圓中常見輔助線

1、圓中常見輔助線的做法一遇到弦時（解決有關(guān)弦的問題時）1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點的半徑。作用：利用垂徑定理； 利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系； 利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。例：如圖，在以o為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦ab交小圓于c、d二點.求證：ac = bd證明:過o作oeab于eo為圓心，oeabae = be ce = deac = bd練習(xí)：如圖，ab為o的弦，p是ab上的一點，ab = 10cm，pa = 4cm.求o的半徑.2.有等弧或證弧等時常連等弧所對的弦或作等弧所對的圓心角.例：如圖，已

2、知ab是o的直徑，m、n分別是ao、bo的中點，cmab,dnab,求證： 證明：（一）連結(jié)oc、odm、n分別是ao、bo的中點om = ao、on = booa = ob om = oncmoa、dnob、oc = odrtcomrtdoncoa = dob（二）連結(jié)ac、oc、od、bdm、n分別是ao、bo的中點ac = oc bd = odoc = od ac = bd 3. 有弦中點時常連弦心距例：如圖，已知m、n分別是o 的弦ab、cd的中點,ab = cd，求證：amn = cnm證明：連結(jié)om、ono為圓心，m、n分別是弦ab、cd的中點omab oncdab = cd om

3、 = onomn = onmamn = 90oomn cnm = 90oonmamn =cnm4. 證明弦相等或已知弦相等時常作弦心距.例：如圖，已知o1與o2為等圓，p為o1、o2的中點，過p的直線分別交o1、o2于a、c、d、b.求證：ac = bd證明：過o1作o1mab于m,過o2作o2nab于n，則o1mo2no1p = o2p o1m = o2n ac = bd二.有弧中點（或證明是弧中點）時，常有以下幾種引輔助線的方法：連結(jié)過弧中點的半徑連結(jié)等弧所對的弦連結(jié)等弧所對的圓心角例：如圖，已知d、e分別為半徑oa、ob的中點，c為弧ab的中點，求證：cd = ce證明：連結(jié)occ為弧a

4、b的中點 aoc =bocd、e分別為oa、ob的中點，且ao = bood = oe = ao = bo又oc = oc odcoec cd = ce3. 有直徑時常作直徑所對的圓周角，再利用直徑所對的圓周角為直角證題.例：如圖，ab為o的直徑，ac為弦，p為ac延長線上一點，且ac = pc,pb的延長線交o于d，求證：ac = dc證明：連結(jié)adab為o的直徑 adp = 90o ac = pc ac = cd =ap例（2005年自貢市）如圖2，p是o的弦cb延長線上一點，點a在o上，且。求證：pa是o的切線。 證明：作o的直徑ad，連bd，則 即 即pa為o的切線。四遇到90度的圓周

5、角時常常連結(jié)兩條弦沒有公共點的另一端點。 作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。練習(xí)：如圖，在rtabc中，bca = 90o ,以bc為直徑的o交ab于e，d為ac中點，連結(jié)bd交o于f.求證：五.有等弧時常作輔助線有以下幾種：作等弧所對的弦作等弧所對的圓心角作等弧所對的圓周角練習(xí)：1.如圖，o的直徑ab垂直于弦cd，交點為e，f為dc延長線上一點，連結(jié)af交o于m.求證：amd =fmc(提示：連結(jié)bm)2.如圖，abc內(nèi)接于o，d、e在bc邊上，且bd = ce，1 =2，求證：ab = ac（提示如圖）六.有弦中點時，常構(gòu)造三角形中位線.例：已知，如圖，在o中，abcd，oebc于e，求

6、證：oe =ad證明：作直徑cf，連結(jié)df、bfcf為o的直徑cdfd又cdababdf ad = bfoebc o為圓心 co = foce = be oe =bfoe =ad七.圓上有四點時，常構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形.例：如圖，abc內(nèi)接于o，直線ad平分fac，交o于e，交bc的延長線于d，求證：abac = adae證明：連結(jié)be1 =3 2 =13 =2四邊形acbe為圓內(nèi)接四邊形acd =eabeadcabac = adae八.兩圓相交時，常連結(jié)兩圓的公共弦例：如圖，o1與o2相交于a、b，過a的直線分別交o1、o2于c、d，過b的直線分別交o1、o2于e、f.求證：cedf證明：連結(jié)a

7、b四邊形為圓內(nèi)接四邊形abf =c 同理可證：abe =dabf abe = 180ocd = 180ocedf九.在證明直線和圓相切時，常有以下兩種引輔助線方法：當(dāng)已知直線經(jīng)過圓上的一點，那么連結(jié)這點和圓心，得到輔助半徑，再證明所作半徑與這條直線垂直即可.如果不知直線與圓是否有交點時，那么過圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長度等于半徑的長即可.例1：如圖，p為o外一點，以op為直徑作圓交o于a、b兩點，連結(jié)pa、pb.求證：pa、pb為o的切線證明：連結(jié)oa po為直徑pao = 90o oapaoa為o的半徑pa為o的切線同理：pb也為o的切線例2：如圖，同心圓o，大圓的弦ab = cd

8、，且ab是小圓的切線，切點為e，求證：cd是小圓的切線證明：連結(jié)oe，過o作ofcd于foe為半徑，ab為小圓的切線oeabofcd, ab = cdof = oecd為小圓的切線練習(xí)：如圖，等腰abc，以腰ab為直徑作o交底邊bc于p，peac于e,求證：pe是o的切線十.當(dāng)已知條件中有切線時，常作過切點的半徑，利用切線的性質(zhì)定理證題.例：如圖，在rtabc中，c = 90o，ac = 12，bc = 9，d是ab上一點，以bd為直徑的o切ac于e，求ad長.解：連結(jié)oe，則oeacbcac oebc在rtabc中，ab = oe = ob = bd = 2ob = ad = abdb =

9、15= 答：ad的長為.練習(xí)：如圖，o的半徑oaob，點p在ob的延長線上，連結(jié)ap交o于d，過d作o的切線ce交op于c，求證：pc = cd十一 遇到兩相交切線時（切線長）常常連結(jié)切點和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點、連結(jié)兩切點。 作用：據(jù)切線長及其它性質(zhì)，可得到： 角、線段的等量關(guān)系；垂直關(guān)系；全等、相似三角形。十二遇到三角形的內(nèi)切圓時連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點，或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段。 作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得： 內(nèi)心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線； 內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。在處理內(nèi)心的問題時，常需連結(jié)頂點與內(nèi)心，以便利用內(nèi)切圓的圓心是三角形內(nèi)角平分線交點這一性質(zhì)。十三

10、遇到三角形的外接圓時，連結(jié)外心和各頂點 作用：外心到三角形各頂點的距離相等。十四遇到兩圓外離時（解決有關(guān)兩圓的外、內(nèi)公切線的問題）常常作出過切點的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線。 作用：利用切線的性質(zhì)； 利用解直角三角形的有關(guān)知識。十五遇到兩圓相交時 兩個相交圓不離公共弦常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點和圓心等。 作用： 利用連心線的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識； 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)； 利用兩圓公共的圓周的性質(zhì)；垂徑定理。1. 作相交兩圓的公共弦 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)或公共圓周角，溝通兩圓的角的關(guān)系。 例1. 如圖1，o1和o2相交于a、b兩點，過a、b分別作直線cd、ef，且c

11、d/ef，與兩圓相交于c、d、e、f。求證：cedf。圖1 分析：ce和df分別是o1和o2的兩條弦，難以直接證明它們相等，但通過連結(jié)ab，則可得圓內(nèi)接四邊形abec和abfd，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，則易證明。 證明：連結(jié)ab 因為 又 所以 即ce/df 又cd/ef 所以四邊形cefd為平行四邊形 即cedf 2.作兩相交圓的連心線 利用過交點的半徑、公共弦、圓心距構(gòu)造直角三角形，解決有關(guān)的計算問題。 例2. o1和o2相交于a、b兩點，兩圓的半徑分別為和，公共弦長為12。求的度數(shù)。圖2 分析：公共弦ab可位于圓心o1、o2同側(cè)或異側(cè)，要求的度數(shù)，可利用角的和或差來求解。 解：當(dāng)ab位于

12、o1、o2異側(cè)時，如圖2。 連結(jié)o1、o2，交ab于c，則。分別在和中，利用銳角三角函數(shù)可求得 故 當(dāng)ab位于o1、o2同側(cè)時，如圖3圖3 則 綜上可知或例2：已知，o1與o2交于a、b，o1的弦ac切o2于a，過b作直線交兩圓于d、e。求證：dcae。 分析:由口訣“兩個相交圓不離公共弦”,連結(jié)ab,可得d=cab, 由切線知cab=e,即d=e即得證。練習(xí)：如圖o1和o2都經(jīng)過a、b兩點。經(jīng)過點a的直線cd與 o1交于點c，與 o2交于點d；經(jīng)過點b的直線ef于 o1交于點e，與 o2交于點f。求證：cedf.cdemngabo2o1f圖 8例、如圖8，在梯形abcd中，以兩腰ad、bc分

13、別為直徑的兩個圓相交于m、n兩點，過m、n的直線與梯形上、下底交于e、f。求證： mnab。分析：因為mn是公共弦，若作輔助線o1o2，必有mno1o2，再由o1o2是梯形的中位線，得o1o2/ab，從而易證mnab。證明 連結(jié)o1o2交ef于g = mno1o2。 do1=o1a，co2=o2b = o1o2是梯形abcd的中位線 = o1o2/ab =efa=ego1=rt = mnab說明，由兩圓相交連心線垂直于公共弦想到作連心線。16 遇到兩圓相切時 兩個相切圓不離公切線常常作連心線、公切線。 作用：利用連心線性質(zhì)； 弦切角性質(zhì)； 切線性質(zhì)等。例3. 如圖4，o1和o2外切于點p，a是

14、o1上的一點，直線ac切o2于c，交o1于b，直線ap交o2于d。求證pc平分。圖4 分析：要證pc平分，即證 而的邊分布在兩個圓中，難以直接證明。 若過p作兩圓的公切線pt，與ac交于t 易知 由弦切角定理，得 又是的一個外角 所以 又 從而有 即pc平分例3:已知, o1和o2外切于a,直線bc切o1于b,切 o2于c。 求證：abac(人教版課本p87例4） 分析1：口訣“兩個相切圓不離公切線”,過a作兩圓的公切線,則1=2, 3=4,又1+2+3+4=180,則2+3=90即abac。分析2： 口訣“兩圓三圓連心線”，連結(jié)o1o2、o1b、o2c,則點a在o1o2上,易知o1bo2c,

15、顯然1+2=90,故abac1.相切兩圓常添公切線作輔助線.例2 如圖2,已知o1、o2外切于點p，a是o1上一點，直線ac切o2于點c，交o1一點b，直線ap交o2于點d .(1)求證:pc平分bpd;(2)將“o1與o2外切于點p”改為“o1、o2內(nèi)切于點p”，其它條件不變，中的結(jié)論是否仍然成立？畫出圖形并證明你的結(jié)論(武漢市中考題）.adqo2o1cb圖2adpo1cb圖3mp 證明:(1)過p點作兩圓公切線pq qpc=pcq,qpb=a, cpd=a+qcp，cpd=cpb, 即pc平分bpd(2)上述結(jié)論仍然成立.如圖3,過點p作兩圓公切線pm,則mpb=a.bpc=mpcmpb=

16、bcpa=cpa, pc平分bpd.說明:作公切線的“公”字聯(lián)系了小圓弦切角與大圓弦切角.2、遇到三個圓兩兩外切時 兩圓三圓連心線常常作每兩個圓的連心線。 作用：可利用連心線性質(zhì)。3.兩圓三圓時常作連心線作為輔助線例3 如圖4,施工工地水平地面上有三根外徑都是1米的水泥管,兩兩外切堆放在一起,則最高點到地面距離是_(遼寧省中考題).解:連o1o2、o2o3、o3o1，過o1作ao1o2o3交o1于a，交o2o3于b圖4ao1o2o3bo1、o2、o3是等圓, o1o2o3是等邊三角形. 說明:三圓兩兩相切時作連心線后注意挑選直角三角形解題.十七遇到四邊形對角互補或兩個三角形同底并在底的同向且有

17、相等“頂角”時常常添加輔助圓。 作用：以便利用圓的性質(zhì)。 過小圓圓心作大圓半徑的垂線 有關(guān)公切線問題常過小圓的圓心作大圓半徑的垂線，構(gòu)造直角三角形。 例5. 如圖6，o1與o2外切于點o，兩外公切線pcd和pba切o1、o2于點c、d、b、a，且其夾角為，求兩圓的半徑。圖6 分析：如圖6，連結(jié)o1o2、o1a、o2b，過點o2作，構(gòu)造，下面很容易求出結(jié)果。十八相交兩圓中至少有一個圓經(jīng)過另一個圓的圓心，遇到這類問題，常用的輔助線是連結(jié)過交點的半徑paqbo2o1.圖 10例10 如圖10，o1與o2相交于a、b兩點，且o2在o1上，點p在o1上，點q在o2上，若apb=40，求aqb的度數(shù)。分析 連結(jié)o2a、o2b，在o1中利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求得ao2b=140，在o2中，aqb=1/2ao2b=70。切點三角形是直角三角形的應(yīng)用.例4 如圖5,o1與o2外切于點c, o1與o2連心線與公切線交于p,外公切線與兩圓切點分別為a、b,且a=4,bc=5.paqbo1o2c12圖5(1)求線段ab長；(2)證明：pc2=papb.(2002年杭州市中考題)解：(1)過c作兩圓公切線cq,交ab于qqa=qc=qb=ab acb=90ac=4