2022版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練四十八利用向量求空間角課時(shí)作業(yè)理含解析新人教A版

1、課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練四十八利用向量求空間角 一、選擇題(每小題5分,共25分)1.如圖,點(diǎn)a,b,c分別在空間直角坐標(biāo)系o-xyz的三條坐標(biāo)軸上, =(0,0,2),平面abc的法向量為n=(2,1,2),設(shè)二面角c-ab-o的大小為,則cos =() a.- b. c. d.- 【解析】選c.因?yàn)辄c(diǎn)a,b,c分別在空間直角坐標(biāo)系o-xyz的三條坐標(biāo)軸上, =(0,0,2),平面abc的法向量為n=(2,1,2),二面角c-ab-o的大小為,所以cos = = = .2.在空間直角坐標(biāo)系o-xyz中,平面oab的一個(gè)法向量為n=(2,-2,1),已知點(diǎn)p(-1,3,2),則點(diǎn)p到平面oab的距離d等

2、于()a.4b.2c.3d.1【解析】選b.由已知,平面oab的一條斜線的方向向量 =(-1,3,2),所以點(diǎn)p到平面oab的距離d=| |cos|= = =2.3.在正方體abcd-a1b1c1d1中,點(diǎn)e為bb1的中點(diǎn),則平面a1ed與平面abcd夾角的余弦值為()a. b. c. d. 【解析】選b.以a為原點(diǎn),ab,ad,aa1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)棱長(zhǎng)為1,則a1(0,0,1),e(1,0, ),d(0,1,0),所以 =(0,1,-1), = .設(shè)平面a1ed的一個(gè)法向量為n1=(1,y,z),則有 即 所以 所以n1=(1,2,2).因?yàn)?/p>

3、平面abcd的一個(gè)法向量為n2=(0,0,1),所以|cos|= = ,即平面a1ed與平面abcd夾角的余弦值為 .4.如圖,在直三棱柱abc-a1b1c1中,ab=1,ac=2,bc= ,d,e分別是ac1和bb1的中點(diǎn),則直線de與平面bb1c1c所成的角為()a. b. c. d. 【解析】選a.因?yàn)閍b=1,ac=2,bc= ,ac2=bc2+ab2,所以abbc.因?yàn)槿庵鶠橹比庵?所以bb1平面abc.以b為原點(diǎn),bc,ba,bb1所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系b-xyz,則a(0,1,0),c( ,0,0).設(shè)b1(0,0,a),則c1( ,0,

4、a), 所以d ,e ,所以 = ,平面bb1c1c的法向量 =(0,1,0).設(shè)直線de與平面bb1c1c所成的角為,則sin =|cos|= ,所以= .5.如圖,在直三棱柱abc-a1b1c1中,acb=90,2ac=aa1=bc=2.若二面角b1-dc-c1的大小為60,則ad的長(zhǎng)為()a. b. c.2d. 【解析】選a.如圖,以c為坐標(biāo)原點(diǎn),ca,cb,cc1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則c(0,0,0),a(1,0,0),b1(0,2,2),c1(0,0,2).設(shè)ad=a,則d點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0,a), =(1,0,a), =(0,2,2).設(shè)平面b1cd的法

5、向量為m=(x,y,z).由 ,得 令z=-1,則m=(a,1,-1).又平面c1dc的一個(gè)法向量為n=(0,1,0),則由cos 60= ,得 = ,解得a= ,(負(fù)值舍去),所以ad= .二、填空題(每小題5分,共15分)6.如圖,在正方形abcd中,efab,若沿ef將正方形折成一個(gè)二面角后,aeedad=11 ,則af與ce所成角的余弦值為.【解析】因?yàn)檎酆骯eedad=11 ,所以aeed,即ae,de,ef兩兩垂直,所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)ab=ef=cd=2,則e(0,0,0),a(1,0,0),f(0,2,0),c(0,2,1),所以 =(-1,2,0), =(0,

6、2,1),所以cos= = = ,所以af與ce所成角的余弦值為 .答案: 7.如圖,菱形abcd中,abc=60,ac與bd相交于點(diǎn)o,ae平面abcd,cfae,ab=2,cf=3.若直線of與平面bed所成的角為45,則ae=.【解析】如圖,以o為坐標(biāo)原點(diǎn),以oa,ob所在直線分別為x軸,y軸,以過點(diǎn)o且平行于cf的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)ae=a,則b(0, ,0),d(0,- ,0),f(-1,0,3),e(1,0,a),所以 =(-1,0,3), =(0,2 ,0), =(-1, ,-a).設(shè)平面bed的法向量為n=(x,y,z),則 即 則y=0,令z=1,得x=-a,所

7、以n=(-a,0,1),所以cos= = .因?yàn)橹本€of與平面bed所成角的大小為45,所以 = ,解得a=2或a=- (舍去),所以ae=2.答案:28.設(shè)正方體abcd-a1b1c1d1的棱長(zhǎng)為2,則點(diǎn)d1到平面a1bd的距離是.【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則d1(0,0,2),a1(2,0,2),d(0,0,0),b(2,2,0),所以 =(2,0,0), =(2,0,2), =(2,2,0).設(shè)平面a1bd的一個(gè)法向量n=(x,y,z),則 .令x=1,則n=(1,-1,-1),所以點(diǎn)d1到平面a1bd的距離d= = = .答案: 三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,在三

8、棱柱abc-a1b1c1中,b1c1平面aa1c1c,d是aa1的中點(diǎn),acd是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形. (1)求證:cdb1d;(2)若bc= ,求二面角b-c1d-b1的大小.【解析】(1)因?yàn)閍cd是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,所以cd=1,a1d=a1c1=1,da1c1= ,所以c1d= ,因?yàn)閏c1=2,所以c =c1d2+cd2,所以cddc1,因?yàn)閎1c1平面aa1c1c,cd平面aa1c1c,所以cdb1c1,因?yàn)閐c1,b1c1為平面b1c1d內(nèi)兩相交直線,所以cd平面b1c1d,因?yàn)閎1d平面b1c1d,所以cdb1d;(2)以d為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以dc1,dc,過d平行bc的直線

9、為x軸,y軸,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則d(0,0,0),c1( ,0,0),b1( ,0, ),b(0,1, ),設(shè)平面bc1d的一個(gè)法向量為n1=(x,y,z),平面c1db1的一個(gè)法向量為n2=(x1,y1,z1),由 得 所以x=0,令z=1,所以y=- ,所以n1=(0,- ,1),由 得 所以x1=z1=0,令y1=1,所以n2=(0,1,0),所以cos= = =- ,所以= ,因?yàn)槎娼莃-c1d-b1為銳二面角,所以二面角b-c1d-b1為 .10.如圖甲,將直角邊長(zhǎng)為 的等腰直角三角形abc,沿斜邊上的高ad翻折.如圖乙,使二面角b-ad-c的大小為 ,翻折后bc的

10、中點(diǎn)為m.(1)求證:bc平面adm;(2)求二面角d-ab-c的余弦值.【解析】(1)折疊前ab=ac,ad是斜邊上的高,所以d是bc的中點(diǎn),所以bd=cd,又因?yàn)檎郫B后m是bc的中點(diǎn),所以dmbc,折疊后ab=ac,所以ambc,又因?yàn)閍mdm=m,所以bc平面adm;(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系, 易知二面角b-ad-c的平面角是bdc,則bd=bc=cd=ad=1,所以a(0,0,1),b ,c(0,1,0),d(0,0,0,),設(shè)平面abd的一個(gè)法向量為n1=(x,y,z)得 ,即 ,令x=1,得n1=(1,- ,0),設(shè)平面abc的一個(gè)法向量n2=(x1,y1,z1),得 即 ,令

11、z1=1,得n2= ,所以cos= = =- ,所以二面角d-ab-c的余弦值是 . 1.(5分)如圖所示的三棱錐p-abc中,d是棱pb的中點(diǎn),已知pa=bc=2,ab=4,cbab,pa平面abc,則異面直線pc,ad所成角的余弦值為()a.- b.- c. d. 【解析】選d.因?yàn)閜a平面abc,所以paab,pabc.過點(diǎn)a作aecb,又cbab,則ap,ab,ae兩兩垂直.如圖所示,以a為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以ab,ae,ap所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則a(0,0,0),p(0,0,2),b(4,0,0),c(4,-2,0). 因?yàn)閐為pb的中點(diǎn),所以d(2,0,1).

12、故 =(-4,2,2), =(2,0,1).所以cos= = = =- .設(shè)異面直線pc,ad所成的角為,則cos =|cos|= .2.(5分)在三棱錐p-abc中,pa平面abc,bac=90,d,e,f分別是棱ab,bc,cp的中點(diǎn),ab=ac=1,pa=2,則直線pa與平面def所成角的正弦值為()a. b. c. d. 【解析】選c.以a為原點(diǎn),ab,ac,ap所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由ab=ac=1,pa=2,得a(0,0,0),b(1,0,0),c(0,1,0),p(0,0,2),d ,e ,f ,所以 =(0,0,-2), = , = .設(shè)平面def的

13、法向量為n=(x,y,z),則由 得 取z=1,則n=(2,0,1),設(shè)pa與平面def所成的角為,則sin = = ,所以pa與平面def所成角的正弦值為 .3.(5分)(一題多解)已知點(diǎn)e,f分別在正方體abcd-a1b1c1d1的棱bb1,cc1上,且b1e=2eb,cf=2fc1,則平面aef與平面abc所成的銳二面角的正切值為.【解析】方法一:延長(zhǎng)fe,cb相交于點(diǎn)g,連接ag,如圖所示.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3,則gb=bc=3,作bhag于點(diǎn)h,連接eh,則ehb為所求銳二面角的平面角.求得bh= ,eb=1,所以tanehb= = .方法二:如圖,以點(diǎn)d為坐標(biāo)原點(diǎn),da,dc,dd1

14、所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系d-xyz,設(shè)da=1,由已知條件得a(1,0,0),e ,f , = , = ,設(shè)平面aef的法向量為n=(x,y,z),平面aef與平面abc所成的銳二面角為,由 得 令y=1,z=-3,x=-1,則n=(-1,1,-3),取平面abc的法向量為m=(0,0,-1),則cos =|cos|= ,tan = .答案: 4.(10分)(2020全國卷)如圖,在長(zhǎng)方體abcd-a1b1c1d1中,點(diǎn)e,f分別在棱dd1,bb1上,且2de=ed1,bf=2fb1.(1)證明:點(diǎn)c1在平面aef內(nèi);(2)若ab=2,ad=1,aa1=3,求二面角a

15、-ef-a1的正弦值.【命題意圖】本題考查點(diǎn)在平面的證明,同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角,考查推理能力與計(jì)算能力.【解析】(1)在棱cc1上取點(diǎn)g,使得c1g= cg,連接dg,fg,c1e,c1f, 因?yàn)閏1g= cg,bf=2fb1,所以cg= cc1= bb1=bf且cgbf,所以,四邊形bcgf為平行四邊形,所以bcgf,在長(zhǎng)方體abcd-a1b1c1d1中,adbc,所以adgf,所以四邊形adgf為平行四邊形.則afdg,同理可證四邊形dec1g為平行四邊形,所以c1edg,所以c1eaf,則四邊形aec1f為平行四邊形,因此點(diǎn)c1在平面aef內(nèi).(2)以點(diǎn)c1為坐標(biāo)原點(diǎn),c

16、1d1、c1b1、c1c所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則a 、a1 、e 、f , = , = , = , = ,設(shè)平面aef的法向量為m= ,由 ,得 ,取z1=-1,得x1=y1=1,則m= .設(shè)平面a1ef的法向量為n= ,由 ,得 ,取z2=2,得x2=1,y2=4,則n= ,cos= = = ,設(shè)二面角a-ef-a1的平面角為,則 = ,所以sin = = .因此,二面角a-ef-a1的正弦值為 .【加練備選拔高】(2021貴港模擬)如圖,直三棱柱abc-a1b1c1中,底面abc為等腰直角三角形,acb=90,aa1=2ac,p是側(cè)棱cc1上的點(diǎn).(1)

17、若apb=60,證明:p是cc1的中點(diǎn);(2)若cp=3pc1,求二面角b-ap-c的余弦值.【解析】(1)由直三棱柱abc-a1b1c1得c1c平面abc,所以c1cac,c1cbc,所以ap=bp,又apb=60,所以ap=bp=ab,又acb=90,所以ap=ab= ac,所以pc=ac= aa1= cc1,即p是cc1的中點(diǎn);(2)如圖,以c為坐標(biāo)原點(diǎn),ca,cb和cc1分別為x、y和z軸建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)ac=2,則a(2,0,0),b(0,2,0),p(0,0,3),所以 =(-2,2,0), =(-2,0,3),設(shè)平面bap的法向量為n=(x,y,z),則由 得 ,令x=3

18、,得y=3,z=2,所以n=(3,3,2),又平面cap的法向量為m=(0,1,0),所以cos= = = .由圖可知,二面角b-ap-c為銳二面角,故二面角b-ap-c的余弦值為 . 1.如圖,設(shè)動(dòng)點(diǎn)p在棱長(zhǎng)為1的正方體abcd-a1b1c1d1的對(duì)角線bd1上, =.當(dāng)apc為鈍角時(shí),的取值范圍是()a. b. c. d. 【解析】選d.由題設(shè)可知,以 , , 為單位正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系d-xyz,則有a(1,0,0),b(1,1,0),c(0,1,0),d1(0,0,1).由 =(1,1,-1),得 = =(,-),所以 = + =(-,-,)+(1,0,-1)=(1-,-,-1), = + =(-,-,)+(0,1,-1)=(-,1-,-1).顯然apc不是平角,所以apc為鈍角等價(jià)于cosapc=cos= 0,這等價(jià)于 0,即(1-)(-)+(-)(1-)+(-1)2=(-1)(3-1)0,得 1.因此,的取值范圍為 .2.在直角梯形abcd中,adbc,bc=2ad=2ab=2 ,abc=90,如圖所示,把a(bǔ)bd沿bd翻折,使得平面abd平面bcd,如圖所示.(1)求證:cdab;(2)若點(diǎn)