一元二次方程的求根公式及根的判別式

1、一元二次方程的求根公式及根的判別式主講：黃岡中學(xué)高級(jí)教師余國(guó)琴一、一周知識(shí)概述1、一元二次方程的求根公式將一元二次方程ax2bxc=0(a0)進(jìn)行配方，當(dāng)b24ac0時(shí)的根為該式稱(chēng)為一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法稱(chēng)為求根公式法，簡(jiǎn)稱(chēng)公式法說(shuō)明：(1)一元二次方程的公式的推導(dǎo)過(guò)程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2bxc=0(a0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系數(shù)a、b、c的值決定的；(3)應(yīng)用求根公式可解任何一個(gè)有解的一元二次方程，但應(yīng)用時(shí)必須先將其化為一般形式.2、一元二次方程的根的判別式（1）當(dāng)b24ac0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）

2、當(dāng)b24ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)b24ac0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根二、重難點(diǎn)知識(shí)1、對(duì)于一元二次方程的各種解法是重點(diǎn)，難點(diǎn)是對(duì)各種方法的選擇，突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是在對(duì)四種方法都會(huì)使用的基礎(chǔ)上，熟悉各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。(1) “開(kāi)平方法”一般解形如“”類(lèi)型的題目，如果用“公式法”就顯得多余的了。(2)“因式分解法”是一種常用的方法，一般是首先考慮的方法。(3) “配方法”是一種非常重要的方法，一般不使用，但若能恰當(dāng)?shù)厥褂?，往往能起到?jiǎn)化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，則6391這個(gè)數(shù)太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，則方程化為，就易解，若

3、一次項(xiàng)系數(shù)中有偶因數(shù)，一般也應(yīng)考慮運(yùn)用。(4)“公式法”是一般方法，只要明確了二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，若方程有實(shí)根，就一定可以用求根公式求出根，但因?yàn)橐?0)求值，所以對(duì)某些特殊方程，解法又顯得復(fù)雜了。2、在運(yùn)用b24ac的符號(hào)判斷方程的根的情況時(shí)，應(yīng)注意以下三點(diǎn)：（1）b24ac是一元二次方程的判別式，即只有確認(rèn)方程為一元二次方程時(shí)，才能確定a、b、c，求出b24ac；（2）在運(yùn)用上述結(jié)論時(shí)，必須先將方程化為一般形式，以便確認(rèn)a、b、c；（3）根的判別式是指b24ac，而不是三、典型例題講解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的關(guān)鍵是找出a、

4、b、c的值，再代入公式計(jì)算，解：(1)因?yàn)閍=1，c=10 所以 所以(2)原方程可化為 因?yàn)閍=1，c=2 所以 所以.(3)原方程可化為 因?yàn)閍=1，c=1 所以 所以； 所以總結(jié)：(1)用求根公式法解一元二次方程首先將方程化為一般形式；如果二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，通常將其化為正數(shù)；如果方程的系數(shù)含有分母，通常先將其化為整數(shù)，求出的根要化為最簡(jiǎn)形式；(2)用求根公式法解方程按步驟進(jìn)行例2、用適當(dāng)方法解下列方程： 分析：要合理地選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?，就必須熟悉各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，處理好特殊方法和一般方法的關(guān)系。就直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法這四種方法而言，配方法、公式法是一般方法

5、，而開(kāi)平方法、因式分解法是特殊方法。 公式法是最一般的方法，只要明確了二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，若方程有實(shí)根，就一定可以用求根公式求出根，但因?yàn)橐胍辉畏匠痰那蟾角笾?，所以?duì)某些方程，解法又顯得復(fù)雜了。如，可以直接開(kāi)平方，就能馬上得出解；若此時(shí)還用求根公式就顯得繁瑣了。 配方法是一種非常重要的方法，在解一元二次方程時(shí)，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到簡(jiǎn)便的作用。若方程中的一次項(xiàng)系數(shù)有因數(shù)是偶數(shù)，則可使用，計(jì)算量也不大。如，因?yàn)?24比較大，分解時(shí)較繁，此題中一次項(xiàng)系數(shù)是-2?？梢岳糜门浞椒▉?lái)解，經(jīng)過(guò)配方之后得到，顯得很簡(jiǎn)單。 直接開(kāi)平方法一般解符合型的方

6、程，如第小題。 因式分解法是一種常用的方法，它的特點(diǎn)是解法簡(jiǎn)單，故它是解題中首先考慮的方法，若一元二次方程的一般式的左邊不能分解為整數(shù)系數(shù)因式或系數(shù)較大難以分解時(shí)，應(yīng)考慮變換方法。解： 兩邊開(kāi)平方，得所以 配方，得所以所以 配方，得所以所以 因?yàn)?所以 =420=24所以所以 配方：所以所以 整理，得所以 移項(xiàng)，提公因式，得所以小結(jié)：以上各題請(qǐng)同學(xué)們用其他方法做一做，再比較各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，體會(huì)如何選用合適的方法，下面給出常規(guī)思考方法，僅作參考。例3、已知關(guān)于x的方程ax23x1=0有實(shí)根，求a的取值范圍.解：當(dāng)a=0時(shí)，原方程有實(shí)根為若a0時(shí)，當(dāng)原方程有兩個(gè)實(shí)根.故，綜上所述a的取值范圍是.

7、小結(jié)：此題要分方程ax23x1=0為一元一次方程和一元二次方程時(shí)討論，即分當(dāng)a=0與a0兩種情況例4、已知一元二次方程x24xk=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍；(2)如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程x24xk=0與x2mx1=0有一個(gè)相同的根，求此時(shí)m的值.解：(1)因?yàn)榉匠蘹24xk=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， 所以b24ac=164k0，得k4.(2)滿足k4的最大整數(shù)，即k=3. 此時(shí)方程為x24x3=0，解得x1=1，x2=3. 當(dāng)相同的根為x=1時(shí)，則1m1=0，得m=0； 當(dāng)相同的根為x=3時(shí)，則93m1=0，得 所以m的值為0或例5、設(shè)m為自然數(shù)，且3m40，方程有兩個(gè)整數(shù)根求m的值及方程的根。解：，方程有整數(shù)根，4（2m1）是完全平方數(shù)。3m4072m1812m1值可以為9，25，49m的值可以為4，12