高考導數(shù)講義一零點問題

1、高考導數(shù)講義一：零點問題例1、設(shè)函數(shù)（i）求曲線在點處的切線方程；（ii）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點，求c的取值范圍；（iii）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件.解：（i）由，得因為，所以曲線在點處的切線方程為（ii）當時，所以令，得，解得或與在區(qū)間上的情況如下：所以，當且時，存在，使得由的單調(diào)性知，當且僅當時，函數(shù)有三個不同零點（iii）當時，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能有三個不同零點當時，只有一個零點，記作當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增所以不可能有三個不同零點綜上所述，若函數(shù)有三個不同零點，則必有故是有三個不同零點的必要條件當，時，只有兩個不同點， 所以不是有

2、三個不同零點的充分條件因此是有三個不同零點的必要而不充分條件例2.設(shè)函數(shù)，（i）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（ii）證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點【答案】（i）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；極小值；（ii）證明詳見解析.【解析】試題分析：本題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值、函數(shù)零點問題等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.（i）先對求導，令解出，將函數(shù)的定義域斷開，列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，所以由表格知當時，函數(shù)取得極小值，同時也是最小值；（ii）利用第一問的表，知為函數(shù)的最小值，如果函數(shù)有零點，只需最小值，從而解出，下面

3、再分情況分析函數(shù)有幾個零點.試題解析：（）由，（）得.由解得.與在區(qū)間上的情況如下：所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值.（）由（）知，在區(qū)間上的最小值為.因為存在零點，所以，從而.當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點.當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以在區(qū)間上僅有一個零點.綜上可知，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點.考點：導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的極值、函數(shù)零點問題.【名師點晴】本題主要考查的是導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的極值和函數(shù)的零點，屬于難題利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與極值的步驟：確定函數(shù)的定義域；對求

4、導；求方程的所有實數(shù)根；列表格證明函數(shù)僅有一個零點的步驟：用零點存在性定理證明函數(shù)零點的存在性；用函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)零點的唯一性例3.設(shè)函數(shù).（i）討論的導函數(shù)的零點的個數(shù)；（ii）證明：當時.【答案】（i）當時，沒有零點；當時，存在唯一零點.（ii）見解析【解析】試題分析：（i）先求出導函數(shù)，分與考慮的單調(diào)性及性質(zhì)，即可判斷出零點個數(shù)；（ii）由（i）可設(shè)在的唯一零點為，根據(jù)的正負，即可判定函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求出函數(shù)的最小值，即可證明其最小值不小于，即證明了所證不等式.試題解析：（i）的定義域為，.當時,，沒有零點；當時，因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增.又,當b滿足且時，,故當時，

5、存在唯一零點.（ii）由（i），可設(shè)在的唯一零點為，當時，;當時，.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，最小值為.由于，所以.故當時，.考點：常見函數(shù)導數(shù)及導數(shù)運算法則；函數(shù)的零點；利用導數(shù)研究函數(shù)圖像與性質(zhì)；利用導數(shù)證明不等式；運算求解能力.【名師點睛】導數(shù)的綜合應用是高考考查的重點和熱點，解決此類問題，要熟練掌握常見函數(shù)的導數(shù)和導數(shù)的運算法則、掌握通過利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值研究函數(shù)的圖像與性質(zhì).對函數(shù)的零點問題，利用導數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，畫出函數(shù)圖像草圖，結(jié)合圖像處理；對恒成立或能處理成立問題，常用參變分離或分類討論來處理.例4.設(shè)函數(shù).（1）當時，求函數(shù)在上的最小

6、值的表達式；（2）已知函數(shù)在上存在零點，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】(1)將函數(shù)進行配方，利用對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，通過分類討論確定函數(shù)在給定上的最小值，并用分段函數(shù)的形式進行表示；(2)設(shè)定函數(shù)的零點，根據(jù)條件表示兩個零點之間的不等關(guān)系，通過分類討論，分別確定參數(shù)的取值情況，利用并集原理得到參數(shù)的取值范圍.試題解析：(1)當時，故其對稱軸為.當時，.當時，.當時，.綜上，(2)設(shè)為方程的解，且，則.由于，因此.當時，由于和，所以.當時，由于和，所以.綜上可知，的取值范圍是.【考點定位】1.函數(shù)的單調(diào)性與最值；2.分段函數(shù)；3.不等式性質(zhì)；4.分類討論思想.【名師點睛】本

7、題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)零點問題.利用函數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)的對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，利用分類討論思想確定在各種情況下函數(shù)的最小值情況，最后用分段函數(shù)的形式進行表示；利用函數(shù)與方程思想，確定零點與系數(shù)之間的關(guān)系，利用其范圍，通過分類討論確定參數(shù)b 的取值范圍.本題屬于中等題，主要考查學生應用函數(shù)性質(zhì)解決有關(guān)函數(shù)應用的能力，考查學生對數(shù)形結(jié)合數(shù)學、分類討論思想以及函數(shù)與方程思想的應用能力，考查學生基本的運算能力.例5、已知函數(shù)fx=x-2ex+a(x-1)2.(i)討論f(x)的單調(diào)性；(ii)若f(x)有兩個零點，求的取值范圍.【解析】（）（ i ）當時，則當時，；當時，故函數(shù)

8、在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（ ii ）當時，由，解得：或若，即，則，故在單調(diào)遞增若，即，則當時，；當時，故函數(shù)在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減若，即，則當時，；當時，；故函數(shù)在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減（）（i）當時，由（）知，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又，取實數(shù)滿足且，則有兩個零點（ii）若，則，故只有一個零點（iii）若，由（i）知，當，則在單調(diào)遞增，又當時，故不存在兩個零點；當，則函數(shù)在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減又當時，故不存在兩個零點綜上所述，的取值范圍是例6.設(shè)為實數(shù)，函數(shù)（1）若，求的取值范圍；（2）討論的單調(diào)性；（3）當時，討論在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)【答案】（1）；（2）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）

9、當時，有一個零點；當時，有兩個零點【解析】試題分析：（1）先由可得，再對的取值范圍進行討論可得的解，進而可得的取值范圍；（2）先寫函數(shù)的解析式，再對的取值范圍進行討論確定函數(shù)的單調(diào)性；（3）先由（2）得函數(shù)的最小值，再對的取值范圍進行討論確定在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)試題解析：（1），因為，所以，當時，顯然成立；當，則有，所以.所以.綜上所述，的取值范圍是.（2）對于，其對稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞增；對于，其對稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞減.綜上所述，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）由（2）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.(i)當時，令，即（）.因為在上單調(diào)遞減，所以而在上單調(diào)遞增，

10、所以與在無交點.當時，即，所以，所以，因為，所以，即當時，有一個零點.(ii)當時，當時， ，而在上單調(diào)遞增，當時，.下面比較與的大小因為所以結(jié)合圖象不難得當時，與有兩個交點. 綜上所述，當時，有一個零點；當時，有兩個零點.考點：1、絕對值不等式；2、函數(shù)的單調(diào)性；3、函數(shù)的最值；4、函數(shù)的零點.【名師點晴】本題主要考查的是絕對值不等式、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值和函數(shù)的零點，屬于難題零點分段法解絕對值不等式的步驟：求零點；劃區(qū)間，去絕對值號；分別解去掉絕對值的不等式；取每段結(jié)果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法：基本初等函數(shù)的單調(diào)性；導數(shù)法判斷函數(shù)零點的個數(shù)的方法：

11、解方程法；圖象法例7.已知函數(shù)f(x)2lnxx22axa2，其中a0.()設(shè)g(x)為f(x)的導函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；()證明：存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在區(qū)間(1，)內(nèi)有唯一解.【解析】()由已知，函數(shù)f(x)的定義域為(0，)g(x)f (x)2(x1lnxa)所以g(x)2當x(0，1)時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減當x(1，)時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增()由f (x)2(x1lnxa)0，解得ax1lnx令(x)2xlnxx22x(x1lnx)(x1lnx)2(1lnx)22xlnx則(1)10，(e)2(2e)0于是存在x0(1，e)，使得(x0)0令a0x01lnx0u(x0)，其中u(x)x1lnx(x1)由u(x)10知，函數(shù)u(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增故0u(1)a0u(x0)u(e)e21即a0(0，1)當aa0時，有f (x0)0，f(x0)(x0)0再由()知，f (x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增當x(1，x0)時，f (x)0，從而f(x)f(x0)0當x(x0，)時，f (x