平面鑲嵌課件

1、請觀察請觀察,這些圖形在拼接時(shí)有什么特點(diǎn)這些圖形在拼接時(shí)有什么特點(diǎn)?如果你是設(shè)計(jì)師，如果你是設(shè)計(jì)師，讓你設(shè)計(jì)幾種地板讓你設(shè)計(jì)幾種地板圖案，你如何設(shè)計(jì)圖案，你如何設(shè)計(jì)呢？呢？平面圖形的密鋪（平面圖形的鑲嵌）平面圖形的密鋪（平面圖形的鑲嵌）: 用形狀和大小完全相同的一種或幾種用形狀和大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的圖形的密鋪密鋪，又稱平面圖形的，又稱平面圖形的鑲嵌鑲嵌.學(xué)一學(xué)學(xué)一學(xué) 密鋪的兩個(gè)條件：密鋪的兩個(gè)條件： 1、全等的、全等的一種或幾種平面圖形；一種或幾種平面圖形；

2、 2、無空隙、不重疊鋪成一片。、無空隙、不重疊鋪成一片。 探究探究哪些圖形可以密鋪，哪些圖形可以密鋪， 哪些圖形不可以密鋪？哪些圖形不可以密鋪？探究活動(dòng)（一）探究活動(dòng)（一）用形狀、大小完全相同的用形狀、大小完全相同的三角形能否密鋪？三角形能否密鋪？ 正三角形的平面鑲嵌正三角形的平面鑲嵌606060606060接點(diǎn)處的六個(gè)接點(diǎn)處的六個(gè)角和為角和為360結(jié)論：結(jié)論： 形狀、大小完全相同的任意形狀、大小完全相同的任意三角形能鑲嵌成平面圖形。三角形能鑲嵌成平面圖形。 通過探究我發(fā)現(xiàn)：通過探究我發(fā)現(xiàn)：1.1.任意全等的三角形都任意全等的三角形都_密鋪密鋪, ,2.2.在每個(gè)拼接點(diǎn)處有在每個(gè)拼接點(diǎn)處有_個(gè)

3、角，而這個(gè)角，而這_個(gè)角的和恰好是這個(gè)三角形的內(nèi)角和個(gè)角的和恰好是這個(gè)三角形的內(nèi)角和的的_倍，也就是它們的和為倍，也就是它們的和為_，可以可以六六六六兩兩360o 探究活動(dòng)（二）探究活動(dòng)（二）用同一種四邊形可以密嗎？用同一種四邊形可以密嗎？ 正方形的平面鑲嵌正方形的平面鑲嵌90結(jié)論：結(jié)論：形狀、大小相同的任意四邊形形狀、大小相同的任意四邊形能鑲嵌成平面圖形能鑲嵌成平面圖形通過探究我發(fā)現(xiàn)：通過探究我發(fā)現(xiàn)：1.1.任意全等的四邊形任意全等的四邊形_密鋪密鋪. .2.2.在每個(gè)拼接點(diǎn)處有在每個(gè)拼接點(diǎn)處有_個(gè)角，而這個(gè)角，而這_個(gè)角的和恰好是這個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)個(gè)角的和恰好是這個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角之角之_

4、,_,也就是它們的和為也就是它們的和為_. _. 可以可以四四四四和和360360能密鋪的圖形在一個(gè)拼接能密鋪的圖形在一個(gè)拼接點(diǎn)處的特點(diǎn)：點(diǎn)處的特點(diǎn)： 1.1.各角之和等于各角之和等于360360, , 2. 2.相等的邊互相重合。相等的邊互相重合。結(jié)論結(jié)論 1探究活動(dòng)（三）探究活動(dòng)（三） 2.2.正六邊形能密鋪嗎？說說理由。正六邊形能密鋪嗎？說說理由。 1.1.正五邊形能密鋪嗎？說說理由。正五邊形能密鋪嗎？說說理由。 3.3.還能找到能密鋪的其他圖形嗎？還能找到能密鋪的其他圖形嗎？做一做做一做正五邊形可以密鋪嗎？正五邊形可以密鋪嗎？123正六邊形可以密鋪嗎？正六邊形可以密鋪嗎？正六邊形的平面

5、鑲嵌正六邊形的平面鑲嵌120 120 120 能否能否 平面平面 鑲嵌鑲嵌 圖形圖形一個(gè)頂點(diǎn)周一個(gè)頂點(diǎn)周圍正多邊形圍正多邊形的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù) 能能能能能能正三角形正三角形正方形正方形正五邊形正五邊形正六邊形正六邊形643不能不能還能找到能密鋪的其他正多邊形嗎？還能找到能密鋪的其他正多邊形嗎？ 要用正多邊形鑲嵌成一個(gè)平面的關(guān)鍵是看：這要用正多邊形鑲嵌成一個(gè)平面的關(guān)鍵是看：這種正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的倍數(shù)是否是種正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的倍數(shù)是否是360，在正多邊形里，正三角形的每個(gè)內(nèi)角都是在正多邊形里，正三角形的每個(gè)內(nèi)角都是60，正四邊形的每個(gè)內(nèi)角都是正四邊形的每個(gè)內(nèi)角都是90，正六邊形的每，正六邊形的每個(gè)內(nèi)

6、角都是個(gè)內(nèi)角都是120，這三種多邊形的一個(gè)內(nèi)角，這三種多邊形的一個(gè)內(nèi)角的倍數(shù)都是的倍數(shù)都是360，而其他的正多邊形的每個(gè)，而其他的正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的倍數(shù)都不是內(nèi)角的倍數(shù)都不是360，所以說：在正多邊，所以說：在正多邊形里只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以形里只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以密鋪，而其他的正多邊形不可密鋪密鋪，而其他的正多邊形不可密鋪 解得解得僅用正多邊形進(jìn)行鑲嵌，要嵌成一個(gè)平面，必須要求僅用正多邊形進(jìn)行鑲嵌，要嵌成一個(gè)平面，必須要求在公共頂點(diǎn)上所有內(nèi)角和為在公共頂點(diǎn)上所有內(nèi)角和為360360度。令正多邊形的邊數(shù)為度。令正多邊形的邊數(shù)為n,n,個(gè)數(shù)為個(gè)數(shù)為m,m,則有則有

7、(2)180360nmn63mn44mn36mn結(jié)論結(jié)論1： 可以用同一種正多邊形密鋪的圖形只有可以用同一種正多邊形密鋪的圖形只有正三角形，正四邊形，正六邊形正三角形，正四邊形，正六邊形.結(jié)論結(jié)論2: 用一種用一種形狀、大小完全相同的三角形，四邊形形狀、大小完全相同的三角形，四邊形 也能進(jìn)行平面鑲嵌也能進(jìn)行平面鑲嵌正多邊形可以密鋪的條件：正多邊形可以密鋪的條件：每個(gè)內(nèi)角都能被每個(gè)內(nèi)角都能被360360o o 整除。整除。 1、下列多邊形一定不能進(jìn)行平面鑲嵌的是（、下列多邊形一定不能進(jìn)行平面鑲嵌的是（ ） a、三角形、三角形 b、正方形、正方形 c、任意四邊形、任意四邊形 d、正八邊形、正八邊形

8、2、用正方形一種圖形進(jìn)行平面鑲嵌時(shí)，在它的一個(gè)頂點(diǎn)周圍的、用正方形一種圖形進(jìn)行平面鑲嵌時(shí)，在它的一個(gè)頂點(diǎn)周圍的正方形的個(gè)數(shù)是（正方形的個(gè)數(shù)是（ ） a、 3 b 、4 c、5 d 、63、如果只用一種正多邊形作平面鑲嵌，而且在每一個(gè)正多邊形的、如果只用一種正多邊形作平面鑲嵌，而且在每一個(gè)正多邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)周圍都有每一個(gè)頂點(diǎn)周圍都有6個(gè)正多邊形，則該正多邊形的邊數(shù)為（個(gè)正多邊形，則該正多邊形的邊數(shù)為（ ） a、3 b、4 c、5 d、6dba探究活動(dòng)探究活動(dòng)( (四四) ) - -創(chuàng)意空間創(chuàng)意空間用同一種平面圖形如果用同一種平面圖形如果不能密鋪不能密鋪, ,用兩種或者兩用兩種或者兩種以上平面圖

9、形能不能種以上平面圖形能不能密鋪呢密鋪呢? ?設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有m個(gè)正三角形，個(gè)正三角形，n個(gè)正個(gè)正方形的角，方形的角，360903602mmnn 注意：同一個(gè)組合會(huì)有注意：同一個(gè)組合會(huì)有不同的鑲嵌效果不同的鑲嵌效果則記作（則記作（3，3，3，4，4）設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有m個(gè)正三角形，個(gè)正三角形，n個(gè)正個(gè)正六邊形的角六邊形的角.4260120360,12mmmnnn （3，3， 3， 3，6）（3，3，6，6）1201206060圖案圖案（）圖案圖案（）60601206060每個(gè)頂點(diǎn)處正六邊形每個(gè)頂點(diǎn)處正六邊形1 1個(gè)，正三角形個(gè)，正三角形4 4個(gè)個(gè). .資料

10、資料1：用正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌只有以下這：用正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌只有以下這17組解。有書記載說明這組解。有書記載說明這17組解是組解是1924年一個(gè)叫年一個(gè)叫波爾亞的人給出的。實(shí)際上早在此之前，西班牙波爾亞的人給出的。實(shí)際上早在此之前，西班牙阿爾漢布拉宮的裝飾已經(jīng)一個(gè)不少地制出了這些阿爾漢布拉宮的裝飾已經(jīng)一個(gè)不少地制出了這些圖樣，真是令人嘆為觀止。圖樣，真是令人嘆為觀止。用正五邊形和什么多邊形能密鋪？用正五邊形和什么多邊形能密鋪？你知道嗎？你知道嗎？ 密鋪圖形奇妙而美麗，古往今來，不少藝術(shù)密鋪圖形奇妙而美麗，古往今來，不少藝術(shù)家都在這方面進(jìn)行過研究，其中最富有趣味的是家都在這方面進(jìn)行過研究，其

11、中最富有趣味的是荷蘭藝術(shù)家埃舍爾，他到西班牙旅行參觀時(shí)，對荷蘭藝術(shù)家埃舍爾，他到西班牙旅行參觀時(shí)，對一種名為阿罕伯拉宮的建筑有很深刻的印象，并一種名為阿罕伯拉宮的建筑有很深刻的印象，并得到得到啟發(fā)，創(chuàng)造了各種并不局限于幾何圖形的密啟發(fā)，創(chuàng)造了各種并不局限于幾何圖形的密鋪圖案。這些圖案包括魚、青蛙、狗、人、蜥蜴，鋪圖案。這些圖案包括魚、青蛙、狗、人、蜥蜴，甚至是他憑空想象的物體。他創(chuàng)造的藝術(shù)作品，甚至是他憑空想象的物體。他創(chuàng)造的藝術(shù)作品，結(jié)合了數(shù)學(xué)與藝術(shù)，給人留下深刻印象，更讓人結(jié)合了數(shù)學(xué)與藝術(shù)，給人留下深刻印象，更讓人對數(shù)學(xué)產(chǎn)生另一種看法。對數(shù)學(xué)產(chǎn)生另一種看法。 一幅滿足平面旋轉(zhuǎn)、平移的魚形圖案。