旋轉(zhuǎn)體的體積

1、授課課題定積分的應(yīng)用（二）教學(xué)目標(biāo)和要求掌握利用定積分來求解平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積教學(xué)方法情景教學(xué)法教學(xué)手段板書PPT授課時(shí)間第18周課時(shí)累計(jì)53-54教學(xué)過程教學(xué)步驟及教學(xué)內(nèi)容時(shí)間分配5一，復(fù)習(xí)引入(1) 前面學(xué)習(xí)了定積分的求解方法也與原函數(shù)有關(guān)(2) 并且掌握了定積分的直接積分法(3) 學(xué)會(huì)了定積分的換元積分法與分布積分法(4 )那么我們定積分在實(shí)際應(yīng)用中主要起到什么樣的作用呢？ 新課：15二、體積1、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)平面圖形繞該平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而生成的立 體，該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.計(jì)算由曲線y f(x)直線x a，x b及x軸

2、所圍成的曲邊梯形, 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而生成的立體的體積.%$79.VIIrirb取x為積分變量，則x a,b，對(duì)于區(qū)間a,b上的任一區(qū)間x,x dx，教學(xué)步驟及教學(xué)內(nèi)容時(shí)間分配15例1求由曲線y hx及直線x繞x軸旋轉(zhuǎn)而生成的立體的體積0 ,x h(h 0)和x軸所圍成的三角形解：取x為積分變量，則x 0,h2-x dx hh2x dxh0102、平行截面面積為已知的立體的體積(截面法)由旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算過程可以發(fā)現(xiàn)：如果知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面的面積，那么這個(gè)立體的體積也可以用定積分來計(jì)算 如它所對(duì)應(yīng)的窄曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而生成的薄片似的立體的體積近似等于以f(x)為底半徑，dx為高

3、的圓柱體體積.即：體積元素為dV f(x) 2dx所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為b2V f(x) dxa取定軸為X軸，且設(shè)該立體在過點(diǎn)x a , x b且垂直于X軸的兩教學(xué)步驟及教學(xué)內(nèi)容時(shí)間分配15個(gè)平面之內(nèi)，以A(x)表示過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積.取x為積分變量，它的變化區(qū)間為a,b.立體中相應(yīng)于a,b上任一 小區(qū)間x,x dx的一薄片的體積近似于底面積為 A(x)，高為dx的扁圓 柱體的體積.即：體積微元為 dV A(x)dxb于是，該立體的體積為V A(x)dxa2 2例2計(jì)算橢圓 篤 篤 1所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積a b解：這個(gè)旋轉(zhuǎn)體可看作是由上半個(gè)橢圓 y b a2 x2及x軸

4、所圍成的a圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所生成的立體在x處(a x a)，用垂直于x軸的平面去截立體所得截面積為A(x)(-Va2 x2)2aaV A(x)dxab2 a( 2(ax2)dx - ab23三、定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用15定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用主要是已知邊際函數(shù)，要求總函數(shù)的問題.已 知邊際成本函數(shù) MC,邊際收入函數(shù) MR,則總成本函數(shù)C(q),總收入函數(shù)R(q)可以表示為教學(xué)步驟及教學(xué)內(nèi)容時(shí)間分配qC(q) 0(MC)dq C。A C0其中co為固定成本，一般有C(0) C,R(O) 0.15R(q) 0(MR)dq由總利潤(rùn)函數(shù)L(q) R(q) C(q)得qL(q) R(q) C(q)= 0(MR MC )dq Co例4某產(chǎn)品邊際成本為MC=3+q (萬兀/百臺(tái))，邊際收入MR=12-q(萬兀/百臺(tái))，固疋成本為5萬兀，試求利潤(rùn)函數(shù)L (q ).q解：由利潤(rùn)函數(shù) L(q) R(q) C(q)= 0 (MR MC)dq C。得qL(q) R(q) C(q)= 0(12 q) (3 q)dq 5=q2 9q 5五，課堂小結(jié)旋轉(zhuǎn)體的體積與定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用作業(yè)布置P105 T4、6、9課后反思：旋轉(zhuǎn)體的體積也是定積