2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第六講幾何概型學(xué)案新人教版

1、第六講幾何概型知識梳理雙基自測知識點一幾何概型的定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的_長度(面積或體積)_成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型知識點二幾何概型的特點(1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個；(2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性知識點三幾何概型的概率公式p(a)_.知識點四隨機模擬方法(1)使用計算機或者其他方式進行的模擬試驗，通過這個試驗求出隨機事件的概率的近似值的方法就是模擬方法(2)用計算機或計算器模擬試驗的方法為隨機模擬方法這個方法的基本步驟是：用計算器或計算機產(chǎn)生某個范圍內(nèi)的隨機數(shù)，并賦予每個隨機數(shù)一定的意義；統(tǒng)計代表某意義

2、的隨機數(shù)的個數(shù)m和總的隨機數(shù)個數(shù)n；計算頻率fn(a)作為所求概率的近似值幾種常見的幾何概型(1)與長度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個連續(xù)的變量有關(guān)(2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題(3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題題組一走出誤區(qū)1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率是零()(2)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到

3、的機會相等()(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形()(4)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率()(5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)()(6)從區(qū)間1,10內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是p.()題組二走進教材2(p140t1)有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應(yīng)選擇的游戲盤是(a)解析p(a)，p(b)，p(c)，p(d)，p(a)p(c)p(d)p(b)故選a3(p146b組t4)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為d，在區(qū)域d內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是(d)ab

4、cd解析如圖所示，正方形oabc及其內(nèi)部為不等式組表示的平面區(qū)域d，且區(qū)域d的面積為4，而陰影部分(不包括)表示的是區(qū)域d內(nèi)到坐標原點的距離大于2的區(qū)域易知該陰影部分的面積為4.因此滿足條件的概率是，故選d題組三走向高考4(2017全國)如圖，正方形abcd內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是(b)abcd解析不妨設(shè)正方形abcd的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得s正方形4.由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，得s黑s白s圓，所以由幾何概型知，所求概率p.故選b5(

5、2019全國)在rtabc中，abbc，在bc邊上隨機取點p，則bap30的概率為(b)abcd解析在rtabc中，abbc，rtabc為等腰直角三角形，令abbc1，則ac；在bc邊上隨機取點p，當bap30時，bptan 30，在bc邊上隨機取點p，則bap30的概率為：p，故選b考點突破互動探究考點一與長度有關(guān)的幾何概型自主練透例1 (1)(2021山西運城模擬)某單位試行上班刷卡制度，規(guī)定每天8：30上班，有15分鐘的有效刷卡時間(即8：158：30)，一名職工在7：50到8：30之間到單位且到達單位的時刻是隨機的，則他能正常刷卡上班的概率是(d)abcd(2)(2021福建龍巖質(zhì)檢)

6、在區(qū)間上隨機取一個實數(shù)x，使cos x的概率為(b)abcd(3)(2020山東省青島市模擬)已知圓c：x2y21和直線l：yk(x2)，在(，)上隨機選取一個數(shù)k，則事件“直線l與圓c相交”發(fā)生的概率為(c)abcd解析(1)一名職工在7：50到8：30之間到單位，刷卡時間長度為40分鐘，但有效刷卡時間是8：158：30共15分鐘，由測度比為長度比可得，該職工能正常刷卡上班的概率p.故選d(2)由ycos x在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則不等式cos x在區(qū)間上的解為x，故cos x的概率為.(3)直線l與c相交1k.所求概率p.故選c引申本例(3)中“圓上到直線l的距離為的點有4個”發(fā)

7、生的概率為_.解析圓上到直線l的距離為的點有4個圓心到直線l的距離小于k，所求概率p.名師點撥與長度有關(guān)的幾何概型如果試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計算公式為p(a).變式訓(xùn)練1(1)(2017江蘇卷)記函數(shù)f(x)的定義域為d在區(qū)間4,5上隨機取一個數(shù)x，則xd的概率是_.(2)(2021河南豫北名校聯(lián)盟精英對抗賽)已知函數(shù)f(x)sin xcos x，當x0，時，f(x)1的概率為(d)abcd解析(1)dx|6xx202,3，所求概率p.(2)由f(x)2sin1，x0，得x，所求概率p，故選d考點二與面積有關(guān)的幾何概型師生共研角度1與平面圖形有關(guān)的問題例2 (1

8、)(2021河南商丘、周口、駐馬店聯(lián)考)如圖，ac，bd上分別是大圓o的兩條相互垂直的直徑，4個小圓的直徑分別為oa，ob，oc，od，若向大圓內(nèi)部隨機投擲一點，則該點落在陰影部分的概率為(d)abcd(2)設(shè)復(fù)數(shù)z(x1)yi(x，yr)，若|z|1，則yx的概率為(c)abcd解析(1)不妨設(shè)大圓的半徑為2，則大圓的面積為4，小圓的半徑為1，如圖，設(shè)圖中陰影部分面積為s，由圖形的對稱性知，s陰影8s.又s1221，則所求概率為，故選d(2)|z|1，(x1)2y21，其幾何意義表示為以(1,0)為圓心，1為半徑的圓面，如圖所示，而yx所表示的區(qū)域如圖中陰影部分，故p.引申本例(1)中圖形改

9、成下圖，則此點取自圖中陰影部分的概率為_.解析不妨設(shè)大圓的半徑為2，則小圓的半徑為1，所求概率p.角度2與線性規(guī)劃交匯的問題例3 在滿足不等式組的平面點集中隨機取一點m(x0，y0)，設(shè)事件a為“y02x0”，那么事件a發(fā)生的概率是(b)abcd解析如圖所示，不等式組表示的平面區(qū)域為abc且a(1,2)，b(1,0)，c(3,0)，顯然直線l：y2x過a且與x軸交于o，所求概率p.選b名師點撥解決與面積有關(guān)的幾何概型的方法求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的幾何元素，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解變式訓(xùn)練2(1)(202

10、1唐山模擬)右圖是一個邊長為4的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲400個點，其中落入黑色部分的有225個點，據(jù)此可估計黑色部分的面積為(b)a8b9c10d12(2)(2021四川模擬)以正三角形的頂點為圓心，其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形，它是具有類似于圓的“等寬性”曲線，由德國機械工程專家、數(shù)學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)如圖，d，e，f為正三角形abc各邊中點，作出正三角形def的勒洛三角形def(陰影部分)，若在abc中隨機取一點，則該點取自于該勒洛三角形部分的概率為(c)abcd解析(1)根據(jù)面積之比與點數(shù)之比相等的關(guān)系，得黑色部分

11、的面積s449，故選b(2)設(shè)abc的邊長為2，則正def邊長為1，以d為圓心的扇形面積是，def的面積是11，勒洛三角形的面積為3個扇形面積減去2個正三角形面積，即圖中勒洛三角形面積為3，abc面積為，所求概率p.故選c考點三與體積有關(guān)的幾何概型師生共研例4 (1)(2021山西省模擬)以正方體各面中心為頂點構(gòu)成一個幾何體，從正方體內(nèi)任取一點p，則p落在該幾何體內(nèi)的概率為(c)abcd(2)(2020江西撫州臨川一中期末)已知三棱錐sabc，在該三棱錐內(nèi)任取一點p，則使vpabcvsabc的概率為(d)abcd解析(1)如圖以正方體各面中心為頂點的幾何體是由兩同底正四棱錐拼成，不妨設(shè)正方體棱

12、長為2，則gh，所求概率p，故選c(2)作出s在底面abc的射影為o，若vpabcvsabc，則三棱錐pabc的高等于so，p點落在平面efd上，且，所以，故vsefdvsabc，vpabcvsabc的概率p1.故選d名師點撥求解與體積有關(guān)問題的注意點對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的問題常轉(zhuǎn)化為其對立事件的概率問題求解變式訓(xùn)練3一只蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為(c)abcd解析由已知條件可知，蜜蜂只能在以正方

13、體的中心為中心棱長為1的小正方體內(nèi)飛行，結(jié)合幾何概型可得蜜蜂“安全飛行”的概率為p.引申若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體8個頂點的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為_1_.解析所求概率p1.考點四與角度有關(guān)的幾何概型師生共研例5 (1)(2021南崗區(qū)校級模擬)已知正方形abcd的邊長為，以a為頂點在bad內(nèi)部作射線ap，射線ap與正方形abcd的邊交于點m，則am2的概率為(d)abcd(2)在等腰rtabc中，過直角頂點c在acb內(nèi)作一條射線cd與線段ab交于點d，則adac的概率為_.解析(1)正方形abcd的邊長為，以a為頂點在bad內(nèi)部作射線ap，射線ap

14、與正方形abcd的邊交于點m，如圖所示：己知adabbccd，dm 1，所以am2.所以dam.根據(jù)陰影的對稱性，故p(am2)，故選d(2)在ab上取acac，則acc67.5.設(shè)事件a在acb內(nèi)部作一條射線cd，與線段ab交于點d，adac則所有可能結(jié)果的區(qū)域角度為90，事件a的區(qū)域角度為67.5，p(a).名師點撥與角度有關(guān)的幾何概型的求解方法(1)若試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度來表示，則其概率公式為p(a).(2)解決此類問題時注意事件的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域及所求事件的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，然后再利用公式計算變式訓(xùn)練4(1)(2021山西太原一模)如圖，四邊形abcd為矩形，a

15、b，bc1，在dab內(nèi)任作射線ap，則射線ap與線段bc有公共點的概率為_.(2)如圖所示，在abc中，b60，c45，高ad，在bac內(nèi)作射線am交bc于點m，則bm1的概率為_.解析(1)當點p在bc上時，ap與bc有公共點，此時ap掃過abc，所以所求事件的概率p.(2)因為b60，c45，所以bac75，在rtabd中，ad，b60，所以bd1，bad30.記事件n為“在bac內(nèi)作射線am交bc于點m，使bm1”，則可得bam3的概率p.故選a(2)以6點作為計算時間的起點，設(shè)甲到的時間為x，乙到的時間為y，則基本事件空間是(x，y)|0x1,0y1，事件對應(yīng)的平面區(qū)域的面積s1，設(shè)滿足條件的事件對應(yīng)的平面區(qū)域是a，則a(x，y)|0x1,0y1，yx，且yx，其對應(yīng)的區(qū)域如圖中陰影部分所示，則b(0，)，d(，1)，c(0,1)，則事件a對應(yīng)的平面區(qū)域的面積是111，根據(jù)幾何概型的概率計算公式得p.名師點撥生活中的幾何概型度量區(qū)域的構(gòu)造方法：(1)審題：通過閱讀題目，提煉相關(guān)信息(2)建模：利用相關(guān)信息的特征，建立概率模型(3)解模：求解建立的數(shù)學(xué)模型(4)