(hào)，在低信噪比情況下，經(jīng)過(guò)濾波器處理后，不僅信噪比得不到較大的改善，而且信號(hào)的邊緣信息也被模糊掉了。最近幾年來(lái)，由于小波變換理論具備良好的時(shí)

15、頻局部化能力和多分辨率分析能力得到了較廣泛的應(yīng)用，同樣，在圖像降噪的領(lǐng)域中，小波變換在空域和頻域同時(shí)具有良好的局部化的特點(diǎn)，在濾除噪聲的同時(shí)能夠較好地保留圖像的細(xì)節(jié)信息，提高圖像的質(zhì)量。所以，小波變換技術(shù)在圖像降噪中得到了廣泛的研究并獲得了較好的應(yīng)用效果，已成為圖像降噪的主要方法之一。1.3基于小波變換的圖像降噪小波降噪的問(wèn)題在數(shù)學(xué)就是一個(gè)函數(shù)的逼近問(wèn)題，本質(zhì)上便是在小波函數(shù)空間中，這個(gè)空間是由小波母函數(shù)伸縮和平移所展成的空間，如何根據(jù)提出的衡量準(zhǔn)則，尋找對(duì)原始信號(hào)的最佳逼近，以完成原始信號(hào)和噪聲信號(hào)的區(qū)分。因此可見，小波降噪也就是為了得到原始信號(hào)的最佳恢復(fù)，尋找從實(shí)際信號(hào)空間到小波函數(shù)空間的

16、最佳映射。從信號(hào)學(xué)的角度來(lái)看，小波降噪就是一個(gè)信號(hào)濾波的問(wèn)題，雖然在很大程度上可以把小波降噪看作是低通濾波，但是因?yàn)榻翟牒螅〔ń翟脒€能成功地保留圖像特征，不會(huì)模糊圖像的邊緣信息，所以在這一點(diǎn)上比傳統(tǒng)的低通濾波器要有更好的降噪效果。因此可以看出，小波降噪實(shí)際上就是低通濾波器和特征提取的結(jié)合，其流程圖可表示為如圖1-2所示。圖1-2小波降噪示意圖一開始，人們?yōu)榱司徑獾屯V波產(chǎn)生的邊緣模糊，通過(guò)對(duì)邊緣進(jìn)行一些處理。雖然在這一點(diǎn)上與小波降噪相似，但小波變換是因?yàn)槠涠喾直媛实奶匦?，才能很好地保留邊緣。原因是圖像在小波變換后，圖像在特征處的小波系數(shù)幅值較大6 Donoho D L, Johnstone

17、IM. Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkageJ. In：Biometrika, 1944, 81: 425-455.6，且在相鄰尺度層間具有很強(qiáng)的相關(guān)性7 Pan Quan, Zhang Pan, Dai Guanzhong et al, Two denoising methods by wavelet transformJ. In: IEEE Trans. Signal Processing, 1999,47(12): 3401-3406.7，這樣便于圖像信號(hào)的特征提取和保護(hù)。小波降噪相對(duì)于早期的研究方法而言，對(duì)于邊緣等特征的提取和保護(hù)

18、，小波降噪是有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)理論背景，并更有利于系統(tǒng)的理論分析。2. 小波分析的基本理論小波分析是當(dāng)前應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，是分析和處理非平穩(wěn)信號(hào)的一種有力工具，經(jīng)過(guò)大量學(xué)者不斷探索研究，它是以局部化函數(shù)所形成的小波基作為基底而展開的，小波分析在保留傅里葉分析優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，具有許多特殊的性能和優(yōu)點(diǎn)，而小波分析則是一種更合理的時(shí)頻表示和子帶多分辨分析方法。所以理論基礎(chǔ)漸已扎實(shí)，理論體系逐步完善，在工程領(lǐng)域已得到廣泛應(yīng)用。2.1連續(xù)小波變換定義2.1 小波函數(shù)的定義8 劉濤, 曾祥利, 曾軍.實(shí)用小波分析入門M.北京: 國(guó)防工業(yè)出版社, 2006.8：設(shè)為一平方可積函數(shù)，也即，若其

19、傅里葉變換滿足條件： （2-1）則稱是一個(gè)基本小波或小波母函數(shù)（Mother Wavelet），并稱上式為小波函數(shù)的容許性條件。由定義2.1可知，小波函數(shù)具有兩個(gè)特點(diǎn)：1）小：它們?cè)跁r(shí)域都具有緊支集或近似緊支集。由定義的條件知道任何滿足可容許性條件的空間的函數(shù)都可以作為小波母函數(shù)（包括實(shí)數(shù)函數(shù)或復(fù)數(shù)函數(shù)、緊支集或非緊支集函數(shù)等）。但是在一般的情況下，常常選取緊支集或近似緊支集的同時(shí)具有時(shí)域和頻域的局部性實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)函數(shù)作為小波母函數(shù)，讓小波母函數(shù)在時(shí)域和頻域都具有較好的局部特性，這樣可以更好的完成實(shí)驗(yàn)。2）波動(dòng)性：若設(shè)在點(diǎn)連續(xù)，則由容許性條件得： （2-2）也即直流分量為零，同時(shí)也就說(shuō)明必是具有

20、正負(fù)交替的波動(dòng)性，這也是其稱為小波的原因。定義2.2 連續(xù)小波基函數(shù)的定義9：將小波母函數(shù)進(jìn)行伸縮和平移，設(shè)其收縮因子（即尺度因子）為a，平移因子為b，使其平移伸縮后的函數(shù)為，則有， a0, （2-3）稱為依賴于參數(shù)a，b的小波基函數(shù)。由于伸縮因子a，平移因子b都是取連續(xù)變化的值，因此又稱為連續(xù)小波基函數(shù)。它們是一組函數(shù)系列，這組函數(shù)系列是由同一母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得到的。定義2.39 梁學(xué)章, 何甲興, 王新民, 李強(qiáng).小波分析M.北京: 國(guó)防工業(yè)出版社, 2005. 若，函數(shù)在小波基下進(jìn)行展開，則的連續(xù)小波變換（CWT）定義為： （2-4）由定義2.3可知，小波基具有收縮因子a和平移因子b

21、，若將函數(shù)在小波基下展開，就是把一個(gè)時(shí)間函數(shù)投影到二維的時(shí)間-尺度相平面上，把一個(gè)一維函數(shù)變換為一個(gè)二維函數(shù)，即連續(xù)小波變換是在函數(shù)上的“投影”。小波函數(shù)若滿足容許性條件(2-1)，則存在其逆變換。由小波變換的系數(shù)可以重構(gòu)信號(hào)，其重構(gòu)公式為： （2-5）定理2.111 連續(xù)小波變換是一種線性變換，具有如下性質(zhì)：（1） 疊加性：設(shè)，則： （2-6）（2） 時(shí)移不變性：設(shè)，則： （2-7）（3） 尺度變換：設(shè)，則： （2-8）該性質(zhì)說(shuō)明，信號(hào)在連續(xù)小波變換的尺度a和位移b上做拉伸時(shí)，其信號(hào)也在時(shí)域拉伸，且能保持拉伸前后的形狀不變。（4） 內(nèi)積定理：對(duì)于，則有，并且對(duì)，會(huì)有： （2-9）（5） 能量

22、關(guān)系：當(dāng)內(nèi)積定理中的信號(hào)時(shí)，內(nèi)積定理變?yōu)椋?（2-10）同時(shí)稱式（2-10）為能量關(guān)系。性質(zhì)（4）和性質(zhì)（5）表明，信號(hào)的變換域內(nèi)積和時(shí)域內(nèi)積之間保持著一定的聯(lián)系，小波變換系數(shù)的幅度平方在尺度位移平面內(nèi)的積分實(shí)際上是在尺度位移域內(nèi)能量的積累，它與原始信號(hào)的能量成正比。2.2離散小波變換由前文定義的連續(xù)小波基函數(shù)： （2-11）式中，滿足容許性條件，并且伸縮因子a,平移因子b是連續(xù)變化的。由于連續(xù)小波變換系數(shù)的信息量是冗余的，雖然在有些情況下，連續(xù)小波變換的冗余性是有益的（例如在圖像降噪，進(jìn)行數(shù)據(jù)恢復(fù)及特征提取時(shí)，連續(xù)小波變換以犧牲計(jì)算量、存儲(chǔ)量為代價(jià)來(lái)獲得更好的結(jié)果），但是許多情況下，需要考慮

23、的是在數(shù)字處理中壓縮數(shù)據(jù)和節(jié)約計(jì)算量，這樣便希望可以再不丟失原信號(hào)的情況下，盡量減小小波變換的冗余度，為了解決這一問(wèn)題，提出了將其離散化，最大程度地消除或降低冗余性，這才適合數(shù)字計(jì)算機(jī)處理。離散小波變換10 鄭治真, 沈萍, 楊選輝, 萬(wàn)玉莉.小波變換及其MATLAB工具的應(yīng)用M.北京: 地震出版社, 2001.2是相對(duì)于連續(xù)小波變換的變換方法，本質(zhì)上是對(duì)收縮因子a和平移因子b分別進(jìn)行離散化處理。（1）收縮因子離散化：將收縮因子按冪級(jí)數(shù)進(jìn)行離散化，即取，這時(shí)離散后的函數(shù)變?yōu)椋?）平移因子離散化：在尺度j下，平移因子均勻離散化，即使平移量b以作為采樣間隔量，其中是j=0時(shí)的均勻采樣間隔量。因而離

24、散后的函數(shù)變?yōu)樵趯?shí)際運(yùn)用中，我們通常取=2，=1，這時(shí)變?yōu)?，這時(shí)記，稱為為離散小波。定義2.411若，則的離散小波變換定義為： （2-12）其相應(yīng)的逆變換為： （2-13）上文表述的對(duì)連續(xù)小波進(jìn)行離散化時(shí)，若取離散的柵格，即相當(dāng)于只將伸縮參數(shù)a進(jìn)行二進(jìn)制離散，而平移參數(shù)b仍取連續(xù)變換，則得到的離散小波稱為二進(jìn)小波。定義2.511 石智. 小波理論M. 西安: 西安建筑科技大學(xué), 2007.3函數(shù)，若存在二常數(shù)，使得 （2-14）那么稱為二進(jìn)小波。其時(shí)域表示為：函數(shù)在的二進(jìn)小波變換定義為： （2-15）其相應(yīng)的逆變換為： （2-16）二進(jìn)小波是介于連續(xù)小波和離散小波之間的一種“半離散”化小波，它

25、只是對(duì)伸縮參數(shù)進(jìn)行了離散化，而在時(shí)間域上的平移參數(shù)仍保持連續(xù)變化，因此二進(jìn)小波變換仍具有連續(xù)小波變換的時(shí)移共變性，這是它與離散小波相比，所具有的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)。正因?yàn)槿绱?，它在奇異性檢測(cè)、圖像處理等方面十分有用。2.3圖像小波變換小波變換應(yīng)用于圖像處理中，首先因?yàn)閳D像是二維信號(hào)，則需要將多分辨率分析擴(kuò)展到二維信號(hào)，所以一開始把小波分解從一維推廣到二維。對(duì)于二維正交小波，我們常用的是正方形二維正交小波基12 徐昌發(fā), 李國(guó)寬. 實(shí)用小波方法M.武漢: 華中科技大學(xué)出版社, 2004.3。根據(jù)一維空間尺度的定義，我們定義j尺度下的二維尺度空間為：，式中，符號(hào)表示空間相乘，則一定是的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且有：其中

26、，分別稱為二維小波空間。從上式中不難看出，的標(biāo)準(zhǔn)正交基一定是，的標(biāo)準(zhǔn)正交基一定是，的標(biāo)準(zhǔn)正交基一定是。所以在空間中任一個(gè)函數(shù)，在正方形二維正交小波基下的展開公式為：式中，小波二維空間，的小波展開系數(shù)分別為，。尺度空間的尺度展開系數(shù)是。正方形二維正交小波變換的快速算法與一維是相似的。其快速分解公式為：其快速重構(gòu)公式為：把圖像進(jìn)行多分辨率分解是小波變換用于圖像降噪的基本思想，則把圖像分解成不同空間、不同頻率的子圖像。圖像在經(jīng)過(guò)小波變換后被分割成四個(gè)頻帶：水平、垂直、對(duì)角線和低頻，而低頻部分還可以進(jìn)一步分解。就對(duì)于一幅圖像來(lái)說(shuō)，小波變換構(gòu)成了對(duì)它的多尺度時(shí)頻的分解。圖2-1是正交小波分解的圖形。如圖

27、所示，LL3是最低頻段濾波后的低尺度逼近，則LL頻帶保留了圖像的原始信息，這些頻帶是圖像的近似表示，因此圖像的能量集中于此頻帶。在同級(jí)的分辨率下，HL3包含了垂直方向低通、水平方向高通濾波后所保留的低頻信息，所以HL頻帶反映了圖像水平方向的變化和邊緣信息；同樣的，LH3保留的是水平方向低通、垂直方向高通濾波后所得的細(xì)節(jié)信息，所以LH頻帶反映了圖像垂直方向上的變化和邊緣信息； HH3包含的是水平和垂直方向都經(jīng)過(guò)高通濾波后的細(xì)節(jié)信息，則HH頻帶反映了水平和垂直方向上圖像的綜合變化的情況，同時(shí)還包含了少量的邊緣信息。圖2-1 正交小波分解圖原圖像的數(shù)據(jù)總量和圖像經(jīng)過(guò)小波變換后生成的小波圖像的數(shù)據(jù)總量

28、是相等的，不同的是原始圖像與生成的小波圖像的特性，經(jīng)小波變換后的圖像，水平、垂直和對(duì)角線部分的能量較少，而圖像的能量主要集中于中低頻部分；在原始圖像中，水平、垂直和對(duì)角線部分表明了圖像在水平、垂直和對(duì)角線部分的邊緣信息，并且有很明顯的方向特點(diǎn)，可以把水平、垂直和對(duì)角線部分可稱作細(xì)節(jié)圖像，而把低頻部分稱作亮度圖像。3.小波閾值收縮降噪法一般說(shuō)來(lái)，圖像中總是會(huì)混雜著一定的噪聲干擾，而這些噪聲嚴(yán)重影響圖像的質(zhì)量，不利于進(jìn)一步對(duì)圖像分析和通信。很多空間域和頻域的降噪方法的基本思想都是認(rèn)為信號(hào)主要是分布在低頻部分或低尺度的部分，而在高頻部分或高尺度部分噪聲占了信號(hào)的主要部分。雖然能在一定程度上能消除一部

29、分噪聲，但是在降噪的同時(shí)也丟失了許多圖像的高頻信息和邊緣信息。可是有些信號(hào)如音符信號(hào)這些含有豐富邊緣的信號(hào)，信號(hào)在降噪中丟失會(huì)很嚴(yán)重。非線性小波變換的方法在最小均方誤差意義下可達(dá)近似最優(yōu)，并且取得了較好的視覺效果，因而得到了深入廣泛的研究和應(yīng)用。同時(shí)先了解一下圖像降噪質(zhì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。3.1小波收縮函數(shù)的選取在小波閾值收縮降噪法中，閾值濾波函數(shù)分為兩大類：硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。硬閾值函數(shù)濾波的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下： （3-1）式中：x為含噪聲信號(hào)的小波變換系數(shù)；T為閾值；為硬閾值濾波的收縮函數(shù)，它的函數(shù)圖如圖3-1（a）所示。硬閾值函數(shù)濾波是將幅值小于閾值的小波系數(shù)去除置為零，而把幅值大于閾值的系數(shù)

30、原封不動(dòng)地保留下來(lái)。軟閾值函數(shù)濾波的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下： （3-2）式中：表示x的符號(hào)；為軟閾值函數(shù)濾波的收縮函數(shù)；它的函數(shù)圖如圖3-1（b）所示。軟閾值濾波同樣是將幅值小于閾值的小波系數(shù)置為零，但是不同于硬閾值濾波的是，軟閾值濾波是把大于閾值的小波系數(shù)進(jìn)行收縮后保留下來(lái)。 （a）硬閾值濾波函數(shù)的收縮函數(shù)；（b）軟閾值濾波函數(shù)的收縮函數(shù)圖3-1閾值濾波函數(shù)圖硬閾值和軟閾值濾波函數(shù)是最常見兩種收縮規(guī)則，但是它們都有各自的缺點(diǎn)。硬閾值濾波是把絕對(duì)值小于閾值的小波系數(shù)變成零，而將絕對(duì)值大于閾值的小波系數(shù)直接保留。雖然這樣會(huì)有較好的降噪效果，但是因?yàn)楸Ａ舻暮瘮?shù)是不連續(xù)的，使后期的數(shù)學(xué)處理變復(fù)雜，而且這種含

31、有豐富邊緣的圖像會(huì)產(chǎn)生許多“人為的”噪聲點(diǎn)。同時(shí)由于硬閾值濾波中小波系數(shù)的估計(jì)是無(wú)偏的，但是濾波后容易在信號(hào)的突變處產(chǎn)生較大的振蕩。軟閾值濾波是在把大于閾值的小波系數(shù)收縮后保留下來(lái)，這使軟閾值函數(shù)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，它克服了硬閾值濾波中數(shù)學(xué)上不易處理和含有豐富邊緣圖像中會(huì)產(chǎn)生許多“人為的”嗓聲這兩個(gè)缺點(diǎn)。但是這種濾波算法減小了絕對(duì)值大的小波系數(shù)，造成高頻信息的損失，這樣模糊了圖像的邊緣，濾波后的信號(hào)過(guò)于平滑。因此，人們就以上的兩種方法作了一些改進(jìn)，提出了一些折中的方案：半軟閾值函數(shù)(Semi-soft-thresholding function)13 Hong Ye Gao，Andrew Bruc

32、e. Waveshrink with firm shrinkageM. In: Tech. Rep, Research Report 39, Satistical Science Division. MathSoft, Inc, 1966.附錄：一維信號(hào)硬閾值與軟閾值的matlab程序1：t=0:0.01:1;f=5;x=square(2*pi*f*t);addnoise=0.8*randn(size(t)y= x + addnoise;for i=1:101if (y(i)0)y2(i)=-1;elsey2(i)=1;endendthresh1=0.5;thresh2=-0.5;flag1=

33、1;flag2=0;for i=1:101;if flag1=1if y(i)thresh1y3(i)=1;flag1=1;falg2=0;elsey3(i)=-1;endendendtlength=length(t);PowerS=sum(x).2)/tlength;PowerGuassianN=sum(addnoise).2)/tlength;PowerNoise1=sum(y2-x).2)/tlength;PowerNoise2=sum(y3-x).2)/tlength;figure;plot(t,y,t,y2,t,0);figure;plot(t,y,t,y3,t,thresh1,t,

34、thresh2);SNR1=10*log(PowerS/PowerNoise1)SNR2=10*log(PowerS/PowerNoise2)不同閾值函數(shù)的一維信號(hào)降噪的matlab程序2：r=2055415866;snr=3;xref,x=wnoise(3,11,snr,r);lev=5;xdH=wden(x,heursure,s,sln,lev,sym6);xdR=wden(x,rigrsure,s,sln,lev,sym6);xdS=wden(x,sqtwolog,s,sln,lev,sym6);xdM=wden(x,minimaxi,s,sln,lev,sym6);subplot(3,2,1);plot(xref);title(原始信號(hào));axis(1,2048,-10,10);subplot(3,2,2);plot(x);title(有噪信號(hào));axis(1,2048,-10,10);subplot(3,2,3);plot(xdH);xlabel(heursure閾值降噪后的信號(hào));axis(1,2048,-10,10);subplot(3,2,4);plot(xdR);xlabel(rigrsure閾值降噪后的信號(hào));axis(1