高等數(shù)學(xué)(2017高教五版)課件函數(shù)的冪級數(shù)展開(工科類)

1、一、泰勒級數(shù)二、初等函數(shù)的冪級數(shù) 展開式 由泰勒公式知道, 可以將滿足一定條件的函數(shù)表示為一個多項式與一個余項的和. 如果能將一個滿足適當(dāng)條件的函數(shù)在某個區(qū)間上表示成一個冪級數(shù), 就為函數(shù)的研究提供了一種新的方法. 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開數(shù)學(xué)分析 第十四章冪級數(shù)*點擊以上標(biāo)題可直接前往對應(yīng)內(nèi)容在第六章3的泰勒定理中曾指出, 若函數(shù) f 在點x0 的某鄰域內(nèi)存在直至n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù), 200000()( )()()()()2!fxf xf xfxxxxx這里為( )nRx拉格朗日型余項(1)10( )( )(),(2)(1)!nnnfRxxxn ( )00()()( ),(1)!nnnfxxxR

2、xn其中 在x與x0之間, 稱(1)式為 f 在點0 x的泰勒公式. 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式泰勒級數(shù)則后退 前進(jìn) 目錄 退出( )nRx0()nxx由于余項是關(guān)于 的高階無窮小, 在點 0 x附近 f 可用(1)式右邊的多項式來近似代替, 這是泰勒公式帶來的重要結(jié)論. 再進(jìn)一步, 設(shè)函數(shù) f 在 0 xx處存在任意階導(dǎo)數(shù), 就可以由函數(shù) f 得到一個冪級數(shù) 200000()()()()()2!fxf xfxxxxx( )00()(),(3)!nnfxxxn 通常稱 (3) 式為 f 在 0 xx處的泰勒級數(shù). 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式因此例

3、1 由于函數(shù)21e,0,( )0,0 xxf xx在0 x 處的任意階導(dǎo)數(shù)都等于0 (見第六章4 第 二段末尾), ( )(0)0 ,1,2,nfn2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式對于級數(shù)(3)是否能在點 0 x附近確切地表達(dá) f , 0 x說級數(shù)(3)在點 附近的和函數(shù)是否就是 f 本身,就是本節(jié)所要著重討論的問題. 這即或者請先看一個例子. 因此 f 在 0 x 的泰勒級數(shù)為 20000.2!nxxxn(,) ( )0S x 顯然它在 上收斂, 且其和函數(shù) . 0 x ( )( )f xS x由此看到, 對一切 都有 .上例說明, 具有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù), 都能收斂于該函數(shù)

4、本身, 那么怎樣的函數(shù), 其泰勒級數(shù)才能收斂于它本身呢?2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式泰勒級數(shù)并不 哪怕在很小的一個鄰域內(nèi). 定理14.11上等于它的泰勒級數(shù)的和函數(shù)的充 0|xxr對一切滿足不等式 的x, 有 lim( )0,nnRx( )nRx0 x是f 在點 這里 泰勒公式的余項.設(shè) f 在點 0 x具有任意階導(dǎo)數(shù), 00(,)xr xr那么 f 在區(qū)間分條件是: 如果 f 能在點 0 x的某鄰域上等于其泰勒級數(shù)的和函數(shù),2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式0 x的這一鄰域內(nèi)可展開成泰勒級數(shù), 則稱函數(shù) f 在點200000()( )()()()()2!

5、fxf xf xfxxxxx( )00()()(4)!nnfxxxn并稱等式的右邊為 f 在 0 xx處的泰勒展開式, 或冪級數(shù)展開式. ( )2(0)(0)(0)(0),1!2!nnffffxxxn稱為麥克勞林級數(shù).2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式由級數(shù)的逐項求導(dǎo)性質(zhì)可得: 即冪級數(shù)展開式是唯一的.收斂區(qū)間(,)R R上的和函數(shù), (,)R R上的泰勒展開式,0nnna x 就是 f 在 則0nnna x若 f 為冪級數(shù)在在實際應(yīng)用上, 主要討論函數(shù)在 00 x 處的展開式:(1)01( )( )() d ,!xnnnRxftxttn(1)11( )( ),0,(1)!nn

6、nRxfxxn在與之間在與之間(1)11( )()(1),01.!nnnnRxfxxn 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式從定理14.11知道, 下面列出當(dāng) 00 x 時的積分型余項、拉格朗日型余項和柯西型余項, 余項對確定函數(shù)能否展開為冪級數(shù)是極為重要的, 以便于后面的討論. 例2 求下面k次多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式.2012( ).kkf xcc xc xc x解 由于( )!,(0)0,nnn cnkfnklim( )0,nnRx總總有有( )2(0)(0)( )(0)(0)2!kkfff xffxxxk即多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式就是它本身.2012,kkcc xc xc

7、 x2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式因而例3 求函數(shù) f (x) = ex 的冪級數(shù)展開式. 解 ( )( )( )e ,(0)1(1,2,),nxnfxfn由由于于1e( )(01).(1)!xnnRxxn 顯見 | |1e|( )|.(1)!xnnRxxn| |1elim|0,(1)!xnnxn于是對任何實數(shù) x, lim( )0.nnRx因因而而2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式f因因此此的拉格朗日余項為都有14.11由由定定理理得得到到2111e1,(,).1!2!xnxxxxn exy ()3n ()0n x11 O22462

8、y()2n 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式例4 ( )sin ,f xx對對于于正正弦弦函函數(shù)數(shù)( )( )sin,1,2,.2nnfxxn1sin+(1)2( )(1)!nnnRxxn ( )sinf xx(,) 所以在上可以展開為麥克勞 ( ).nfRx現(xiàn)現(xiàn)在在考考察察的的拉拉格格朗朗日日型型余余項項林級數(shù):35211sin( 1).3!5!(21)!nnxxxxxn 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式有 ,n因因為為時時1|0,(1)!nxn0123456-1-0.500.51xysin(x)n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5y = s

9、in x同樣可證(或用逐項求導(dǎo)), 在(,) 上有242cos1( 1).2!4!(2 )!nnxxxxn 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式例5 ( )ln(1)f xx函函數(shù)數(shù)的的各各階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是( )1(1)!( )( 1),(1)nnnnfxx ( )1(0)( 1)(1)!,nnfn 所以ln(1)x的麥克勞林級數(shù)是2341( 1).(5)234nnxxxxxn 用比式判別法容易求得級數(shù)(5)的收斂半徑1R , 且 1x 1x 當(dāng)時收斂, 時發(fā)散, 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式故級數(shù)(5)的收斂域 ( 1,1 是 . 下面討論在( 1,1 上

10、它的余項的極限.當(dāng)01x 時, 11( 1)!|( )|(1)!(1)nnnnnRxxn 10().1nn 當(dāng)10 x 時, 因拉格朗日型余項不易估計, 故改用柯西型余項. 111!|( )|( 1)(1)!(1)nnnnnnRxxnx 111|, 01.11nnxxx 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式對拉格朗日型余項, 有 此時有11(1) 1nxn 10,11,xx 因因故故1|( )0 ().1 |nnxRxnx 所所以以( 1,1 ln(1)x這就證得在上 的冪級數(shù)展開式就是(5). 1x ，將(5)式中 x 換成 ( )lnf xx 就得到函數(shù) 1x 在在處的泰勒展

11、開式:21(1)(1)ln(1)( 1),2nnxxxxn 其收斂域為 (0, 2.2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式101.1x 即即例6 討論二項式函數(shù)( )(1)f xx 的展開式. 解 當(dāng) 為正整數(shù)時, 就是例2.下面討論 不等于正整數(shù)時的情形, ( )( )(1)(1)(1),1,2,nnfxnxn ( )(0)(1)(1),1,2,nfnn 于是( )f x 的麥克勞林級數(shù)是2(1)12!xx (1)(1).(6)!nnxn 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式這時1R 運(yùn)用比式法, 可得(6)的收斂半徑. 11(1)()1( )(1),!1nnnnR

12、xxxnx 01. 由比式判別法, 10(1)()| 1,!nnnxxn 級級數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時時收收斂斂1(1)()lim0.!nnnxn 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式在 內(nèi)考察它的柯西型余項 ( 1,1) 故有 11,11,01,1xxx 又又有有且且11.1nx 從而有111| 1,0(1)(1 |)2.xxx 再再當(dāng)當(dāng)時時 有有11(1);xn 于于是是當(dāng)當(dāng)時時是是與與無無關(guān)關(guān)的的有有界界量量1 當(dāng)當(dāng)時時， 也也有有同同樣樣結(jié)結(jié)論論. .所以在 ( 1,1)( )(1)f xx 上上的的展展開開式式為為2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式lim( )0.nn

13、Rx,| 1,x 綜綜上上所所述述 當(dāng)當(dāng)時時2(1)(1)12!xxx (1)(1)(7)!nnxn 對于收斂區(qū)間端點的情形, 與 的取值有關(guān): 11x12 當(dāng)當(dāng)時時得得到到11x2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式(7)1 當(dāng)當(dāng)式式中中時時就就得得到到1,( 1,1); 當(dāng)當(dāng)時時 收收斂斂域域為為10,( 1,1; 當(dāng)當(dāng)時時 收收斂斂域域為為0, 1,1. 當(dāng)當(dāng)時時 收收斂斂域域為為21( 1),( 1,1).(8)nnxxxx 2311 31 3 51,( 1,1.(9)22 42 4 6xxxx 一般來說, 只有比較簡單的函數(shù), 根據(jù)冪級數(shù)展開式的唯一性, 2 函數(shù)的冪級數(shù)

14、展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式間接地求得函數(shù)的冪級數(shù)展開式. 其冪級數(shù)展開式能在更多情況下可以從已知的展開通過變量代換、四則運(yùn)算或逐項求導(dǎo)、逐項前面的展開冪級數(shù)的方法, 稱為直接展開法. 用直接展開法求得.式出發(fā),求積等方法，這就是間接展開的根據(jù).不管用什么方法得到的冪級數(shù)的系數(shù)都是一樣的.2x2x 例7 以與分別代入(8)與(9)式, 可得211x211x對 (10)、(11)分別逐項求積可得2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式201arctand1xxttxxx3535 nnxn21( 1), 1,1,21 221( 1),( 1,1),(10)nnxx2411 31,

15、( 1,1).(11)22 4xx201arcsind1xxtt35711 31 3 5, 1,1.2 32 452 4 67xxxx 11ln(1)( 1)(1,1,nnnxxxn 利利用用，得得111nnnnxxnn 221nnnnxxxnn 2 1,1).(1nnxxxn n ，）(1)ln(1)xx 0 x 例8 求 在處的冪級數(shù)展開式. 1ln(1)1,1)nnxxxn ，1(1)ln(1)(1)()nxnnxxx因此2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式解 熟練掌握某些初等函數(shù)的展開式，對于今后用間接方法求冪級數(shù)展開十分方便. 特別是例3 例7的結(jié)果,2(1)nnxxn

16、 n 由由于于的的收收斂斂域域為為 -1,1-1,1 ，(1)ln(1) 1,1).xx 嚴(yán)嚴(yán)格格地地講講只只是是它它在在上上的的和和函函數(shù)數(shù)2(1)ln(1), 1,1),(10,1.nnxxxxxn nx ）210,(1)nnxxxn n 而而當(dāng)當(dāng)時時，的的和和是是用類似方法可得2111ln2,( 1,1)121nnxxxxn . (13)2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式所以ln20.0001.例9 計算 的近似值, 精確到 11ln(1)( 1)nnnxxn 1x 解 可以在展開式 中令 , 得 11( 1)ln2nnn . 1|( )|1nRxn . 級數(shù)前10000

17、項的和, 2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式13x 得得，121xx ，令代入(13)式, 32111111ln22.33 321 3nn 有這是一個交錯級數(shù), 故有為了誤差小于0.0001, 就必須計算 為此在(13)式中收斂得太慢. 估計余項:212311110221 323 3nnnRnn21242111(21) 333nn 2121213211,(21) 314(21) 3nnnn2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式471100.00014 9 378732R ，取n=4,有 因此 3571111111ln2233 35 37 32(0.333330.021350.000820.00007)0.6931. 例10 用間接方法求非初等函數(shù)20( )edxtF xt的冪級數(shù)展開式. 解 以 2x 代替 ex 的展開式中的 x, 得 2242( 1)e1,.1!2!nnxxxxxn 再逐項求積, ( )F x(,) 在上的展開式: 20( )edxtF xt352111( 1).1! 32! 5!21nnxxxxnn2 函數(shù)的冪級數(shù)展開泰勒級數(shù)初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式最后舉例說明怎樣用冪級數(shù)形式表