七、線性變換習題課

1、.七、線性變換習題課1復習線性變換的概念 例1 將C看成R上的線性空間，變換是線性的，看成C上的線性空間則不是。證明：R上：有= 又 故A是R上線性空間C的線性變換。 C上：取及，有，而 ，故A不是C上線性空間C的線性變換。由上例，變換A是否為線性變換與所討論的數(shù)域有關。2利用運算的意義，運算律推證線性變換的等式，利用線性變換與n階方陣代數(shù)同構解決有關問題。 例2 設A,B是線性變換，如果證明： ，（k0）證明: 由已知,對k=1結論成立,故考慮用數(shù)學歸納法. 對k用歸納法.當k=1時結論成立. K=2時,由已知 =AB=(BA+E)A+A-BA2 =BA2+A+A-BA2=2A 結論成立.

2、設當k時結論成立,即,也即. 當k+1時, =ABAk+AkAk-1-BAk+1=(BA+E)Ak+kAk-BAk+1 =BAk+1+Ak+kAk-BAk+1=(k+1)Ak 所以結論對k+1也成立,從而對一切k1成立. 例3 設V是數(shù)域P上n維線性空間,證明:V的與全體線性變換交換的線性變換是數(shù)乘變換.證明: 需要表達出線性變換,聯(lián)系到某基下的矩陣. 設令A,B在某基下的矩陣分別為A,B. 因為,所以由得AB=BA.由的任意性,也是任意的,從而存在某個k使得A=kE為數(shù)量陣(P.204,ch.4.ex.7.3),于是為數(shù)量變換.有了變換乘積,進一步可考慮可逆變換.3. 系統(tǒng)小結可逆線性變換的

3、的等價條件,并舉例說明一些基本論證方法. A可逆10 存在使=E. A是雙射. A在基下的矩陣A可逆有限維 例4 設是線性空間V的一組基,A是V上的線性變換,證明:可逆當且僅當線性無關.證明:證法一:“” ,若=0,有B()=0,即=0, =0,即線性無關.“” 線性無關, 因dimV=n,故使得 =A() 令使=() 易見,且,即 又任給設= 有()=故,從A可逆.證法二:利用雙射“” A是雙射,則0=A() 得0=(0對應0) 故,線性無關.“” 由dimV=n,V的任一向量可由唯一表示,即V中任一向量有唯一(要證明)原像(顯然).故A是雙射.證法三:利用矩陣A可逆A在下的矩陣A可逆 ()

4、A也是一組基=n 線性無關 例5 設,W1,W2是V的子空間,且,則可逆.證明:由,有V,可設W1的一組基為, W2的一組基為,則為V的一組基.“” A可逆,故線性無關,1,2的秩為r,n-r,和分別為1和2的基,故.“” ,有dimV=dim,=(),故為AV的一組基,即線性無關,A可逆.4.小結:線性變換矩陣的求法,進一步掌握矩陣的概念. 為V的一組基, () =()A, ()=()X為另一組基,有 ()=()例6 在空間Pxn中,是線性變換,求在基,下的矩陣.證明: 首先由ex.1.5)知,是線性變換,是線性變換,故是線性變換. 其次,只要求出,用表示,就可得A. =(1)=1-1=0,

5、 =- = = 所以, (,)=(,), 所求矩陣為.例7 設三維線性空間V上的線性變換A在基下的矩陣為,1).求在基()下的矩陣;2).求在基()下的矩陣,其中k;3).求在基()下的矩陣.證明:1). = = = = ()=()所求矩陣為。又可()=()=（）故所求矩陣為A2)= ()又()=()故所求矩陣為A=A3). = = = = 所求矩陣為又()=()故所求矩陣為A = A 例8 ,在任一組基下矩陣都相同,則是數(shù)乘變換.證明: 要證在任一組基下矩陣是數(shù)量陣. 設在基下下的矩陣為A,對任一n階非退化方陣X,()=()X為V的另一組基,在此基下的矩陣為即,由的任意性, A為數(shù)量陣.事實

6、上,此時A與任意可換:設可逆矩陣使,則可逆,與A交換,得 于是,由P.204 ex.7 3), A為數(shù)量陣,從而為數(shù)量變換.例9 證明:下面兩個矩陣相似,其中是1,n的一個排列:, .證明: 曾在二次型中證明過它們合同,顯然它們等價,將它們看成一個線性變換在不同基下的矩陣.設,在基()下的矩陣為A,則顯然()是V的另一組基,此基下的矩陣為B.將線性變換與方陣的特征諸概念列表對比,指出異同,明確求法.線性變換矩陣A特征多項式特征值特征向量有限維例11 設是線性變換的兩個不同特征值, 是分別屬于的特征向量,證明: 不是的特征向量.證明:只要證 若有這樣的存在,則 = 而屬于不同的特征值,線性無關,

7、故,矛盾.將此結果與屬于同一個特征值的特征向量的和(0)作比較, 是的屬于的兩個特征向量,則當0時, 是的一個特征向量(屬于).例12 證明:如果以V中每個非零向量為特征向量,那麼是數(shù)乘變換.分析: 每個非零向量都是特征值k的特征向量 每個非零向量都是特征向量且特征值只有一個證明:若,有都是的特征向量. 若是分別屬于兩個不同的特征值,那麼由上題, 即不可能是的特征向量,矛盾. 故,有是屬于的同一特征值的特征向量.設這個特征值為k,于是,又=k0=0,故. 例13. 可逆,則1). 有特征值,則不為0;2). 是的特征值,則-1是的特征值.證法一:1).設是的特征值,是屬于的特征向量,則. 因可

8、逆, -1存在,且-1L(V),有 , 即,而,有. 2).由1), -1是的特征值. 3).的特征向量是的特征向量.證法二:當V是有限維時,設在基下的矩陣為A,則由可逆,A可逆.1).若是的特征值,則0=與A可逆矛盾.2).若是的特征值,則,且即-1是的特征值,而,故-1是的特征值.(注:一般情況與有限維時證明方法不一樣;此結論要求掌握.) 特殊變換的特征值例14 設,若,稱為對合變換,求的特征值.證明: 設是的特征值, 是相應的特征向量,有, ,而,故P，即若有特征值只能是1或-1. 則則確有特征值1或-1.證法二：又,若是的特征值,則-1是的特征值.且若是的屬于的特征向量，則是的特征向量

9、，必有=-1，=. ,則的特征值只能是1,0;若則,即有特征值1;時,有特征值1;當?shù)闹萵時,0也是的特征值.例15 設dimV=n, ，證明：是對合變換時必可對角化。分析：的特征值至多有兩個1和-1，從而不好利用第一個充分條件。設法用充要條件，證明屬于1的線性無關特征向量數(shù)與屬于-1的線性無關特征向量數(shù)之和為n；即(E-A)X=0的基礎解系個數(shù)+（-E-A）X=0的基礎解系個數(shù)=n；即 r(E-A)+r(-E-A)=n.證明：設為V的一組基，且在此基下的矩陣為A，由，有A2=E,故0=E-A2=(E-A)(E+A),r(E-A)+r(E+A)=n，最后一個等式由Chap.4.補3.P.208

10、. 設r(E-A)=r0,則r(-E-A)= r(E+A)=n-r,故(E-A)X=0的基礎解系有n-r個線性無關解; (-E-A)X=0的基礎解系有r個線性無關解.即的屬于1的線性無關特征向量有n-r個,屬于-1的線性無關特征向量有r個;而有定理9,屬于不同特征值的特征向量線性無關,故有n個線性無關特征向量,從而可對角化.1. 由(E-A)(-E+A)=0,有,若,則=0,即1不是特征值則-1必是,兩者必有一,但可不全是.2. 冪等變換,可對角化,也可仿此證.例16 設是4維空間V的一組基，在此基下的矩陣為.1).求在基, 下的矩陣;2).求的特征值與特征向量;3).求可逆矩陣T使得T-1A

11、T為對角陣.證明:1).= =S易知從而在下的矩陣為B=S-1AS=.2). 的特征多項式為=故的特征值為0,1,0.5P.解方程組(E-B)X=0=0:BX=0, =0因為,得基礎解系.的屬于0的特征向量為= 其中不全為0.=1: (E-B)X=0, =0解得,得基礎解系,的屬于1的特征=向量為=其中不為0.=0.5: (0.5E-B)X=0, =0解得,得基礎解系.的屬于0.5的特征向量為=其中不為0.3).由2).所得4個特征向量,線性無關,可作為V的一組基,在此基下的矩陣為,而由到這組基的過渡陣為,且.例17 設是4維線性空間V的一組基,已知線性變換在此基下的矩陣為1).求在以下基下的

12、矩陣:,2).求的核與值域.3).在的核中選一組基,把它擴充為V的一組基,并求在此基下的矩陣.4).在中選一組基擴充為V的基,并求在此基下的矩陣.證明:1).由基到的過渡矩陣為 ,在 下的矩陣為2).,設() 0=()=()A A=0, =0解此齊次線性方程組得 所以基礎解系為(-4,-3,2,0),(-1,-2,0,1)從而 是的一組基,即=. 因dim=4-dim=4-2=2,而=,的坐標列為A的列,且A的前2列線性無關,從而線性無關, 即=.3).由(),及故向量組()=()=()Q線性無關,即是V的一組基,此基由的一組基擴充而成,其中Q為由到的過渡陣.在下的矩陣為(其中后兩列是0因為中

13、元被作用后在任何基下的坐標均為(0,0,0,0)4).()=() ,而故向量組()=()=()P線性無關,是V的一組基,由的基擴充而成,由到的過渡陣為P,在此基下的矩陣為 (后兩行為0因為任一向量被作用后都在中,由線性表出).例18 設,證明:1).與有相同的值域當且僅當;2). 與有相同的核當且僅當.證明:1).“”：故存在，于是 “”： ，即，同理 ， 故。 2). “”：即 故同理 “”： 有 同理,故例19 設是有限維線性空間V的線性變換,W是V的子空間,表示由W中向量的像組成的子空間,證明:dim()+dim()=dimW分析:定理11 dim()+dim()=dimV的證明中,取的

14、基,擴充為V的基.證明:取的一組基,將它擴充為W的一組基 , 即W=L(,)由于故 W=L(,)=L()若有 即存在使得=故有即線性無關，dim W=m-r=dimW-dim()附注：dim()+dim()=dimV是對V而言的，對子空間的值域和核也一樣。例20 設為n維線性空間V的線性變換,證明:的秩的秩+的秩-n.分析:chap4補10.(p209) r(AB)r(A)+r(B)-n,設法將變換的秩與相應矩陣的秩對應.證法一: 設在基下的矩陣分別為A,B,則的秩= r(AB), 的秩= r(A), 的秩= r(B).由chap4.補10. r(AB)r(A)+r(B)-n,得證.證法二:注

15、意到的秩=dim,可用定理11.由定理11和補9, 秩(AB)=dim=dim-dim()而,dim()dim故秩()dim-dim=秩-(n-秩)= r(A)+r(B)-n.例21 設,W是子空間,若可逆,證明:W也是-子空間.注7.8.1 在證時,有人認為可逆,從而是一一對應,故既單(=0,=0)又滿(),從而,不必考慮有限維,這是錯誤的: 在間一一對應,不是在間一一對應.反例:V=Px=L(1,x,x2,x3,),W=f(x2)x2|f(x)=L(x2,x4,x3,) 顯然可逆(因是一一對應),但如.另在間單,dimW有限,因而在間滿.例22. 設V是復數(shù)域上n維線性空間,證明:1).如果是的一個特征值,那麼是的不變子空間; 2).至少有一個公共特征向量.證明:1). 是子空間, ,故使得 所以, 2).因為V是C上的線性空間, 至少有一個特征值,設為的特征值,由1), 為子空間.令,則有特征值,設為,則存在0使得,故