初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式(優(yōu)質(zhì)課件)

1、2021/6/161第四節(jié)一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 級數(shù)級數(shù) 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開 二、函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 2021/6/162兩類問題兩類問題:在收斂域內(nèi)在收斂域內(nèi)和函數(shù)和函數(shù))(xSnnnxa0冪級數(shù)求求 和和展展 開開2021/6/163一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 級數(shù)級數(shù) )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中其中)(xRn( 在在 x 與與 x0 之間之間)稱為稱為拉格朗日余項拉格朗日余項 .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf則在則在若函數(shù)若函數(shù)0)(xxf

2、在的某鄰域內(nèi)具有的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導數(shù)階導數(shù), 此式稱為此式稱為 f (x) 的的 n 階泰勒公式階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有該鄰域內(nèi)有 :2021/6/164)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(為為f (x) 的的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù) . 則稱則稱當當x0 = 0 時時, 泰勒級數(shù)又稱為泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù) .1) 對此級數(shù)對此級數(shù), 它的收斂域是什么它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上在收斂域上 , 和函數(shù)是否為和函數(shù)是否為 f (x) ?待解決的問題待解決的問題 :若函數(shù)若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導數(shù)的某鄰域內(nèi)具

3、有任意階導數(shù), 0)(xxf在2021/6/165定理定理1 .各階導數(shù)各階導數(shù), )(0 x則則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要充要條件條件是是 f (x) 的泰勒公式中的余項滿足的泰勒公式中的余項滿足:.0)(limxRnn設函數(shù)設函數(shù) f (x) 在點在點 x0 的某一鄰域的某一鄰域 內(nèi)具有內(nèi)具有定理定理2： 若若 f (x) 能展成能展成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù), 則這種展開式是則這種展開式是唯一唯一的的 , 且與它的麥克勞林級數(shù)相同且與它的麥克勞林級數(shù)相同.2021/6/166二、函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 1. 直接展開法直接展開法

4、由泰勒級數(shù)理論可知由泰勒級數(shù)理論可知, 的冪級數(shù)的步展開成函數(shù)xxf)(求函數(shù)及其各階導數(shù)在求函數(shù)及其各階導數(shù)在 x0 = 0 處的值處的值 ;寫出麥克勞林級數(shù)寫出麥克勞林級數(shù) , 并求出其收斂半徑并求出其收斂半徑 R ; 判別在收斂區(qū)間判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi)內(nèi))(limxRnn是否為是否為驟如下驟如下 :展開方法展開方法直接展開法直接展開法 利用泰勒公式利用泰勒公式間接展開法間接展開法 利用已知其級數(shù)展開式利用已知其級數(shù)展開式0. 的函數(shù)展開的函數(shù)展開2021/6/167例例1. 將函數(shù)將函數(shù)xexf)(展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù). 解解: ,)()(xnexf), 1 ,0

5、(1)0()(nfn1其收斂半徑為其收斂半徑為 對任何有限數(shù)對任何有限數(shù) x , 其余項滿足其余項滿足 )(xRne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn故故,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n! ) 1(1nn0),(x( 在在0與與x 之間之間)x2!21x3!31xnxn!1故得級數(shù)故得級數(shù) 2021/6/168nnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos類似可推出類似可推出:),(x例例2. 將將xxfsin)(12153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxx展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).),(x2021/6/16

6、92!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x稱為稱為二項展開式二項展開式 .說明：說明：(1) 在在 x1 處的收斂性與處的收斂性與 m 有關有關 .(2) 當當 m 為正整數(shù)時為正整數(shù)時, 級數(shù)為級數(shù)為 x 的的 m 次多項式次多項式, 上式上式 就是代數(shù)學中的就是代數(shù)學中的二項式定理二項式定理.mxxf)1 ()(例例3. 將將函數(shù)函數(shù)展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù), 其中其中m為任意常數(shù)為任意常數(shù) . 2021/6/1610對應對應1,2121m的二項展開式分別為的二項展開式分別為xx21112421x364231x)11(x48642531x1

7、11 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xnnx) 1(x) 11(1112xxxxxn2021/6/16112. 間接展開法間接展開法211x x11利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算性質(zhì)利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算性質(zhì), 例例4. 將函數(shù)將函數(shù)展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解: 因為因為nxxx21)11(x把把 x 換成換成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得得將所給函數(shù)展開成將所給函數(shù)展開成 冪級數(shù)冪級數(shù). x11 xxxn21 1x2021/6/1612例例5. 將函數(shù)將函數(shù))1ln()

8、(xxf展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn從從 0 到到 x 積分積分, 得得xxxxnnnd) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn定義且連續(xù)定義且連續(xù), 區(qū)間為區(qū)間為.11x利用此題可得利用此題可得11) 1(41312112lnnn11x11x上式右端的冪級數(shù)在上式右端的冪級數(shù)在 x 1 收斂收斂 ,有在而1)1ln(xx所以展開式對所以展開式對 x 1 也是成立的也是成立的,于是收斂于是收斂2021/6/1613的冪級數(shù)展成將xxxxf121)(2:解)()(xxxf212113111) 1(110 xxxnnn而21221

9、10 xxxnnn例例6： (31xfnnnx01)()201nnnxnnnnx011321)(2121x2021/6/1614例例7. 將3412 xx展成 x1 的冪級數(shù). 解解: )3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x41nnnnx2) 1() 1(0081nnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x2021/6/1615內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 函數(shù)的冪級數(shù)展開法(1) 直接展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開式的函數(shù) .2021/6/16162. 常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn !212nxxxenx x x1ln! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77x),(x2021/6/1617xcos1!2