現(xiàn)代控制理論-3

1、最新現(xiàn)代控制理論-313 3 線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性3.1 3.1 能控性和能觀測性的概念能控性和能觀測性的概念3.2 3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性3.3 3.3 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性3.4 3.4 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性3.5 3.5 連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的能控性和能觀測性連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的能控性和能觀測性3.6 3.6 線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關(guān)系線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關(guān)系3.7 3.7 能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測

2、性標(biāo)準(zhǔn)形能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測性標(biāo)準(zhǔn)形3.8 3.8 傳遞函數(shù)中零極點對消與狀態(tài)能控性和能觀傳遞函數(shù)中零極點對消與狀態(tài)能控性和能觀 測性的關(guān)系測性的關(guān)系3.9 3.9 線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性和能觀測性的分解線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性和能觀測性的分解最新現(xiàn)代控制理論-323.1 3.1 能控性和能觀測性的概念能控性和能觀測性的概念能控性能控性 已知系統(tǒng)的當(dāng)前時刻及其狀態(tài)，研究是否存在一個容許控制，使得系統(tǒng)在該控制的作用下在有限時間內(nèi)到達(dá)希望的特定狀態(tài)。能觀測性能觀測性 已知系統(tǒng)及其在某時間段上的輸出，研究可否依據(jù)這一時間段上的輸出確定系統(tǒng)這一時間段上的狀態(tài)。能控性和能觀測性是現(xiàn)代控制理論中兩個基礎(chǔ)性概念，由

3、卡爾曼（R. E. Kalman）于1960年首次提出。u(t)能否引起x(t)的變化？ y(t)能否反映x(t)的變化？ 最新現(xiàn)代控制理論-333.1 3.1 能控性和能觀測性的概念能控性和能觀測性的概念一個RC網(wǎng)絡(luò)。圖中RC網(wǎng)絡(luò)的輸入端是電流源i，輸出端開路。取電容C1和C2上的電壓v1和v2為該系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量。v1是能控的v2是不能控的V2是能觀測的v1是不能觀測的最新現(xiàn)代控制理論-343.1 3.1 能控性和能觀測性的概念能控性和能觀測性的概念 在最優(yōu)控制問題中，其任務(wù)是尋求輸入u(t)使?fàn)顟B(tài)軌跡達(dá)到最優(yōu)，則要求狀態(tài)能控。 但狀態(tài)x(t)的值通常是難以直接測量的，往往需要從測得的輸

4、出y(t)中估計出來。最新現(xiàn)代控制理論-353.1 3.1 能控性和能觀測性的概念能控性和能觀測性的概念112212100022 10 xxuxxxyx 1122122xxxxuyx例例 分析如下系統(tǒng)的能控性和能觀測性 解解 將其表示為標(biāo)量方程組的形式表明系統(tǒng)的狀態(tài)是不能控和不能觀測的。表明系統(tǒng)的狀態(tài)是不能控和不能觀測的。輸入u不能控制狀態(tài)變量x1 ，故x1是不能控的輸出y不能反映狀態(tài)變量x2，故x2是不能觀測的最新現(xiàn)代控制理論-363.1 3.1 能控性和能觀測性的概念能控性和能觀測性的概念112212101011 1 1xxuxxxyx 112212xxuxxuyxx例例 分析如下系統(tǒng)的能

5、控性和能觀測性 解解 將其表示為標(biāo)量方程組的形式實際上，系統(tǒng)的狀態(tài)既不是完全能控的，也不是完全能觀測的。 所有狀態(tài)變量都是能控和能觀測的？最新現(xiàn)代控制理論-373.2 3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性 xAx+ Bu如果存在一個分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時間區(qū)間t0, tf內(nèi)使得系統(tǒng)的某一初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài)x(tf)，則稱初始狀態(tài)x(t0)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，或簡稱是能控的。狀態(tài)平面中點P能在u(t)作用下被驅(qū)動到任一指定狀態(tài)P1, P2, , Pn，則點P是能控的狀態(tài)。假如“能控狀態(tài)”

6、充滿整個狀態(tài)空間,則該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。由此可看出，系統(tǒng)中某一狀態(tài)能控和系統(tǒng)狀態(tài)完全能控在含義上是不同的。 3.2.13.2.1狀態(tài)能控性定義狀態(tài)能控性定義 定義定義 對于連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)最新現(xiàn)代控制理論-383.2 3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性能控性和能達(dá)性問題能控性和能達(dá)性問題 (1) 能控性定義：對于給定連續(xù)時間線性定常系統(tǒng) xAx+ Bu若存在一個分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時間區(qū)間t0, tf內(nèi)，將系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到原點，即x(tf)0，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。(2) 能達(dá)性定義：對于給定連續(xù)時間線性定常系統(tǒng) xAx+

7、 Bu若存在一個分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時間區(qū)間t0, tf內(nèi)，將狀態(tài)x(t)從原點轉(zhuǎn)移到任一指定的終端（目標(biāo)）狀態(tài)x(tf)，則稱系統(tǒng)是能達(dá)的。對線性定常系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性是完全等價的。對線性定常系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性是完全等價的。 分析狀態(tài)能控性問題時 (A, B) xAx+ Bu簡記為最新現(xiàn)代控制理論-393.2 3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性3.2.2 3.2.2 狀態(tài)能控性的判別準(zhǔn)則狀態(tài)能控性的判別準(zhǔn)則 21ncQBABA BAB定理定理3.1 對于n階連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)(A, B)，其狀態(tài)完全能控的充分條件時由A，B陣所構(gòu)成的能控性判別矩

8、陣 rankcnQ滿秩，即證明證明(1) 能控性判別準(zhǔn)則一能控性判別準(zhǔn)則一dueetttt0)()()0()(BxxAA因為0)()0()(0)(1dueetttt111BxxAA根據(jù)能控性定義，在終態(tài)時刻t1 ，有x(t1)=0所以duduetnnt11101 -100)()()()()()0(BAAIBxA最新現(xiàn)代控制理論-3103.2 3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性dutnn1101 -10)()()()()0(BAAIxdududutnttn111101 -0100)()()()()()(BAABB1 -10nnBAABB1對于任意給定的x(0) ，能

9、夠唯一解出i（或u）的條件是：21ncQBABA BABrankcnQ滿秩，即最新現(xiàn)代控制理論-3113.2 3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性211010u xx例例 試判別如下連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性。1200cQBAB解解 構(gòu)造能控性判別矩陣rank1cn Q這是一個奇異陣，即 所以該系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的，即系統(tǒng)狀態(tài)不能控。0110cQBAB解解 系統(tǒng)的能控性判別矩陣為所以該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。010101u xx例例 試判別如下連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性。rank2cnQ因為 ，所以 0100110最新現(xiàn)代控制理論-3123.2 3.2 連續(xù)時間

10、線性定常系統(tǒng)的能控性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性解解 該系統(tǒng)的能控性判別矩陣為因為rankQc = 1 n，所以該系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的。該系統(tǒng)是由兩個結(jié)構(gòu)上完全相同，且又不是相互獨立的一階系統(tǒng)組成的。顯然，只有在其初始狀態(tài)x1(t0)和x2(t0)相同的條件下，才存在某一u(t)，將x1(t0)和x2(t0)在有限時間內(nèi)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點。否則是不可能的。 例例 試判別連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。u111001xx 1111ABBQc最新現(xiàn)代控制理論-313而|Qc|0表示矩陣Qc=b Ab An-1b有且僅有n個線性無關(guān)的列，也就是Qc的秩為n，即必須是非奇異矩陣，換句話說，矩陣Qc

11、的逆存在，即3.2 3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性1ncQbAbAb0cQ1ranknnbAbAbrankrankTcccQQ Q推論推論 對于單輸入情況，若可求得到相應(yīng)的控制作用u，使?fàn)顟B(tài)變量從任意x0轉(zhuǎn)移到原點，則矩陣因此，可以把|Qc|0作為單輸入情況下的能控性判據(jù)。對于多輸入情況，Qc不是方陣，不能用此結(jié)論。但有因此，可以把|QcQcT|0作為多輸入系統(tǒng)的能控性判據(jù)。最新現(xiàn)代控制理論-3143.2 3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性12110010101001101uuxx例例 試判別三階雙輸入系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。rank2

12、3cnQ觀察Qc第一行和第三行完全相同，顯見所以該系統(tǒng)是不能控的。解解 首先構(gòu)造能控性判別矩陣121010121 1101011102BAABBQcrank23Tcc Q Q容易得到838333838 TccQQ最新現(xiàn)代控制理論-3153.2 3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性 通過線性變換把矩陣A化成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，然后根據(jù)這一標(biāo)準(zhǔn)形來判別系統(tǒng)的能控性。BAABBQ1nc證明證明系統(tǒng)(A, B)的能控性判斷陣為）（BA,系統(tǒng) 的能控性判斷陣為BABABQ1nc)(BPAPPBAPPPBP111111nBAABBP11ncQP1cQ因是

13、P-1滿秩的，所以 的秩與Qc的秩相同。(2) 能控性判別準(zhǔn)則二能控性判別準(zhǔn)則二 最新現(xiàn)代控制理論-3163.2 3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性12nxxBu00定理定理3.2 若系統(tǒng)(A, B)具有互異的特征值，則其狀態(tài)完全能控的充分必要條件是經(jīng)線性變換后的對角標(biāo)準(zhǔn)形陣中不包含元素全為零的行。B定理定理3.3 若系統(tǒng)(A, B)具有互異的重特征值，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件，是經(jīng)線性變換的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形xAxBu12lJJAJ00與每個約當(dāng)塊Ji 對應(yīng)的 i 的最后一行的元素不全為零。B其中l(wèi)BBBB21最新現(xiàn)代控制理論-3173.2 3.2 連續(xù)時間線性

14、定常系統(tǒng)的能控性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性例例 試判別以下連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性。 12700270001(I) 0505 (III) 050400017001757000700(II) 0505 (IV) 0500017001uuuu xxxxxxxx12004075uu解解 A陣具有互不相同的特征值。系統(tǒng)(I)和(III)是能控的。 其特征值相同，盡管b陣的元素不為零，但系統(tǒng)狀態(tài)不能控。注意：特征值互不相同條件。某些具有重特征值的矩陣，也能化成對角線標(biāo)準(zhǔn)形。因為rankQc = 1 t0，使得根據(jù)t0, tf期間的輸出y(t)能唯一地確定系統(tǒng)的初態(tài)x(t0)，則稱狀態(tài)x(t0)是能

15、觀測的。若系統(tǒng)的每一個狀態(tài)都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，或簡稱能觀測的。簡記為 (A, C) 如果mn，且C非奇異，則： ，顯然這不需要觀測時間。但是一般m t0。1( )( )ttxCy簡要說明簡要說明 因為能觀測性表示y(t)反映x(t)的能力，不妨令u0。x = Axy = Cx3.3.1 線性定常系統(tǒng)能觀測性的定義線性定常系統(tǒng)能觀測性的定義最新現(xiàn)代控制理論-3243.3.3 3 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性1onCCAQCA定理定理3.5 n階連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)(A, C)狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是其能觀測判別矩陣 3.3.2 能觀測性

16、判別準(zhǔn)則能觀測性判別準(zhǔn)則 同樣有秩判據(jù)和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)滿秩，即 rankQo = n 或 1rank()TTTTnTnCA CAC(1) 能觀測性判別準(zhǔn)則一能觀測性判別準(zhǔn)則一最新現(xiàn)代控制理論-3253.3.3 3 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性證明證明CxyAxx,)0()(xCyAtet 對于任意給定的x(0)，有)0()()()(xCACAC1110nnttt)0()()()(xAAIC1110nnttt由上式，根據(jù)得到的y(t)，可以唯一地確定x(0)的條件是1onCCAQCA滿秩，即 rankQo = n 最新現(xiàn)代控制理論-3263.3.3 3 連續(xù)時間線

17、性定常系統(tǒng)的能觀測性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性451001y xxx45011010 cA0110ocQcA例例 試判別連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性。 解解 構(gòu)造能觀測性判別矩陣因為rankQo2 = n，所以系統(tǒng)是能觀測的。最新現(xiàn)代控制理論-3273.3.3 3 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性10011 1yxxx例例 試判別系統(tǒng)的能觀測性。 1 11 1oQ解解 構(gòu)成的能觀測性判別矩陣 rankQo=1 n是奇異陣，所以系統(tǒng)狀態(tài)是不能觀測的。 從輸出方程看，y中既含有x1又含有x2，似乎能通過對y的觀測獲得x1和x2的信息，但是系統(tǒng)狀態(tài)是不能觀測的。從該

18、系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖看，這是一個由兩個結(jié)構(gòu)完全相同的一階系統(tǒng)并聯(lián)起來的系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)x10 = x20，由它們所激勵的系統(tǒng)輸出為顯然，對于這種情況，系統(tǒng)的初始狀態(tài)x10和x20是不能觀測的。 0)(20202010ttttexexexexty最新現(xiàn)代控制理論-3283.3.3 3 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性1onccAQcA推論推論 對單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)能觀測的充分必要條件為 Qo是非奇異矩陣。換句話說|Qo|0是系統(tǒng)能觀測的充分必要條件。|Qo|0表示了矩陣Qo有且僅有n個行向量是線性獨立的，即rankQo = n。對于多輸出系統(tǒng)，Qo是nmn陣不是方陣，但有

19、如下關(guān)系：因此，可把作為多輸出系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)。rankQo = rankQToQo |QToQo |0最新現(xiàn)代控制理論-3293.3.3 3 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性700700(I) 050 (II) 050001001 645 320yyxxxxxx例例 試判斷下列連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性。 顯然，系統(tǒng)(I)是能觀測的，系統(tǒng)(II)是不能觀測的。 (2) (2) 能觀測判別準(zhǔn)則二能觀測判別準(zhǔn)則二 定理定理3.63.6 若n階連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)(A, C)具有互異的特征值，則其狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的對角線標(biāo)準(zhǔn)形

20、陣中不含有元素全為零的列。),(CA最新現(xiàn)代控制理論-3303.3.3 3 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性12lJJAJ00其中與每個約當(dāng)塊Ji 對應(yīng)的 i 的首列的元素不全為零。C例例 試判斷下面兩個連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測性。2121(I) (II) 0202 10 01yyxxxxxx解解 根據(jù)上述定理，(I)是能觀測的，(II)是不能觀測的。定理定理3.7 若n階連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)(A, C)具有互異的重特征值，則系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是經(jīng)線性非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型),(CAlCCCC21最新現(xiàn)代控制理論-331定理定理3.7（附）（附） 若

21、系統(tǒng)(A, B)具有相同的重特征值，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充要條件是經(jīng)線性變換的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形例例 試判斷以下連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性。J1J2C2xyxx021000300130003C1C1和C2的首列成比例，不是線性無關(guān)的，所以不能觀測。3.3.3 3 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性12lJJAJ00lCCCC21相同特征值下的約當(dāng)塊Ji 對應(yīng)的 的首列線性無關(guān)。iC最新現(xiàn)代控制理論-3323.4 3.4 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性3.4.1能控性定義與判據(jù)能控性定義與判據(jù) 若存在控制序列u(0), u(1)

22、, , u(l-1)（l n）能將某個初始狀態(tài)x(0)在第l步上到達(dá)零狀態(tài)，即x(l)=0，則稱初始狀態(tài)x(0)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，或簡稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。(1) 能控性定義能控性定義定義定義 對于n階離散時間線性定常系統(tǒng)(1)( )( )kkkxGxHu1110(1)102( )0( )1011kku k xx0211 x例例 設(shè)離散時間線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試分析能否找到控制作用u(0), u(1), u(2), 將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。最新現(xiàn)代控制理論-3333.4 3.4 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性

23、和能觀測性0 (1)(0)(0)kuxGxh111200010210(0)00(0)1011131uu (0)30 (0)3uu 解解 利用遞推方法 為檢驗系統(tǒng)能否在第一步使x(0)轉(zhuǎn)移到零，對上式令x(1)=0，倘若能夠解出u(0)，則表示在第一步就可以把給定初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零，且控制作用即為u(0)。為此令x(1)=0，則有計算表明對該系統(tǒng)若取u(0) = -3，則能將x0=2 1 1T在第一步轉(zhuǎn)移到零。最新現(xiàn)代控制理論-3343.4 3.4 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性0111 x0 (1)(0)(0)kuxGxh111101010210(0

24、)10(0)1011121uu 例例 若上例系統(tǒng)初始狀態(tài)為 解解 由遞推公式，有顯然，對于上式若令x(1)=0，解不出u(0)，這說明對于本例初始狀態(tài)是不能在第一步轉(zhuǎn)移到零，再遞推一步。能否找到控制序列，將其轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。最新現(xiàn)代控制理論-3353.4 3.4 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性1k 2(2)(1)(1)(0)(0)(1)uuuxGxhG xGhh01032(0)0(1)311uu 若令x(2)=0，仍無法解出u(0)、u(1)，再遞推一步。2k 32(3)(2)(2)(0)(0)(1)(2)uuuuxGxhG xG hGhh02106

25、1(0)2(1)0(2)3211uuu 若令x(3)=0，上式是一個含有三個未知量的線性齊次方程210(0)0120(1)6211(2)3uuu，有唯一解：165(0)210012(1)12065(2)211395uuu 最新現(xiàn)代控制理論-336(2) 能控性判別準(zhǔn)則能控性判別準(zhǔn)則 3.4 3.4 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性(1)( )( )kkkxGxHu21ncQHGHG HGH100022110G121 h狀態(tài)完全能控的充分必要條件是能控性判別矩陣rankcnQ滿秩。即2111222111cQhGhG h解解 構(gòu)造能控性判別矩陣顯然ran

26、kQc1 t0和定義在時間區(qū)間t0, tf上容許控制u，使得系統(tǒng)在這個控制作用下，從x0出發(fā)的軌線在tf時刻達(dá)到零狀態(tài)即x(tf)=0，則稱x0在t0時刻是系統(tǒng)的一個能控狀態(tài)。如果狀態(tài)空間上的所有狀態(tài)在t0時刻都是能控的，則稱系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能控的。(1) 能控性定義能控性定義定義定義 若連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)可以看出，時變系統(tǒng)的能控性定義和定常系統(tǒng)的能控性定義基本相同，但考慮到A(t)、B(t)是時變矩陣，其狀態(tài)向量的轉(zhuǎn)移與起始時刻t0的選取有關(guān)，所以時變系統(tǒng)的能控性與所選擇的初始時刻t0有關(guān)。 最新現(xiàn)代控制理論-3443.5 3.5 連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的能控性與能觀測性連續(xù)時間線性

27、時變系統(tǒng)的能控性與能觀測性000( )( ) ( )=, , tttt tJ x = Ax+ Buxx0( )( )ttMB100d( )( )( )( )dttttt MAMM122d( )( )( )( )dnnnttttt MAMM則系統(tǒng)在時刻 完全能控的充分條件為，存在一個有限時刻 ，使0tJ110, tJ tt011111rank( )( )( )ntttnMMM定理定理3.10 對n階連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)設(shè)A(t)和B(t)對t為(n-1)階連續(xù)可微，定義如下一組矩陣：(2) 能控性判別準(zhǔn)則能控性判別準(zhǔn)則 最新現(xiàn)代控制理論-345 對于初始時刻t0，存在另一時刻tf t0,使得根據(jù)

28、時間區(qū)間t0, tf上輸出y(t)的測量值，能夠唯一地確定系統(tǒng)在t0時刻的初始狀態(tài)x(t0)= x0，則稱x0為在t0時刻能觀測狀態(tài)。若系統(tǒng)在t0時刻的所有狀態(tài)都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱系統(tǒng)是能觀測的。3.5 3.5 連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的能控性與能觀測性連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的能控性與能觀測性000( ) ( )=, , ttt tJ x = Axxx( ) ty = Cx00 t ty則稱x0為t0時刻不能觀測的狀態(tài)，系統(tǒng)在t0時刻是不能觀測的。(1) (1) 能觀測性定義能觀測性定義定義定義 對于連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)3.5.2 3.5.2 能觀測性定義與判據(jù)能觀測性定義

29、與判據(jù) 反之，如果在t0時刻的初始狀態(tài)x(t0)= x0，所引起的系統(tǒng)輸出y(t)恒等于零，即最新現(xiàn)代控制理論-3463.5 3.5 連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的能控性與能觀測性連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的能控性與能觀測性000( ) ( )=, , ( )ttt tJtx = Axxxy = Cx0( )( )ttNC100d( )( ) ( )( )dtttttNNAN122d( )( ) ( )( )dnnntttttNNAN則系統(tǒng)在時刻 完全能觀測的充分條件為，存在一個有限時刻 ，使0tJ110, tJ tt011111( )( )rank( )nttntNNN定理定理3.11 對于n階連續(xù)時間線

30、性時變系統(tǒng)設(shè)A(t)和C(t)對t(n-1)階連續(xù)可微，定義如下一組矩陣(2) 能觀測性判別準(zhǔn)則能觀測性判別準(zhǔn)則 最新現(xiàn)代控制理論-3473.6 3.6 線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關(guān)系線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關(guān)系一個系統(tǒng)的能觀測性等價于其對偶系統(tǒng)的能控性 一個系統(tǒng)的能控性 等價于其對偶系統(tǒng)的能觀測性 1:xAxBuyCx2:*xA xB u*yC x*TTTAABCCB定義定義對于定常系統(tǒng)1和2其狀態(tài)空間描述分別為則稱系統(tǒng)1和2是互為對偶的。 其中，x與x*為n維狀態(tài)向量，u為r維，y為m維，u*為m維，y*為r維。若系統(tǒng)1和2滿足以下關(guān)系3.6.1對偶系統(tǒng)對偶系統(tǒng)最新現(xiàn)代控制理論-

31、348系統(tǒng)1的傳遞函數(shù)陣為mr矩陣：3.6 3.6 線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關(guān)系線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關(guān)系對偶系統(tǒng)的示意圖11( )()ssGCIAB*1*21111( )() () () () ( )TTTTTTTTssssssGCIABBIACBIACCIABG*det()det()ssIAIA對偶系統(tǒng)的特征方程相同：系統(tǒng)2的傳遞函數(shù)陣為：對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣互為轉(zhuǎn)置最新現(xiàn)代控制理論-349定理定理3.12設(shè)1(A, B, C)和2(A*, B*, C*)是互為對偶的兩個系統(tǒng)，則1的能控性等價于2的能觀測性；1的能觀測性等價于2的能控性。3.6 3.6 線性系統(tǒng)能控性與能觀測

32、性的對偶關(guān)系線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關(guān)系11ncQBABAB(1)2()() ()()()TTTTTTTTnTToQBABAB1nBABAB(1)1()TTTTTnToQCA CAC(1)2()TTTTnTcQCA CAC而系統(tǒng)2的能觀測性判別矩陣為是完全相同的。同理1的能觀測性判別矩陣為而系統(tǒng)2的能控性判別矩陣為也是完全相同的。3.6.2 對偶定理對偶定理 證明證明 系統(tǒng)1的能控性判別矩陣為最新現(xiàn)代控制理論-3503.7 3.7 能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形1ranknBABA B111121212rank nnnrrrnb bbAb AbAbA b A bA b若

33、n階連續(xù)時間線性定常系統(tǒng) (A, B)是完全能控的，則 對多輸入多輸出系統(tǒng)，把(A, B)和(A, C)化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以有多種不同的方法。 對于單輸入單輸出系統(tǒng)，其能控性判別矩陣和能觀測性判別矩陣只有唯一的一組線性無關(guān)的向量。因此，當(dāng)(A, B)表為能控標(biāo)準(zhǔn)形和(A, C)表為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形時，其表示方法是唯一的。所以僅討論單輸入單輸出系統(tǒng)。 這表明，能控性矩陣中有且僅有n個列向量是線性無關(guān)的。如果取這些線性無關(guān)的列向量以某種線性組合，便可導(dǎo)出狀態(tài)空間描述的能控標(biāo)準(zhǔn)形。能觀測問題同樣。3.7.1問題的提法問題的提法 最新現(xiàn)代控制理論-3513.7 3.7 能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀

34、測標(biāo)準(zhǔn)形cxR x11211111nncnaaaRAbAbb03.7.2 能控標(biāo)準(zhǔn)形能控標(biāo)準(zhǔn)形 定理定理3.13若連續(xù)時間線性定常單輸入單輸出系統(tǒng)(A, b, c) 是狀態(tài)完全能控的，則使系統(tǒng)為能控標(biāo)準(zhǔn)形的變換陣為111det()nnnnssa sasaIA其中，ai為特征多項式 的系數(shù)。 通過線性變換得能控標(biāo)準(zhǔn)形(Ac, bc, cc)：1121010000100001cccnnnaaaaAR AR1001cc bR b11ccnnccR1211211()()nnnnaaacbc Abbc AbAbb最新現(xiàn)代控制理論-3523.7 3.7 能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形1c

35、ccAR AR12cnReee利用 和 ，可得111nnnnaaa AAAI據(jù)凱萊-哈密頓定理有12111111() () nnnnnnnnnnnaaaaaaaa AeA AbAbbA bAbAbbbbe據(jù)此，可導(dǎo)出2321212121111() () nnnnnnnnnnaaaaaaaAeA AbAbbAbAbAbbbee證明證明 （1 1）推證Ac 最新現(xiàn)代控制理論-3533.7 3.7 能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形21112222()() nnnaaaaaAeA AbbA bAbbbee1111()nnnaaaAeAbAbbbee111112121121 010000

36、100001010000100001ccnnnnnnnnnncnnnaaaaaaaaaaa R AeeeeeeeeR于是，有將上式左乘1cR，就可證得Ac。最新現(xiàn)代控制理論-3543.7 3.7 能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形1ccbR bccR bb12000011ccnnc R bbeeeeR(2) 推證bc 由 ，有 ，即 1cR將上式左乘 ，就可證得bc。ccccR(3) 推證cc 由 ，有11211111011 nnccnnnaaaccRc AbAbb展開即可。最新現(xiàn)代控制理論-3553.7 3.7 能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形1adj()( )

37、()det()cccccccssssIAGcIAbcbIA111111*100*1nnnnnnnsssa sasa 1111111nnnnnnnsssa sasa111111nnnnnnnsssa sasa由能控標(biāo)準(zhǔn)形可以求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 最新現(xiàn)代控制理論-3563.7 3.7 能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形32101001 000100 12 9 0caaaA001c b120231110201u xx001y x例例 試將如下狀態(tài)空間描述變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形。224161681212cQbAbA b解解先判別其能控性rankQc = 3，所以系統(tǒng)是能控的。再計算系統(tǒng)的特征多

38、項式3det()92IA則a1 = 0，a2 = 9，a3 = 22121100101caaacc A bAb b164210000 1861010122190132 1 221233231232392ssssG ssasa sass最新現(xiàn)代控制理論-3573.7 3.7 能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形oxR x112123211011001nnnnnnoaaaaaa cAcARcAc變換為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形(Ao, bo, co)：定理定理3.14 若n階線性定常單輸入單輸出系統(tǒng)(A, b, c) 是能觀測的，則存在線性變換112100100001nnooonaaaaAR AR

39、21noobR b1001ooccR11det()nnnaaIA其中是特征多項式 的各項系數(shù)。1211211nnnncbcAc bcAcAb3.7.3 能觀測標(biāo)準(zhǔn)形能觀測標(biāo)準(zhǔn)形 最新現(xiàn)代控制理論-3583.7 3.7 能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形3det()92IA則a1 = 0，a2 = 9，a3 = 22001020622ocQcAcA解解 首先構(gòu)造能觀測性判別矩陣因rankQo = 3，所以系統(tǒng)是能觀測的。系統(tǒng)的特征式為120231110201u xx001y x例例 試將如下狀態(tài)空間描述變換為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形。321000021010901010oaaaA001oc21

40、21101001ooaaacAbR bcA bc109622230100201200100111 =最新現(xiàn)代控制理論-359顯然，在這種狀態(tài)變量選擇下系統(tǒng)是不能控但是能觀測的。從傳遞函數(shù)會發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有零極點對消現(xiàn)象。3.8 3.8 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系系 2yyyuu112212011121 10 xxuxxxyx1211( )()211sG ssssscIAb例例3-26 試判別系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測性。解解 定義 于是系統(tǒng)能控性判別矩陣Qc和能觀測性判別矩陣Qo分別為以下只討論單輸入單輸入-單輸出單輸出系統(tǒng)的傳遞函

41、數(shù)中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間的關(guān)系。 uyxyx21最新現(xiàn)代控制理論-360證明證明 假定系統(tǒng)是具有相異特征值的n階單輸入-單輸出系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述為(A, b, c) ，利用線性變換可將矩陣A對角化，得到等價系統(tǒng)為3.8 3.8 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系uxAxby cx11, , APAP bP b ccP定理定理3.15 若線性定常單輸入-單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)中有零極點對消，則系統(tǒng)將是狀態(tài)不能控或狀態(tài)不能觀測的，其結(jié)果與狀態(tài)變量選擇有關(guān)，反之，若系統(tǒng)中沒有零極點對消，則該系統(tǒng)是完全能控且完全能觀測的。Aiiiixxbu由

42、于是對角陣，第i個狀態(tài)方程是兩邊取Laplace變換，得 ( )( )iiibX sU ss( )( )Y sX s c最新現(xiàn)代控制理論-3613.8 3.8 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系112122( )( )nnnbsbY scccU ssbs1( )niiiicbU ss( )iX s將 代入，則1212()()()( ) ( )()()()mnK sasasaY snmU ssss對特征值相異的n階系統(tǒng)，假定傳遞函數(shù)形式是展成部分分式1( )( )niiiY sU ssi為Y(s)/U(s)在s=i處留數(shù)狀態(tài)能控要求 0，能觀測要

43、求 0 ibic iiicb 一個即能控又能觀測的系統(tǒng)要求i 0 最新現(xiàn)代控制理論-3623.8 3.8 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系21211( )( )( )sbG sG s G sss解解 組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G (s)為由G(s)可以看出，當(dāng)b =2時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)發(fā)生零極點對消現(xiàn)象，系統(tǒng)不是即能控又能觀測的。 為了分析這個不確定性，建立該系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖： 例例 設(shè)有一個由前后兩個子系統(tǒng)串聯(lián)組成的組合系統(tǒng)： G1 (s)G2 (s)試判斷串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀測性。最新現(xiàn)代控制理論-3633.8 3.8 傳函中零極點對消與狀態(tài)能

44、控和能觀測之間關(guān)系傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系1211121()101cobbbQQ11111()cbbQdet0cQrank12c Q當(dāng)b =2時（即G (s)出現(xiàn)零極點對消）則該串聯(lián)系統(tǒng)是不能控但能觀測的。121212112110 1 0 xxuxxbxyx系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 其能控性和能觀測性判別矩陣為最新現(xiàn)代控制理論-3643.8 3.8 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系例例 如果將上例系統(tǒng)中兩個子系統(tǒng)的位置互換一下，如圖。試判斷該系統(tǒng)的能控性和能觀測性。1212121120110 1xxuxxxybx 1212111

45、1 ()01cobbb QQ顯見，當(dāng)b=2時rankQo = 1 2，系統(tǒng)是能控但不能觀測的。其能控性和能觀測性判別矩陣為解解 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為最新現(xiàn)代控制理論-3653.8 3.8 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系 從上面討論可知，由傳遞函數(shù)討論系統(tǒng)的能控性和能觀測性時，若有零極點對消，系統(tǒng)是能控不能觀測，還是能觀測而不能控，與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)。若被消去的零點與u發(fā)生聯(lián)系則系統(tǒng)為不能控的；若被消去的零點與輸出y發(fā)生聯(lián)系則系統(tǒng)是不能觀測的。進(jìn)一步，若該零點既與輸入u發(fā)生聯(lián)系，又與輸出y發(fā)生聯(lián)系，則該系統(tǒng)是既不能控也不能觀測的。狀態(tài)變量圖 串

46、聯(lián)系統(tǒng)傳遞函數(shù)111( )( )( )1 (1)(2)(1)(2)prsG sGs G ssssss考慮系統(tǒng) 傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖 Gr(s) Gp(s) 系統(tǒng)穩(wěn)定最新現(xiàn)代控制理論-3663.8 3.8 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系0131001410 110222111coQQ因此 （不能控）， （能觀測）rank2cnQrank3onQ該系統(tǒng)的能控性和能觀測性判別矩陣為110002110012100uyxxx建立狀態(tài)空間描述 110det()21(1)(2)(1)1sssssssIA說明系統(tǒng)有一極點在右半平面，故該系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的?？疾煸撓?/p>

47、統(tǒng)的特征多項式 最新現(xiàn)代控制理論-3673.9 3.9 線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解能控且能觀測子系統(tǒng)不完全能控和不完全能觀測系統(tǒng)線性變換能控但不能觀測子系統(tǒng)不能控但能觀測子系統(tǒng)不能控且不能觀測子系統(tǒng) 1rankranknccnnQB ABAB則存在線性變換 ，可將(A, B, C)變換為cxR x定理定理3.16 若n階連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)(A, B, C)是狀態(tài)不完全能控的，其能控性判別矩陣的秩為3.9.1 系統(tǒng)按能控性分解系統(tǒng)按能控性分解cc 1112122 nn nncccnnc0AAAR ARA1nccnnc01BBR B 12 cccnn n

48、CCRCC 12ncnncxxx),(CBA最新現(xiàn)代控制理論-3683.9 3.9 線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解其中nc維子系統(tǒng) 是能控的，而(n-nc)維子系統(tǒng)1111122xA xB uA x2222xA x是不能控的。 非奇異變換陣 中n個列向量構(gòu)成方法：前nc個列向量為能控性判別矩陣Qc中nc個線性無關(guān)的列，另外(n-nc)個列在確保Rc為非奇異的條件下是任意的。 12ccnnRRRRR最新現(xiàn)代控制理論-36911100001100100111010311011010110130110110u x3.9 3.9 線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解

49、線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解1110 Rb2011 RAb3001 R001110310130u xx012y x例例 試將該系統(tǒng)按 能控性進(jìn)行分解。2101113012cQbAbA b解解 系統(tǒng)的能控性判別矩陣為rank2cnQ因為 ，所以系統(tǒng)是不完全能控的。構(gòu)造Rc：11cccuxR AR xR b01111220001 0 ux112cy cR xx100110011cR（任選的）得：最新現(xiàn)代控制理論-3703.9 3.9 線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解101110011cR考察R3為任意的情況： 現(xiàn)假設(shè)R3=1 0 1T，即01011220001 0 uxx112y x 于是得 由于前兩個列向量沒有改變，所以能控子系統(tǒng)空間的表達(dá)式相同，所不同的僅是改變列向量后的不能控部分。 比較11cccuxR AR xR b01111220001 0 ux112