n階行列式的定義PPT課件

1、第二章第二章 行行 列列 式式第1頁(yè)/共31頁(yè)二階行列式的定義二階行列式的定義1三階行列式的定義三階行列式的定義 2排列及逆序數(shù)排列及逆序數(shù)3n 階行列式的定義階行列式的定義4第一節(jié) 行列式的定義第2頁(yè)/共31頁(yè)設(shè)二元線性方程組設(shè)二元線性方程組 .,22221211212111bxaxabxaxa :122a 式式,2212221212211abxaaxaa :212a 式式,1222221212112abxaaxaa ，得，得兩式相減消去兩式相減消去2x;212221121122211baabxaaaa ）（用消元法求解.(1)一、二階行列式的定義一、二階行列式的定義第3頁(yè)/共31頁(yè)，得，得

2、類似地，消去類似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)021122211 aaaa方程組的解為方程組的解為，211222112122211aaaabaabx .( )a bb axa aa a 1121212112212212由方程組的由方程組的四個(gè)系數(shù)四個(gè)系數(shù)確定確定. . .,22221211212111bxaxabxaxa第4頁(yè)/共31頁(yè) 由四個(gè)數(shù)排成兩行兩列（由四個(gè)數(shù)排成兩行兩列（橫排稱行、豎排稱橫排稱行、豎排稱列列）并定義為）并定義為記為記為.2112221122211211aaaaaaaaD .稱為列標(biāo)稱為列標(biāo)稱為行標(biāo)，第二個(gè)下標(biāo)稱為行標(biāo)，

3、第二個(gè)下標(biāo)下標(biāo)下標(biāo)ji21122211aaaa的式子的式子( )aaaa111221223叫做叫做二階行列式二階行列式.的第一個(gè)的第一個(gè)元素元素ija第5頁(yè)/共31頁(yè)主對(duì)角線副對(duì)角線2211aa 二階行列式的計(jì)算二階行列式的計(jì)算2112aa 11a12a22a21a第6頁(yè)/共31頁(yè)類似地，(2)式的分子也可寫成二階行列式：222121212221ababbaab221111211211babaabba那么(2)式可寫成,2221121122212111aaaaababDDx .2221121122111122aaaababaDDx，211222112122211aaaabaabx .( )a

4、bb axa aa a 112121211221221211122122aaaa12bb12bb12bb第7頁(yè)/共31頁(yè)111122133121122223323113223333,.a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 三元線性方程組的解問(wèn)題(1,2,3)jjDxjD類似得到：當(dāng)系數(shù)行列式D不等于0時(shí)，解是唯一的.第8頁(yè)/共31頁(yè)排成三行三列排成三行三列個(gè)元素個(gè)元素設(shè)有設(shè)有)3 , 2 , 1,(9 jiaij112233122331132132132231122133112332,a a aa a aa a aa a aa a aa a a3332312322211

5、31211aaaaaaaaa并稱它為.記為：333231232221131211aaaaaaaaaD 行標(biāo) 二、三階行列式的定義的式子定義為的式子定義為列標(biāo)第9頁(yè)/共31頁(yè)333231232221131211aaaaaaaaa132231122133112332.a a aa a aa a a322113312312332211aaaaaaaaa D三階行列式的計(jì)算方法列的三個(gè)元素的乘積再冠以正負(fù)號(hào).三階行列式包括3!項(xiàng),每一項(xiàng)均為位于不同行、不同第10頁(yè)/共31頁(yè)323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa ：3221133123123322

6、11aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD 紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)第11頁(yè)/共31頁(yè)1323-51 .214D 第12頁(yè)/共31頁(yè)11112211211222221122,.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxa xb 一個(gè)n元線性方程組1、 D ？（n階行列式如何求？）、D不等于0時(shí)，解是唯一的？(1,2, )jjDxjnD3、解的表達(dá)式為 ？第13頁(yè)/共31頁(yè)nPn )1( n)2( n123 !.n 由由組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為n, 2 , 1一個(gè)n階排列.所有排列的種數(shù)，通常用nP由由

7、組成的n, 2 , 1表示.顯然顯然是其中的一個(gè)排列，n, 2 , 1自然順序，就是按從小到大的順序排起來(lái)的；其它這個(gè)排列具有的排列都或多或少地破壞了自然順序. .列標(biāo)列標(biāo)三、排列及逆序數(shù)三、排列及逆序數(shù)第14頁(yè)/共31頁(yè)在一個(gè)排列中，如果一個(gè)大數(shù)排在一(),nj jj 1212nj jjn階排列的逆序數(shù) . 簡(jiǎn)記為列中，逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的.個(gè)小數(shù)之前，就稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序.記為一個(gè)排: 分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素后面比它小的（或前面比它大的）數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，這每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).第15頁(yè)/共31頁(yè)逆序數(shù)為奇數(shù)的n階排列稱為奇排列.逆序數(shù)為偶數(shù)的n階排列稱為偶排列

8、;在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，叫做對(duì)換將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換，叫做相鄰對(duì)換第16頁(yè)/共31頁(yè)對(duì)換改變排列的奇偶性證明證明設(shè)排列為設(shè)排列為mlbbabaa11對(duì)換對(duì)換 與與abmlbbbaaa11abba當(dāng) 時(shí)，ba ab的逆序數(shù)增加的逆序數(shù)增加1;1;經(jīng)對(duì)換后經(jīng)對(duì)換后 的逆序數(shù)的逆序數(shù)不變不變, ,經(jīng)對(duì)換后 的逆序數(shù)減少1， 的逆序數(shù)不變.ab當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，ba mlbbaa11顯然這些元素的逆序數(shù)經(jīng)過(guò)對(duì)換并不改變，先證相鄰對(duì)換的情形：先證相鄰對(duì)換的情形：ba,兩個(gè)元素的逆序數(shù)將改變?yōu)椋?而第17頁(yè)/共31頁(yè)次相鄰對(duì)換mnmlccabbb

9、aa111次相鄰對(duì)換1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa總之，總之，次相鄰對(duì)換12 m,111nmlcacbbbaaabnmlccbbbaaa111abab再證一般對(duì)換的情形：設(shè)排列為設(shè)排列為.111nmlcbcbabaa因此對(duì)換相鄰兩個(gè)元素，排列的奇偶性相反.第18頁(yè)/共31頁(yè)奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)；奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)； 偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù).n 階排列中，奇偶排列各占一半階排列中，奇偶排列各占一半. .第19頁(yè)/共31頁(yè)nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 2n), 2 , 1,(njiaij 個(gè)數(shù),

10、 稱n為階行列式，它表示數(shù)值為()nj jj 12nj jj12n, 2, 1其中的一個(gè)排列，為這個(gè)排列的逆序數(shù).(3)(),nnjjnjj jja aa 121 2121det(),ija(3)式簡(jiǎn)記為式簡(jiǎn)記為四、四、n階行列式的定義階行列式的定義第20頁(yè)/共31頁(yè) (1) (1) 行列式是一個(gè)算式行列式是一個(gè)算式；第21頁(yè)/共31頁(yè)1.（1）11212212300000nnnnnaaaaaaa.2211nnaaa 第22頁(yè)/共31頁(yè)112233441000940037501896Da a a a1 4 5 6120. D 10009400?37501896第23頁(yè)/共31頁(yè)（2）nnnna

11、aaaaa11121222000 ?8000650012404321 Dnna aa 1122.第24頁(yè)/共31頁(yè)nnnnaaaaaa 111,11212,11000（3） 17815220?63004000n nnnna aa (1)/212,11( 1).第25頁(yè)/共31頁(yè)(1)/212,11( 1)n nnnna aa 0001002503364324= ?= ?第26頁(yè)/共31頁(yè)2. 1122nnaaanna aa 1122.12,11nnnaaa n nnnna aa (1)/212,11( 1).第27頁(yè)/共31頁(yè)1. 已知已知 1211123111211xxxxxf .3的系數(shù)的系數(shù)求求 x思考與練習(xí)第28頁(yè)/共31頁(yè)含含 的項(xiàng)有兩項(xiàng)的項(xiàng)有兩項(xiàng), ,即即3x 1211123111211xxxxxf 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 1243112234431a a a a (1234)112233441a a a