第五章 圖形變換

1、2021-10-231第五章 圖形變換 重重點(diǎn)：點(diǎn)：掌握二維幾何變換、二維觀察變換、三維幾何變換以及三維觀察變換。難難點(diǎn)：點(diǎn)：理解常用的平移、比例、旋轉(zhuǎn)變換。課時(shí)安排：課時(shí)安排：授課4學(xué)時(shí)。2021-10-232第五章 圖形變換 圖形變換包括二維幾何變換，二維觀察變換，三維幾何變換和三維觀察變換。為了能使各種幾何變換（平移、旋轉(zhuǎn)、比例等）以相同的矩陣形式表示，從而統(tǒng)一使用矩陣乘法運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)變換的組合，現(xiàn)都采用齊次坐標(biāo)系來(lái)表示各種變換。 齊次坐標(biāo)系2021-10-233第五章 圖形變換 齊次坐標(biāo)系：n維空間中的物體可用n+1維齊次坐標(biāo)空間來(lái)表示。例如二維空間直線ax+by+c=0，在齊次空間成為

2、aX+bY+cW=0，以X、Y和W為三維變量，構(gòu)成沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的三維平面(因此得名齊次空間)。點(diǎn)P(x、y)在齊次坐標(biāo)系中用P(wx,wy,w)表示，其中W是不為零的比例系數(shù)。所以從n維的通?？臻g到n+1維的齊次空間變換是一到多的變換，而其反變換是多到一的變換。例如齊次空間點(diǎn) P(X、Y、W) 對(duì)應(yīng)的笛卡爾坐標(biāo)是x=X/W和y=Y/W。將通常笛卡爾坐標(biāo)用齊次坐標(biāo)表示時(shí)，W的值取1。 2021-10-234第五章 圖形變換 采用齊次坐標(biāo)系可以將平移、比例、旋轉(zhuǎn)這三種基本變換都以相同的矩陣形式來(lái)表示，并統(tǒng)一地用矩陣乘法來(lái)實(shí)現(xiàn)變換的組合。 齊次坐標(biāo)系在三維透視變換中有更重要的作用，它使非線形變換也能采

3、用線形變換的矩陣表示形式。 2021-10-235第五章 圖形變換 2021-10-2365.1 二維幾何變換 二維幾何變換就是在平面上對(duì)二維點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行變換，從而形成新的坐標(biāo)。 二維幾何變換主要包括：平移、比例、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)、錯(cuò)切、仿射和復(fù)合變換。2021-10-2375.1.1 二維平移變換 2021-10-2385.1.1 二維平移變換 如圖所示，它使圖形移動(dòng)位置。新圖p的每一圖元點(diǎn)是原圖形p中每個(gè)圖元點(diǎn)在x和y方向分別移動(dòng)Tx和Ty產(chǎn)生，所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的坐標(biāo)值滿(mǎn)足關(guān)系式 x=x+Tx y=y+Ty 可利用矩陣形式表示成： x y=x y+Tx Ty 簡(jiǎn)記為： P=P+T，T=Tx Ty是

4、平移變換矩陣(行向量)。2021-10-2395.1.1 二維平移變換 從矩陣形式來(lái)看，平移變換是矩陣加法，而比例和旋轉(zhuǎn)變換則是矩陣乘法。若這三種變換都能運(yùn)用乘法來(lái)實(shí)現(xiàn)的話，我們就可以實(shí)現(xiàn)三種變換的任意組合。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的，一般采用齊次坐標(biāo)系來(lái)表示這三種變換，齊次坐標(biāo)系中的平移變換矩陣形式是： 2021-10-23105.1.2 二維比例變換 2021-10-23115.1.2 二維比例變換 如圖所示，它改變顯示圖形的比例。新圖形p的每個(gè)圖元點(diǎn)的坐標(biāo)值是原圖形p中每個(gè)圖元點(diǎn)的坐標(biāo)值分別乘以比例常數(shù)Sx和Sy，所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的坐標(biāo)值滿(mǎn)足關(guān)系式 : x=xSx y=ySy可利用矩陣形式表示成：

5、2021-10-23125.1.2 二維比例變換 簡(jiǎn)記成p=PS，其中 S是比例變換矩陣。在齊次坐標(biāo)系中的比例變換矩陣形式是： 2021-10-23135.1.3 二維旋轉(zhuǎn)變換 2021-10-23145.1.3 二維旋轉(zhuǎn)變換 二維旋轉(zhuǎn)變換：圖形相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)如圖所示，它產(chǎn)生圖形位置和方向的變動(dòng)。新圖形p的每個(gè)圖元點(diǎn)是原圖形p每個(gè)圖元點(diǎn)保持離坐標(biāo)原點(diǎn)距離不變并繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角產(chǎn)生的，并以逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)為正角度，對(duì)應(yīng)圖元點(diǎn)的坐標(biāo)值滿(mǎn)足關(guān)系式 x=xcos-ysin y=xsin+ycos 2021-10-23155.1.3 二維旋轉(zhuǎn)變換 用矩陣形式表示成簡(jiǎn)記為P=PR，其中 是旋轉(zhuǎn)變換矩陣。在齊

6、次坐標(biāo)系中的比例變換矩陣形式是： 2021-10-23165.1.4 二維對(duì)稱(chēng)變換 二維對(duì)稱(chēng)變換（或稱(chēng)反射變換）是產(chǎn)生物體鏡像的一種變換，該變換實(shí)際上是比例變換的幾種特殊情況。 1、以y軸為對(duì)稱(chēng)線的對(duì)稱(chēng)變換 變換后，圖形點(diǎn)集的x坐標(biāo)值不變，但符號(hào)相反；y坐標(biāo)值不變。 矩陣表示形式為： 2021-10-23175.1.4 二維對(duì)稱(chēng)變換 2、以x軸為對(duì)稱(chēng)線的對(duì)稱(chēng)變換 變換后，圖形點(diǎn)集的x坐標(biāo)值不變；y坐標(biāo)值不變，但符號(hào)相反。 矩陣表示形式為： 2021-10-23185.1.4 二維對(duì)稱(chēng)變換 3、以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)變換 變換后，圖形點(diǎn)集的x和y坐標(biāo)值不變，但符號(hào)相反。 矩陣表示形式為: 2021-

7、10-23195.1.4 二維對(duì)稱(chēng)變換 4、以直線y=x為對(duì)稱(chēng)線的對(duì)稱(chēng)變換 變換后，圖形點(diǎn)集的x和y坐標(biāo)對(duì)調(diào)。 矩陣表示形式為： 2021-10-23205.1.4 二維對(duì)稱(chēng)變換 5、以直線y=-x為對(duì)稱(chēng)線的對(duì)稱(chēng)變換 變換后，圖形點(diǎn)集的x和y坐標(biāo)對(duì)調(diào),但符號(hào)相反。 矩陣表示形式為： 2021-10-23215.1.5 二維錯(cuò)切變換 二維錯(cuò)切變換：是一種會(huì)使物體形狀發(fā)生變化的變換。常用的錯(cuò)切變換有兩種：改變x坐標(biāo)值和改變y坐標(biāo)值。 2021-10-23225.1.5 二維錯(cuò)切變換 數(shù)學(xué)表達(dá)式為： x=x+SHxy SHx0 y=y 矩陣表示為： 2021-10-23235.1.5 二維錯(cuò)切變換

8、2、圖形沿y方向的錯(cuò)切 數(shù)學(xué)表達(dá)式為: x=x y=SHyx+y SHy0 矩陣表示為: 2021-10-23245.1.6 二維仿射變換 二維仿射變換的形式為： x=axxx+axyy+bx y=ayxx+ayyy+by 變換的坐標(biāo)x和y都是原始坐標(biāo)x和y的線性函數(shù)。參數(shù)aij和bk是由變換類(lèi)型確定的常數(shù)。仿射變換具有平行線轉(zhuǎn)換成平行線和有限點(diǎn)映射到有限點(diǎn)的一般特性。 平移、比例、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)和錯(cuò)切變換是二維仿射變換的特例，任何常用的二維仿射變換總可表示為這五種變換的組合。2021-10-23255.1.7 二維復(fù)合變換 二維復(fù)合變換：前面所討論的圖形變換是相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)或坐標(biāo)軸來(lái)進(jìn)行的。在實(shí)

9、際中，常常需要相對(duì)于任意點(diǎn)或任意軸來(lái)進(jìn)行變換。為了做到這一點(diǎn)，可通過(guò)計(jì)算多個(gè)基本變換矩陣的乘積來(lái)得到總的變換矩陣或稱(chēng)為復(fù)合變換矩陣，從而實(shí)現(xiàn)任意順序的組合變換。常見(jiàn)的組合變換有： 2021-10-23265.1.7 二維復(fù)合變換 1、繞任意點(diǎn)的旋轉(zhuǎn) 繞任意點(diǎn)（或稱(chēng)基準(zhǔn)點(diǎn)）（xr,yr）的旋轉(zhuǎn)：該變換可分成如圖所示的三個(gè)步驟來(lái)實(shí)現(xiàn) 圖形的原始位置2021-10-23275.1.7 二維復(fù)合變換 （1）平移物體使基準(zhǔn)點(diǎn)位置被移到坐標(biāo)原點(diǎn)； 步驟（1）2021-10-23285.1.7 二維復(fù)合變換 （2）繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)； 步驟（2）2021-10-23295.1.7 二維復(fù)合變換 （3）平移物體使

10、基準(zhǔn)點(diǎn)回到原始位置。 步驟（3）2021-10-23305.1.7 二維復(fù)合變換 該變換順序的復(fù)合變換矩陣為： 2021-10-23315.1.7 二維復(fù)合變換 相對(duì)任意點(diǎn)（固定點(diǎn)）（xf,yf）的比例變換：該變換可分成如圖所示的三個(gè)步驟來(lái)實(shí)現(xiàn) 圖形的原始位置：2021-10-23325.1.7 二維復(fù)合變換 （1）平移物體使固定點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合； 步驟（1）2021-10-23335.1.7 二維復(fù)合變換 （2）相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的比例變換； 步驟（2）2021-10-23345.1.7 二維復(fù)合變換 （3）平移物體使固定點(diǎn)回到原始位置。 步驟（3）2021-10-23355.1.7 二維復(fù)合變

11、換 該變換順序的復(fù)合變換矩陣為 2021-10-23365.1.7 二維復(fù)合變換 即矩陣乘法滿(mǎn)足結(jié)合率，不滿(mǎn)足交換率。在進(jìn)行連續(xù)變換時(shí)一定要按變換次序進(jìn)行變換矩陣的運(yùn)算，否則不同次序的變換會(huì)產(chǎn)生不同的變換結(jié)果。如下圖所示。 2021-10-23375.2 二維觀察變換 在實(shí)際應(yīng)用中，用戶(hù)要求圖形系統(tǒng)具有能從已有的圖形顯示數(shù)據(jù)（對(duì)應(yīng)一個(gè)完整的圖形）中方便地選出數(shù)據(jù)（對(duì)應(yīng)某一區(qū)域的圖形）進(jìn)行顯示的能力，我們把在用戶(hù)坐標(biāo)系中預(yù)先選定的將產(chǎn)生圖形顯示的區(qū)域稱(chēng)為窗口。同樣，在使用中用戶(hù)也要求能控制顯示圖形在顯示屏上的位置和大小，我們把在顯示器坐標(biāo)系中規(guī)定的顯示圖形區(qū)域稱(chēng)為視口。觀察變換就是把這種用戶(hù)坐標(biāo)

12、系中窗口的圖形變換到顯示器的視口中以產(chǎn)生顯示。 2021-10-23385.2 二維觀察變換 2021-10-23395.2 二維觀察變換 設(shè)用戶(hù)選定的窗口范圍為(wxL,wyL和(wxr,wyr)，視口范圍為(vxLvyL)和(vxr,vyr)。 將窗口中的圖形轉(zhuǎn)為視口中圖形的過(guò)程： 1、先平移窗口使其左下角與坐標(biāo)原點(diǎn)重合； 2、再比例變換使其大小與視口相等； 3、最后再通過(guò)平移使其移到視口位置。 窗口中的全部圖形經(jīng)過(guò)與此相同的變換后便變換成視口中的圖形了。因此視口變換矩陣是：2021-10-23405.2 二維觀察變換 2021-10-23415.3 三維幾何變換 三維幾何變換是二維幾何變

13、換的擴(kuò)展。三維齊次變換可用44矩陣表示。 平移變換 - 比例變換 - 旋轉(zhuǎn)變換 - 繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 - 對(duì)稱(chēng)變換 - 錯(cuò)切變換2021-10-23425.3.1 三維平移變換 三維平移變換：將空間點(diǎn)(x,y,z)平移到新空間點(diǎn)(x,y,z)，齊次變換矩陣為： 變換過(guò)程為： x y z 1=x y z 1T 其中，Tx,Ty,Tz分別為在x,y,z坐標(biāo)軸方向上的平移量。2021-10-23435.3.2 三維比例變換 三維比例變換：沿各坐標(biāo)軸方向分別乘以一個(gè)比例系數(shù)，以實(shí)現(xiàn)各個(gè)方向上的縮放功能。比例變換矩陣為 ： 變換過(guò)程為： x y z 1=x y z 1S 其中，Sx,Sy,Sz分別

14、為在x,y,z坐標(biāo)軸方向上的比例系數(shù)。 2021-10-23445.3.3 三維旋轉(zhuǎn)變換 三維旋轉(zhuǎn)變換，是指將物體繞某個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，所得到的空間位置變化。我們規(guī)定旋轉(zhuǎn)正方向與坐標(biāo)軸矢量符合右手法則，即從坐標(biāo)軸正值向坐標(biāo)原點(diǎn)觀察，逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的角度為正。如圖所示。 2021-10-23455.3.3 三維旋轉(zhuǎn)變換 繞三個(gè)基本軸的旋轉(zhuǎn)變換： 1、繞z軸旋轉(zhuǎn)角?？臻g物體繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，物體各頂點(diǎn)的x,y坐標(biāo)改變，而z坐標(biāo)不變。繞z軸旋轉(zhuǎn)矩陣為： 2021-10-23465.3.3 三維旋轉(zhuǎn)變換 2、繞x方向旋轉(zhuǎn)角同理，繞x軸旋轉(zhuǎn)變換矩陣為： 3、繞y方向旋轉(zhuǎn)角同理，繞y軸旋轉(zhuǎn)變換矩陣為： 2

15、021-10-23475.3.4 繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 圖a:變換之前 繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)變換：先將圖形隨直線（旋轉(zhuǎn)軸）一起移動(dòng)和旋轉(zhuǎn)并使直線與某一坐標(biāo)軸重合；再將圖形繞直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換；最后將旋轉(zhuǎn)變換后的圖形和直線一起作相反的旋轉(zhuǎn)和移動(dòng)并使直線回到原來(lái)位置。具體變換步驟是：2021-10-23485.3.4 繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 1、平移使點(diǎn)（x1,y1,z1）位于坐標(biāo)原點(diǎn)，變換矩陣是： 2021-10-23495.3.4 繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 2、繞x軸旋轉(zhuǎn)，使直線處在x-z平面上。為此，旋轉(zhuǎn)角應(yīng)等于直線在y-z平面上的投影與z軸夾角。因此投影線與z軸夾角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣是： 、 20

16、21-10-23505.3.4 繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 3、繞y軸旋轉(zhuǎn)，使直線與z軸重合。如圖所示，直線與z軸夾角-的旋轉(zhuǎn)變換矩陣是： 2021-10-23515.3.4 繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 4、進(jìn)行圖形繞直線即繞z軸旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)矩陣是： 5、使直線回到原來(lái)位置，結(jié)果圖形即為原圖形繞指定直線旋轉(zhuǎn)變換后的圖形。 直線回到原來(lái)位置需要進(jìn)行（3）（1）的逆變換，其中：2021-10-23525.3.4 繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 圖形繞空間任意軸旋轉(zhuǎn)的總變換矩陣是 H = TRxRyRzRy-1Rx-1T -12021-10-23535.3.5 三維對(duì)稱(chēng)變換 三維對(duì)稱(chēng)變換可以是關(guān)于給定對(duì)稱(chēng)軸的或者是關(guān)

17、于給定對(duì)稱(chēng)平面的變換。三維對(duì)稱(chēng)矩陣的建立類(lèi)似于二維的。關(guān)于給定對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)變換等價(jià)于繞此軸旋轉(zhuǎn)180o。關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)變換等價(jià)于四維空間中的180o旋轉(zhuǎn)。當(dāng)對(duì)稱(chēng)平面是坐標(biāo)平面時(shí)（x-y,或x-z,y-z），可以將此變換看成是左手系和右手系之間的轉(zhuǎn)換。 2021-10-23545.3.5 三維對(duì)稱(chēng)變換 2021-10-23555.3.5 三維對(duì)稱(chēng)變換 上圖給出了將坐標(biāo)系從右手系轉(zhuǎn)換到左手系的對(duì)稱(chēng)變換例子，該變換改變z坐標(biāo)符號(hào)，保持x坐標(biāo)和y坐標(biāo)值不變，關(guān)于x-y平面的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)變換矩陣為： 類(lèi)似的關(guān)于y-z平面和x-z平面的對(duì)稱(chēng)變換矩陣分別將x和y的值取反。關(guān)于其它平面的對(duì)稱(chēng)變換可以由平移、旋轉(zhuǎn)及坐

18、標(biāo)平面對(duì)稱(chēng)變換復(fù)合而得。2021-10-23565.3.6 三維錯(cuò)切變換 三維錯(cuò)切變換：在三維空間中，除了相對(duì)于x或y軸的變換以產(chǎn)生物體的變形外，還可產(chǎn)生相對(duì)于z軸的變形。三維形體的錯(cuò)切變換矩陣為： 其中，SHx1和SHx2為沿x方向的錯(cuò)切系數(shù)，SHy1和SHy2為沿y方向的錯(cuò)切系數(shù)，SHz1和SHz2為沿z方向的錯(cuò)切系數(shù)。2021-10-23575.4 三維觀察變換 三維觀察變換所起的作用是完成從用戶(hù)空間選取的一部分物體描述變換到顯示屏上指定的視口中的圖形描述。從用戶(hù)的圖象描述產(chǎn)生顯示器上的圖形描述的處理過(guò)程如圖所示。 2021-10-23585.4 三維觀察變換 2021-10-23595.4 三維觀察變換 一、取景變換和規(guī)范化視見(jiàn)體變換 取景變換即是完成從用戶(hù)坐標(biāo)系中的描述到觀察坐標(biāo)系中的描述的坐標(biāo)變換，主要包括: 1、觀察平面的確定（即指定觀察坐標(biāo)系） （1）首先挑選一個(gè)用戶(hù)坐標(biāo)點(diǎn)稱(chēng)為觀察參考點(diǎn)VRP，即該點(diǎn)為觀察坐標(biāo)系的原點(diǎn)； （2）其次，通過(guò)給定觀察平面法向量來(lái)選擇觀察坐標(biāo)系的Zv軸和觀察平面方向； （3）第三，指定一觀察向上向量，通過(guò)該向量來(lái)建立觀察坐標(biāo)系的Yv軸； （4）最后，確定觀察點(diǎn)又稱(chēng)為投影中心（若