雙縫干涉條紋間距公式的推導——兩種方法

1、.雙縫干涉條紋間距公式的推導雙縫干涉條紋間距公式的推導Oxy如圖建立直角坐標系，其x軸上橫坐標為的點與的點為兩波源。這兩個波源的振動情況完全相同，則這兩個波源發(fā)生干涉時的加強區(qū)為到兩個波源的距離差為波長整數(shù)倍（零除外）的雙曲線簇。其中、為所有雙曲線的公共焦點。這個雙曲線簇的方程為：Oxy用直線去截這簇雙曲線，直線與雙曲線的交點為加強的點。將代入雙曲線簇的方程，有：解得：上式中，d的數(shù)量級為，為。故，x的表達式簡化為：其中的數(shù)量級為，d的數(shù)量級為。故，x的表達式簡化為：可見，交點橫坐標成一等差數(shù)列，公差為，這說明：（1）條紋是等間距的；（2）相鄰兩條紋的間距為。至此，證明了條紋間距公式：。楊氏雙

2、縫干涉條紋間距到底是不是相等的？海軍航空工程學院 李磊 梁吉峰 選自物理教師2008年第11期在楊氏雙縫干涉實驗中，在現(xiàn)行的高中物理教科書中得出相鄰的明紋（或者暗紋）中心間距為：xL/d，其中L為雙縫與屏的間距，d為雙縫間距，對單色光而言，其波長為定值，所以我們得出的結(jié)論是干涉圖樣為等間距的一系列明暗相同的條紋，但是在現(xiàn)行的高中物理教科書中所給的干涉條紋的照片卻并非如此，如圖1。我們可以看到只是在照片中央部分的干涉條件是等間距的，但是在其邊緣部分的條紋的間距明顯與中央部分的條紋間距不同。問題到底出在哪里呢？首先我們來看現(xiàn)行的教科書上對于楊氏雙縫干涉的解釋，如圖2。設定雙縫S1、S2的間距為d，

3、雙縫所在平面與光屏P平行。雙縫與屏之間的垂直距離為L，我們在屏上任取一點P1，設定點P1與雙縫S1、S2的距離分別為r1和r2，O為雙縫S1、S2的中點，雙縫S1、S2的連線的中垂線與屏的交點為P0，設P1與P0的距離為x，為了獲得明顯的干涉條紋，在通常情況下Ld，在這種情況下由雙縫S1、S2發(fā)出的光到達屏上P1點的光程差r為S2Mr2r1dsin， （1）其中也是OP0與OP1所成的角。因為dL，很小，所以sintan （2）因此rdsind當rdk時，屏上表現(xiàn)為明條紋，其中k0，1，2， （3）當rd（k）時，屏上表現(xiàn)為暗條紋，其中是k0，1，2，。 （3）我們繼續(xù)算得光屏上明條紋和暗條紋

4、的中心位置。當xk時，屏上表現(xiàn)為明條紋，其中k0，1，2，。 （4）當x（k）時，屏上表現(xiàn)為暗條紋，其中k0，1，2，。 （4）我們還可以算出相鄰明條紋（或者暗條紋）中心問的距離為xxk1xk。 （5）至此我們得出結(jié)論：楊氏雙縫干涉條紋是等間距的。問題就在于以上的推導過程中，我們用過兩次近似，第1次是在運用公式rr2r1dsin的時候，此式近似成立的條件是S1P1S2很小，因此有S1MS2P1，S1MOP1，因此P0OP1S2S1M，如果要保證S1P1S2很小，只要滿足dL即可，因此rdsin是滿足的。第2次近似是因為dL，很小，所以sintan。下面我們通過表1來比較sin與tan的數(shù)值。表

5、11234567sin0.0174520.0348990.0523590.0697560.0871550.1045280.121869tan0.0174550.0349200.0524070.0699260.0874880.1051040.122784891011sin0.1391730.1564340.1736480.190808tan0.1405400.1583840.1763260.194380從表1中我們可以看出當6時，0.6%。因此當6時，相對誤差就超過了0.6%，因此我們通常說sintan成立的條件是5，當5時，sintan就不再成立。而在楊氏雙縫干涉實驗中，很小所對應的條件應該是

6、xL，這應該對應于光屏上靠近P0的點，在此種情況下上述的推導過程是成立的，干涉條紋是等間距的。而當x較大時，也就是光屏上離P0較遠的點所對應的角也較大，當5時，sintan就不再成立，上述推導過程也就不完全成立了，（2）式就不能再用了。此時sin所以，rdsink，屏上表現(xiàn)為明條紋，其中k0，1，2，rdsin（k），屏上表現(xiàn)為暗條紋，其中k0，1，2，。因此可以得到光屏上明紋或者暗紋的中心位置為x，屏上表現(xiàn)為明條紋，其中k0，1，2，x，屏上表現(xiàn)為暗條紋，其中k0，1，2，。則相鄰的明條紋中心問距為x明xk1明一xk明鄰暗條紋中心間距為x暗xk1暗一xk暗由上式可見相鄰的明、暗條紋就不再是等間距的了，這也正如教科書上的照片所示的條紋分布。下面我們通過一個實例來定量計算等間距條紋的條數(shù)。例1：用氦氖激光器（頻率為4.7