第八動能定理

1、第第 八八 章章 動動 能能 定定 理理功是代數(shù)量功是代數(shù)量 8-1 8-1 力的功力的功 一、一、常力在直線運動中的功常力在直線運動中的功單位單位 j j（焦耳）（焦耳） 1 j = 1 nm 1 j = 1 nm sfsfwcos功是力在一段路程中作用效果的積累功是力在一段路程中作用效果的積累coswfds元功元功dwfr二、變力在曲線運動中的功二、變力在曲線運動中的功ddddxyzffifjfkrx iy jz k記記dddxyzwfxfyfz221112dmmmmwwf r inwwwww2121 mm力力 在在 路程上的功為路程上的功為f1212()iiiwm g zz 1 1、重力

2、的功、重力的功質(zhì)點系質(zhì)點系iiczmmz由由重力的功只與始、末位置有關，與路徑無關。重力的功只與始、末位置有關，與路徑無關。)(2112cczzmgw得得)(d211221zzmgzmgwzz0 xyzfffmg 四、幾種常見力的功四、幾種常見力的功質(zhì)點質(zhì)點2 2、彈性力的功、彈性力的功彈簧剛度系數(shù)彈簧剛度系數(shù)k( (n/m) )0()rfk rl e 彈性力彈性力彈性力的功為彈性力的功為2112daawfr210()darak rl er211ddd()d()d22rrerrr rrrrrr 因因022011,lrlr式中式中rlrkwrrd)(01221得得)(2222112kw即即彈性力

3、的功也與路徑無關彈性力的功也與路徑無關2112dzwm3. 3. 定軸轉(zhuǎn)動剛物體上作用力的功定軸轉(zhuǎn)動剛物體上作用力的功)(1212zmw則則zm若若 常量常量dddttwfrf sfr由由rfmtzdzwm從角從角 轉(zhuǎn)動到角轉(zhuǎn)動到角 過程中力過程中力 的功的功為為12fimif作用在作用在 點的力點的力 的元功的元功為為力系全部力的元功之和為力系全部力的元功之和為d()diicciwwfrmf4. 4. 平面運動剛體上力系的功平面運動剛體上力系的功dddiiiiciicwfrfrfr其中其中dcosd()diicicifrfmcmfdddicicrrricicvvv由由兩端乘兩端乘dt, ,有

4、有ddrccfrm其中其中: 為力系主失為力系主失, 為力系對質(zhì)心的主矩為力系對質(zhì)心的主矩. rfcm當質(zhì)心由當質(zhì)心由 , ,轉(zhuǎn)角由轉(zhuǎn)角由 時時, ,力系的功力系的功為為21 cc21即即:平面運動剛體上力系的功平面運動剛體上力系的功,等于剛體上所受各力作功的代數(shù)和等于剛體上所受各力作功的代數(shù)和,也等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶作功之和也等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶作功之和.221112ddcrcccwfrm說明說明:1:1、對任何運動的剛體、對任何運動的剛體, ,上述結論都適用上述結論都適用; ; 2 2、c點不是質(zhì)心點不是質(zhì)心, ,而是剛體上任意一點時而是剛體上任意一點時, ,上述結

5、論也成立上述結論也成立; ; 3 3、計算力系的主矢、主矩時，可以不包含不作功的力。、計算力系的主矢、主矩時，可以不包含不作功的力。 fsfwnrsmmw理想約束理想約束 光滑固定面、固定鉸支座、光滑鉸鏈、不可伸長的柔光滑固定面、固定鉸支座、光滑鉸鏈、不可伸長的柔索等約束的約束力作功等于零索等約束的約束力作功等于零.稱約束力作功等于零的約束為理想約束稱約束力作功等于零的約束為理想約束. 對理想約束對理想約束,在動能定理中只計入主動力的功即可在動能定理中只計入主動力的功即可.內(nèi)力作功之和不一定等于零內(nèi)力作功之和不一定等于零.1wf r 20w 112wwwf r 8-2 8-2 質(zhì)點和質(zhì)點系的動

6、能質(zhì)點和質(zhì)點系的動能221iimt2 2、質(zhì)點系的動能、質(zhì)點系的動能1 1、質(zhì)點的動能、質(zhì)點的動能221mt 單位：單位：j j（焦耳）（焦耳）動能是機械運動強弱的度量動能是機械運動強弱的度量icimvvmti22212122222212121iiiiiirmrmvmt（1 1）平移剛體的動能）平移剛體的動能（2 2）定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能）定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能221zjt 即即 221cmvt 即即 222)(2121mdjjtcp即即:平面運動剛體的動能等于隨質(zhì)心平移的動能平面運動剛體的動能等于隨質(zhì)心平移的動能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和.222121ccjmvt得得速度瞬心為速

7、度瞬心為p（3 3）平面運動剛體的動能）平面運動剛體的動能上面結論也適用于剛體的任意運動上面結論也適用于剛體的任意運動.ddtrddmft將將 兩端點乘兩端點乘 , ,21dd(),d2mmfrw由于由于8-3 8-3 動能定理動能定理1 1、質(zhì)點的動能定理、質(zhì)點的動能定理21()2mwd因此因此ddmfr得得 質(zhì)點質(zhì)點動能定理動能定理的微分形式，即質(zhì)點動能的增量等于作的微分形式，即質(zhì)點動能的增量等于作用在質(zhì)點上力的元功。用在質(zhì)點上力的元功。1221222121wmm 質(zhì)點動能定理的積分形式質(zhì)點動能定理的積分形式: :在質(zhì)點運動的某個過程中在質(zhì)點運動的某個過程中, ,質(zhì)質(zhì)點動能的改變量等于作用

8、于質(zhì)點的力作的功點動能的改變量等于作用于質(zhì)點的力作的功. .積分之積分之,有有2 2、質(zhì)點系的動能定理、質(zhì)點系的動能定理 質(zhì)點系動能定理的微分形式質(zhì)點系動能定理的微分形式: :質(zhì)點系動能的增量，等于作質(zhì)點系動能的增量，等于作用于質(zhì)點系全部力所作的元功的和用于質(zhì)點系全部力所作的元功的和. . 由由21()2iiimwd21()2iiimwd求和求和itwd得得 質(zhì)點系動能定理的積分形式質(zhì)點系動能定理的積分形式: :質(zhì)點系在某一段運動過程質(zhì)點系在某一段運動過程中中, ,起點和終點的動能改變量起點和終點的動能改變量, ,等于作用于質(zhì)點系的全部力等于作用于質(zhì)點系的全部力在這段過程中所作功的和在這段過程

9、中所作功的和. .積分之積分之,有有21ittw已知已知:m, h, k, 其它質(zhì)量不計其它質(zhì)量不計.max求求: 例例1 解解:120,0ttmax2max2)(00khmgkmghgmkkmg2122max已知：輪已知：輪o ：r1 ，m1 1 , ,質(zhì)量分布在輪緣上質(zhì)量分布在輪緣上; ; 均質(zhì)輪均質(zhì)輪c ：r2 2 ， m2 2 ，純滾動純滾動, , 初始靜止初始靜止 ; ; , ,m 為常力偶。為常力偶。求求: :輪心輪心c 走過路程走過路程s時的速度和加速度時的速度和加速度例例2122sinwmm gs01t22222222212112)21(2121)(21rmmrmt輪輪c與輪與

10、輪o共同作為一個質(zhì)點系共同作為一個質(zhì)點系解解:2211,rrcc1212ttw1rs)32()(221112mmrssingrmmc2212sin(23)4cmm gsmm)(a式式(a)(a)是函數(shù)關系式，兩端對是函數(shù)關系式，兩端對t求導求導, ,得得12211(23)sin2ccccmmamm gr211212 (sin )(23)cmm gramm rdwpt8-4 8-4 功率、功率方程、機械效率功率、功率方程、機械效率ddtrpff vfvt1 1、功率功率：單位時間力所作的功單位時間力所作的功. .即即:功率等于切向力與力作用點速度的乘積功率等于切向力與力作用點速度的乘積. 由由

11、, ,得得dwfr作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率為作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率為zzmtmtwpddd單位單位w（瓦特）（瓦特）, ,1 1w=1=1j/s3 3、機械效率機械效率機械效率機械效率輸入有效pp多級傳動系統(tǒng)多級傳動系統(tǒng)12nps222121210ojvgwttrvwsw12wsvrjvgwo02121222vdtdsadtdv,)(22rgwjwraodtdswrjgwdtdvvo)2121(22wsvrjvgwo02121222cfnmgvcfs222121210ccjmvttrvcsin12mgswsin0432mgsmvc2243cmvtsin32ga omo0j例：例： 塔輪繞

12、軸轉(zhuǎn)動，質(zhì)量為，對的轉(zhuǎn)動慣量為大小半徑為 rrr和 不可伸長的繩索掛質(zhì)量為 和1m2m的兩物塊 若在塔輪上外加力矩m 試求 的1m加速度1a 解解:取整體為研究對象， 212122112121)(21210rvjrrvmvmttcrrsgmgsmrsmw2121212211221)(2121rvjrrvmvmtcrrsgmgwsmrsm21111,vdtdsadtdvrjrrmrmgrmrmma0221218-5 8-5 勢力場勢力場. .勢能勢能. .機械能守恒定律機械能守恒定律1.1.勢力場勢力場勢力場勢力場( (保守力場保守力場) ): :力的功只與力作用點的始、末位置有關力的功只與力作

13、用點的始、末位置有關, ,與與路徑無關路徑無關. ., ,ff x y z 力場力場 :一物體在空間任一位置都受到一個大小和方向完全一物體在空間任一位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力的作用由所在位置確定的力的作用.勢力場中勢力場中,物體所受的力為有勢力物體所受的力為有勢力.2.2.勢能勢能 在勢力場中在勢力場中,質(zhì)點從點質(zhì)點從點m運動到任意位置運動到任意位置m0,有勢力所有勢力所作的功為質(zhì)點在點作的功為質(zhì)點在點m相對于相對于m0的勢能的勢能.（1 1）重力場中的勢能）重力場中的勢能00dzzvmg zmg zz0220d2rrkvfr（2 2）彈性力場的勢能）彈性力場的勢能0,0為

14、零勢能點 則22kv 00ddddmmxyzmmvfrfxfyfz0m 稱勢能零點稱勢能零點（3 3）萬有引力場中的勢能）萬有引力場中的勢能00122ddaaraafm mvfrerrddrr由于有re112122111drrfm mvrfm mrrr取零勢能點在無窮遠取零勢能點在無窮遠1rrmfmv210diimiimvfr質(zhì)點系質(zhì)點系00cciiizzmgzzgmv重力場重力場（4 4）質(zhì)點系受到多個有勢力作用）質(zhì)點系受到多個有勢力作用質(zhì)點系的零勢能位置質(zhì)點系的零勢能位置:各質(zhì)點都處于其零勢能點的一組位置各質(zhì)點都處于其零勢能點的一組位置.質(zhì)點系的勢能質(zhì)點系的勢能:質(zhì)點系從某位置到其零勢能位

15、置的運動過程質(zhì)點系從某位置到其零勢能位置的運動過程中中,各有勢力做功的代數(shù)和為此質(zhì)點系在該位置的勢能各有勢力做功的代數(shù)和為此質(zhì)點系在該位置的勢能.已知已知: :均質(zhì)桿均質(zhì)桿l,m , ,彈簧剛度系數(shù)彈簧剛度系數(shù) k, , ab水平時平衡，彈水平時平衡，彈 簧變簧變形為形為 .0舉例舉例: :求求:桿有微小擺角時系統(tǒng)勢能桿有微小擺角時系統(tǒng)勢能. 重力以桿的水平位置為零勢能位置重力以桿的水平位置為零勢能位置, ,彈簧以自然位置彈簧以自然位置o為為零勢能位置零勢能位置: :kgmlklmglkv821221222220kmg200( )02almfklmg2221212022020202lmgllkmghkv取桿平衡位置為零勢能點取桿平衡位置為零勢能點: :2221lkv即即質(zhì)點系在勢力場中運動質(zhì)點系在勢力場中運動, ,有勢力功為有勢力功為2112vvw