2021-2021版高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1.1合情推理(一)學(xué)案新人教B版選修1-2

1、2.1.1合情推理(一)【明目標(biāo)、知重點(diǎn)】1. 了解歸納推理的含義，能利用歸納推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理2 了解歸納推理在數(shù)學(xué)開(kāi)展中的作用.2. 合情推理前提為真時(shí)，結(jié)論可能為真的推理，叫做合情推理3. 歸納推理根據(jù)一類(lèi)事物的局部對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類(lèi)事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理(簡(jiǎn)稱(chēng)歸納).4. 歸納推理具有如下的特點(diǎn)(1) 歸納推理是從特殊到一般的推理;(2) 由歸納推理得到的結(jié)論不一定正確;(3) 歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理.選要 情境導(dǎo)學(xué)佛教?百喻經(jīng)?中有這樣一那么故事.從前有一位富翁想吃芒果，打發(fā)他的仆人到果園去買(mǎi)，并 告訴他：“要甜的，好吃的，你才買(mǎi).仆人拿好錢(qián)

2、就去了.到了果園，園主說(shuō)：“我這里樹(shù)上的芒果個(gè)個(gè)都是甜的， 你嘗一個(gè)看.仆人說(shuō)：“我嘗一個(gè)怎能知道全體呢？我應(yīng)當(dāng)個(gè)個(gè)都 嘗過(guò)，嘗一個(gè)買(mǎi)一個(gè)，這樣最可靠.仆人于是自己動(dòng)手摘芒果，摘一個(gè)嘗一口，甜的就都買(mǎi)回去.帶回家去，富翁見(jiàn)了，覺(jué)得非常惡心，一齊都扔了想一想：故事中仆人的做法實(shí)際嗎？換作你，你會(huì)怎么做？學(xué)習(xí)了下面的知識(shí)，你將清楚是 何道理.探究點(diǎn)一歸納推理的定義思考1在日常生活中我們常常遇到這樣一些問(wèn)題：看到天空烏云密布，燕子低飛，螞蟻搬家等現(xiàn)象時(shí)，我們會(huì)得出一個(gè)判斷一一天要下雨了；張三今天沒(méi)來(lái)上課，我們會(huì)推斷一一張三生病了；諺語(yǔ)說(shuō)：“八月十五云遮月，來(lái)年正月十五雪打燈等，像上面的思維方式就是推

3、理，請(qǐng)問(wèn)你認(rèn)為什么是推理？答 根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程就叫做推理思考2觀察下面兩個(gè)推理，答復(fù)后面的兩個(gè)問(wèn)題：(1)哥德巴赫猜測(cè)：6 = 3+ 38 = 3+ 510= 5+ 512= 5+ 714= 7+ 716= 5+ 111 000 = 29+ 9711 002 = 139 + 863猜測(cè)：任何一個(gè)不小于 6的偶數(shù)都可寫(xiě)成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和(2)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，猜測(cè)：一切金屬都能導(dǎo)電問(wèn)題：以上兩個(gè)推理在思維方式上有什么共同特點(diǎn)？其結(jié)論一定正確嗎？答共同特點(diǎn)：局部推出整體，個(gè)別推出一般.(這種推理稱(chēng)為歸納推理)其結(jié)論不一定正確探究點(diǎn)二歸納推理的應(yīng)用例1數(shù)

4、列an的第1項(xiàng)a1 = 1,且an+1= 丑(n= 1,2,3，)，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通1 + an項(xiàng)公式解當(dāng)n= 1時(shí),a1 = 1;1 1a2；1 + 1 2121a3=131 +2131a4=141 +3當(dāng)n = 2時(shí),當(dāng)n = 3時(shí),當(dāng)n = 4時(shí),通過(guò)觀察可得：數(shù)列的前四項(xiàng)都等于相應(yīng)序號(hào)的倒數(shù)，由此歸納出an= 1.反思與感悟歸納推理的一般步驟：(1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜測(cè)).歸納推理在數(shù)列中應(yīng)用廣泛，我們可以從數(shù)列的前幾項(xiàng)找出數(shù)列項(xiàng)的規(guī)律，歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式或探求數(shù)列的前n項(xiàng)和公式跟蹤訓(xùn)練1數(shù)列an滿(mǎn)足ai= 1,

5、an+1= 2an+ 1(n= 1,2,3，)(1) 求 a2, a3, a4, a5；(2) 歸納猜測(cè)通項(xiàng)公式 an.解 (1)當(dāng) n= 1 時(shí)，知 a1 = 1,由 an+1 = 2an+1 得 a2= 3,a3= 7, a4 = 15, a5= 31.12(2)由 a1= 1 = 2 - 1, a2 = 3=2 - 1,345a3= 7 = 2 - 1, a4= 15= 2 - 1, &= 31 = 2 - 1,可歸納猜測(cè)出 an= 2n- 1( n N+).例2在法國(guó)巴黎舉行的第 52屆世乒賽期間，某商場(chǎng)櫥窗里用同樣的乒乓球堆成假設(shè)干堆“正三棱錐形的展品，其中第 1堆只有一層，就一個(gè)球

6、；第 2,3,4，堆最底層(第一層)分別 按圖所示方式固定擺放，從第二層開(kāi)始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù)，那么f(3) =; f( n)=(答案用含n的代數(shù)式表示).答案10n n+ 1 n+26解析觀察圖形可知:f(1) = 1 , f(2) = 4, f(3) = 10, f(4) = 20,，故下一堆的個(gè)數(shù)是上一堆個(gè)數(shù)加上下一堆第一層的個(gè)數(shù),即 f (2) = f(1) + 3 ； (3) = f(2) + 6;f (4) = f (3) + 10 ;；f (n) = f(n 1) +n+12n+ 12將以上(n- 1)個(gè)

7、式子相加可得f(n) = f (1) + 3+ 6+ 10 + +1 2 2 2=尹1 2 + 22 + n2) + (1 + 2 + 3+-+ n)1 1n n+ 1=小 n+ 1)(2 n+ 1) +n+ 2n n+ 1反思與感悟 解本例的關(guān)鍵在于尋找遞推關(guān)系式：f(n) = f(n 1) + -_n2巴一，然后用“疊n項(xiàng)和加法求通項(xiàng)，而第一層的變化規(guī)律，結(jié)合圖利用不完全歸納法可得，即為正整數(shù)前的變化規(guī)律.跟蹤訓(xùn)練2在平面內(nèi)觀察:凸四邊形有2條對(duì)角線(xiàn),凸五邊形有5條對(duì)角線(xiàn),凸六邊形有9條對(duì)角線(xiàn),由此猜測(cè)凸n(n?4且n N+)邊形有幾條對(duì)角線(xiàn)?解凸四邊形有2條對(duì)角線(xiàn),凸五邊形有5條對(duì)角線(xiàn)，

8、比凸四邊形多 3條,凸六邊形有9條對(duì)角線(xiàn)，比凸五邊形多 4條,于是猜測(cè)凸n邊形比凸(n 1)邊形多(n 2)條對(duì)角線(xiàn)因此凸n邊形的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)為2+ 3+4+ 5 + + (n 2) = *n(n 3)( n?4 且 n N+).當(dāng)堂測(cè)欄查疑缺3,1. 2+ 3= 233+ 8 = 33，4+ 15 =,，右(a、b均為實(shí)數(shù))請(qǐng)推測(cè)a=答案 635解析 由前面三個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)被開(kāi)方數(shù)的整數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系：整數(shù)和這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子相同,而分母是這個(gè)分子的平方減1，由此推測(cè)6+ :中，a= 6, b= 62 1 = 35. b2將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣:7 8 91()1112131415按照以上排列的規(guī)律，第 n行(n?3)從左向右的第3個(gè)數(shù)為答案n2 n+ 62解析前n- 1行共有正整數(shù)1 + 2 + + (n 1)個(gè),n2個(gè),因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中