吉林大學(xué)線性代數(shù)線性代數(shù)222課xm52

1、第五章 第二節(jié)方陣的特征值與特征向量線性變換中的問題ayxyx能否恰好和 共線？xopy 111xopyxopy 111xopyxopy 111xopy特征值、特征向量111212122212()|0| 0nnnnnnaaeaaaaeaaaaaaxxx0方，特征程n階矩陣有n個(gè)特征值1212112212(),( )( )|ijnnnnnaaiaaaiia （跡）21,2123412|520345332aae21,21212034120|5660345239aeiixxi 判別式0復(fù)根。解出的特征向量也是復(fù)向量。不可逆矩陣必然有0作為特征值12312312

2、345678915| 00aa 必然是一個(gè)特征值先得到特征值，再計(jì)算特征向量1n| 0(),iiaeaex0 xp，解出，解齊次線性方程組非零解都是特征向量1 121 121 1201 1211111010101011101220101 101 例題5：最一般情況。不同的特征值，不同的特征向量2212311331|13(3)186(4)(2)2,4aae 21212243410134011011011xxxx p1121212123210132011011011xxxxxx p對(duì)角矩陣的特征值可以直接得到21130 =2050020031 =3150020030 =50511 例題6：出現(xiàn)了重

3、復(fù)的特征值2123110430102110|430102(2)(1) =02,1aae 11112(2 )3101002410 010100000001(0)2aeaekk x0pp是對(duì)應(yīng)的特征向量二重特征值，特征向量可能重復(fù)。2322231210101420 012101000121(0)1aekk pp是對(duì)應(yīng)的特征向量例題7：又一次出現(xiàn)重復(fù)特征值22123211020413211|02041321(2)43(2)(2)(1)(2)1,2aae 11111,()111101030 0104140001011(0)aeaekk x0pp二重特征值，可能有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量。23232322

4、3324114112000 000411000011,0142aekk pppp12121510,5,50150,5,151ab 12ppp有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量例題8：a的單項(xiàng)式運(yùn)算2211aaaa是的特征值是 的特征值是的特征值（ 可逆的時(shí)候）2211()()()01aaa aaaaaap0pppppppppppp0pp共享相同的特征向量33222121,2,21,52,52,aaaeaaappppp,12323222212323:aa11ppppppa的多項(xiàng)式運(yùn)算0101( )( )( )( )kkmmmmaaaaaaaaa ea aa a 是 的特征值是的特

5、征值是 的特征值是的特征值特征向量與a相同例題9*1123*131, 1,232|2322322( )32(1)1, ( 1)3, (2)3aaaeaa aaaaeaae 階矩陣 的特征值為 求的特征值不同的特征值情況1212112111221122,11,mmkkkkkmmkmkxxxx ax ax a p ppp0p ppppp0ppp0假設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量分別是數(shù)學(xué)歸納法：時(shí)，線性無關(guān)。假設(shè)結(jié)論成立，當(dāng)時(shí)假設(shè)線性無關(guān)11122211122211112()()()()0,(1,2,1)000,kkkkkkkkkiikikikkkkkxxxxxxxikxxxppp0ppp0p0p0p pp線性無關(guān)。例題10121212121112221211221212121122112212121212,