2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第六講幾何概型學(xué)案新人教版

1、第六講幾何概型知識梳理雙基自測知識點(diǎn)一幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的_長度(面積或體積)_成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型知識點(diǎn)二幾何概型的特點(diǎn)(1)無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性知識點(diǎn)三幾何概型的概率公式p(a)_.知識點(diǎn)四隨機(jī)模擬方法(1)使用計(jì)算機(jī)或者其他方式進(jìn)行的模擬試驗(yàn)，通過這個(gè)試驗(yàn)求出隨機(jī)事件的概率的近似值的方法就是模擬方法(2)用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法為隨機(jī)模擬方法這個(gè)方法的基本步驟是：用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的意義；統(tǒng)計(jì)代表某意義

2、的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)m和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)n；計(jì)算頻率fn(a)作為所求概率的近似值幾種常見的幾何概型(1)與長度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)(2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題(3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題題組一走出誤區(qū)1判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊?(1)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零()(2)幾何概型中，每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到

3、的機(jī)會相等()(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形()(4)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率()(5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)()(6)從區(qū)間1,10內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是p.()題組二走進(jìn)教材2(p140t1)有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會，應(yīng)選擇的游戲盤是(a)解析p(a)，p(b)，p(c)，p(d)，p(a)p(c)p(d)p(b)故選a3(p146b組t4)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)閐，在區(qū)域d內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是(d)ab

4、cd解析如圖所示，正方形oabc及其內(nèi)部為不等式組表示的平面區(qū)域d，且區(qū)域d的面積為4，而陰影部分(不包括)表示的是區(qū)域d內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域易知該陰影部分的面積為4.因此滿足條件的概率是，故選d題組三走向高考4(2017全國)如圖，正方形abcd內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是(b)abcd解析不妨設(shè)正方形abcd的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得s正方形4.由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，得s黑s白s圓，所以由幾何概型知，所求概率p.故選b5(

5、2019全國)在rtabc中，abbc，在bc邊上隨機(jī)取點(diǎn)p，則bap30的概率為(b)abcd解析在rtabc中，abbc，rtabc為等腰直角三角形，令abbc1，則ac；在bc邊上隨機(jī)取點(diǎn)p，當(dāng)bap30時(shí)，bptan 30，在bc邊上隨機(jī)取點(diǎn)p，則bap30的概率為：p，故選b考點(diǎn)突破互動(dòng)探究考點(diǎn)一與長度有關(guān)的幾何概型自主練透例1 (1)(2021山西運(yùn)城模擬)某單位試行上班刷卡制度，規(guī)定每天8：30上班，有15分鐘的有效刷卡時(shí)間(即8：158：30)，一名職工在7：50到8：30之間到單位且到達(dá)單位的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他能正常刷卡上班的概率是(d)abcd(2)(2021福建龍巖質(zhì)檢)

6、在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，使cos x的概率為(b)abcd(3)(2020山東省青島市模擬)已知圓c：x2y21和直線l：yk(x2)，在(，)上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線l與圓c相交”發(fā)生的概率為(c)abcd解析(1)一名職工在7：50到8：30之間到單位，刷卡時(shí)間長度為40分鐘，但有效刷卡時(shí)間是8：158：30共15分鐘，由測度比為長度比可得，該職工能正常刷卡上班的概率p.故選d(2)由ycos x在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則不等式cos x在區(qū)間上的解為x，故cos x的概率為.(3)直線l與c相交1k.所求概率p.故選c引申本例(3)中“圓上到直線l的距離為的點(diǎn)有4個(gè)”發(fā)

7、生的概率為_.解析圓上到直線l的距離為的點(diǎn)有4個(gè)圓心到直線l的距離小于k，所求概率p.名師點(diǎn)撥與長度有關(guān)的幾何概型如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計(jì)算公式為p(a).變式訓(xùn)練1(1)(2017江蘇卷)記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閐在區(qū)間4,5上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則xd的概率是_.(2)(2021河南豫北名校聯(lián)盟精英對抗賽)已知函數(shù)f(x)sin xcos x，當(dāng)x0，時(shí)，f(x)1的概率為(d)abcd解析(1)dx|6xx202,3，所求概率p.(2)由f(x)2sin1，x0，得x，所求概率p，故選d考點(diǎn)二與面積有關(guān)的幾何概型師生共研角度1與平面圖形有關(guān)的問題例2 (1

8、)(2021河南商丘、周口、駐馬店聯(lián)考)如圖，ac，bd上分別是大圓o的兩條相互垂直的直徑，4個(gè)小圓的直徑分別為oa，ob，oc，od，若向大圓內(nèi)部隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為(d)abcd(2)設(shè)復(fù)數(shù)z(x1)yi(x，yr)，若|z|1，則yx的概率為(c)abcd解析(1)不妨設(shè)大圓的半徑為2，則大圓的面積為4，小圓的半徑為1，如圖，設(shè)圖中陰影部分面積為s，由圖形的對稱性知，s陰影8s.又s1221，則所求概率為，故選d(2)|z|1，(x1)2y21，其幾何意義表示為以(1,0)為圓心，1為半徑的圓面，如圖所示，而yx所表示的區(qū)域如圖中陰影部分，故p.引申本例(1)中圖形改

9、成下圖，則此點(diǎn)取自圖中陰影部分的概率為_.解析不妨設(shè)大圓的半徑為2，則小圓的半徑為1，所求概率p.角度2與線性規(guī)劃交匯的問題例3 在滿足不等式組的平面點(diǎn)集中隨機(jī)取一點(diǎn)m(x0，y0)，設(shè)事件a為“y02x0”，那么事件a發(fā)生的概率是(b)abcd解析如圖所示，不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)閍bc且a(1,2)，b(1,0)，c(3,0)，顯然直線l：y2x過a且與x軸交于o，所求概率p.選b名師點(diǎn)撥解決與面積有關(guān)的幾何概型的方法求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的幾何元素，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解變式訓(xùn)練2(1)(202

10、1唐山模擬)右圖是一個(gè)邊長為4的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲400個(gè)點(diǎn)，其中落入黑色部分的有225個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為(b)a8b9c10d12(2)(2021四川模擬)以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形，它是具有類似于圓的“等寬性”曲線，由德國機(jī)械工程專家、數(shù)學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)如圖，d，e，f為正三角形abc各邊中點(diǎn)，作出正三角形def的勒洛三角形def(陰影部分)，若在abc中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自于該勒洛三角形部分的概率為(c)abcd解析(1)根據(jù)面積之比與點(diǎn)數(shù)之比相等的關(guān)系，得黑色部分

11、的面積s449，故選b(2)設(shè)abc的邊長為2，則正def邊長為1，以d為圓心的扇形面積是，def的面積是11，勒洛三角形的面積為3個(gè)扇形面積減去2個(gè)正三角形面積，即圖中勒洛三角形面積為3，abc面積為，所求概率p.故選c考點(diǎn)三與體積有關(guān)的幾何概型師生共研例4 (1)(2021山西省模擬)以正方體各面中心為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)幾何體，從正方體內(nèi)任取一點(diǎn)p，則p落在該幾何體內(nèi)的概率為(c)abcd(2)(2020江西撫州臨川一中期末)已知三棱錐sabc，在該三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)p，則使vpabcvsabc的概率為(d)abcd解析(1)如圖以正方體各面中心為頂點(diǎn)的幾何體是由兩同底正四棱錐拼成，不妨設(shè)正方體棱

12、長為2，則gh，所求概率p，故選c(2)作出s在底面abc的射影為o，若vpabcvsabc，則三棱錐pabc的高等于so，p點(diǎn)落在平面efd上，且，所以，故vsefdvsabc，vpabcvsabc的概率p1.故選d名師點(diǎn)撥求解與體積有關(guān)問題的注意點(diǎn)對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的問題常轉(zhuǎn)化為其對立事件的概率問題求解變式訓(xùn)練3一只蜜蜂在一個(gè)棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為(c)abcd解析由已知條件可知，蜜蜂只能在以正方

13、體的中心為中心棱長為1的小正方體內(nèi)飛行，結(jié)合幾何概型可得蜜蜂“安全飛行”的概率為p.引申若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體8個(gè)頂點(diǎn)的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為_1_.解析所求概率p1.考點(diǎn)四與角度有關(guān)的幾何概型師生共研例5 (1)(2021南崗區(qū)校級模擬)已知正方形abcd的邊長為，以a為頂點(diǎn)在bad內(nèi)部作射線ap，射線ap與正方形abcd的邊交于點(diǎn)m，則am2的概率為(d)abcd(2)在等腰rtabc中，過直角頂點(diǎn)c在acb內(nèi)作一條射線cd與線段ab交于點(diǎn)d，則adac的概率為_.解析(1)正方形abcd的邊長為，以a為頂點(diǎn)在bad內(nèi)部作射線ap，射線ap

14、與正方形abcd的邊交于點(diǎn)m，如圖所示：己知adabbccd，dm 1，所以am2.所以dam.根據(jù)陰影的對稱性，故p(am2)，故選d(2)在ab上取acac，則acc67.5.設(shè)事件a在acb內(nèi)部作一條射線cd，與線段ab交于點(diǎn)d，adac則所有可能結(jié)果的區(qū)域角度為90，事件a的區(qū)域角度為67.5，p(a).名師點(diǎn)撥與角度有關(guān)的幾何概型的求解方法(1)若試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度來表示，則其概率公式為p(a).(2)解決此類問題時(shí)注意事件的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域及所求事件的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，然后再利用公式計(jì)算變式訓(xùn)練4(1)(2021山西太原一模)如圖，四邊形abcd為矩形，a

15、b，bc1，在dab內(nèi)任作射線ap，則射線ap與線段bc有公共點(diǎn)的概率為_.(2)如圖所示，在abc中，b60，c45，高ad，在bac內(nèi)作射線am交bc于點(diǎn)m，則bm1的概率為_.解析(1)當(dāng)點(diǎn)p在bc上時(shí)，ap與bc有公共點(diǎn)，此時(shí)ap掃過abc，所以所求事件的概率p.(2)因?yàn)閎60，c45，所以bac75，在rtabd中，ad，b60，所以bd1，bad30.記事件n為“在bac內(nèi)作射線am交bc于點(diǎn)m，使bm1”，則可得bam3的概率p.故選a(2)以6點(diǎn)作為計(jì)算時(shí)間的起點(diǎn)，設(shè)甲到的時(shí)間為x，乙到的時(shí)間為y，則基本事件空間是(x，y)|0x1,0y1，事件對應(yīng)的平面區(qū)域的面積s1，設(shè)滿足條件的事件對應(yīng)的平面區(qū)域是a，則a(x，y)|0x1,0y1，yx，且yx，其對應(yīng)的區(qū)域如圖中陰影部分所示，則b(0，)，d(，1)，c(0,1)，則事件a對應(yīng)的平面區(qū)域的面積是111，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得p.名師點(diǎn)撥生活中的幾何概型度量區(qū)域的構(gòu)造方法：(1)審題：通過閱讀題目，提煉相關(guān)信息(2)建模：利用相關(guān)信息的特征，建立概率模型(3)解模：求解建立的數(shù)學(xué)模型(4)