高等數(shù)學(xué)及其應(yīng)用電子教案第二版同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系ch27

1、第七節(jié)第七節(jié) 微分中值定理微分中值定理本節(jié)要點本節(jié)要點 本節(jié)主要討論在微分學(xué)中起著重要作用的幾個中值定本節(jié)主要討論在微分學(xué)中起著重要作用的幾個中值定一、羅爾定理一、羅爾定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理理理:一、羅爾定理一、羅爾定理 首先首先, 讓我們來觀察這樣一個幾何事實讓我們來觀察這樣一個幾何事實. 如圖所示如圖所示:( )0.fyxbaoc yf xab 我們看到在曲線弧的最高點我們看到在曲線弧的最高點 或最低點處或最低點處( )( ),f af bc的橫坐標為的橫坐標為 則有則有,( ),yf xxa bab連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧 是函數(shù)是函數(shù) 的圖形的圖形, 如果如果c曲線有

2、水平切線曲線有水平切線. 若記點若記點 則則:0()0.fx00()()0,f xxf x 00 ,f xf xf xf x或或證證 不妨設(shè)不妨設(shè) 時時, 有有0 xu x引理（費馬引理）引理（費馬引理） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 的某鄰域的某鄰域 ( )f x0 x0u x0u x0 xxyo yfx0f x0 x0 xu x內(nèi)有定義并在內(nèi)有定義并在 處可導(dǎo)處可導(dǎo), 若對任意的若對任意的 有有 00,xx u x 0f xf x故當故當有有00()()0;f xxf xx 00()()0;f xxf xx 00000()()()()lim0,xf xxf xfxfxx 當當 時時,0 x 當當

3、 時時,0 x 由函數(shù)由函數(shù) 在點在點 處的可導(dǎo)性及極限的保號性處的可導(dǎo)性及極限的保號性, 得得0 x( )f x由此得到由此得到 0()0.fx 注注 通常稱導(dǎo)數(shù)為零的點為函數(shù)的通常稱導(dǎo)數(shù)為零的點為函數(shù)的駐點駐點.00000()()()()lim0,xf xxf xfxfxx 該引理說明該引理說明: 可導(dǎo)函數(shù)的極值點為駐點可導(dǎo)函數(shù)的極值點為駐點.( )0.f( )0.f ,f af b證證 因因 故故 必在必在 上取到最大值上取到最大值 與與,fc a b f x, a bm最小值最小值 若若.mmm則存在則存在 使得使得,a b羅爾定理羅爾定理 如果函數(shù)如果函數(shù) 滿足條件滿足條件:( )f

4、 x在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù), 在開區(qū)間在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo); , a b, a b有有fc,a b 若若 那么那么 與與 中至少有一個不等于中至少有一個不等于 不妨設(shè)不妨設(shè),mmmm ,f a 因因 故故 由此存在由此存在 ,mf a ,f af b ,mf b注注 羅爾定理的幾何意義羅爾定理的幾何意義.yxbaom yf xab,a b使得使得 ,fm因因 存在存在, f( )0.f得得最大值最大值駐點駐點由費馬引理由費馬引理例例2.45 對函數(shù)對函數(shù) lnsin ,f xx羅爾定理的正確性羅爾定理的正確性.證證 在區(qū)間在區(qū)間 上上, 3,44函數(shù)函數(shù) 為初等函為初等函 lnsin

5、f xx因而連續(xù)因而連續(xù), 可導(dǎo)可導(dǎo). 又又31ln2,442ff 條件滿足條件滿足. 因因 cossinxfxx故定理的結(jié)論成立故定理的結(jié)論成立.故定理故定理3,44在區(qū)間在區(qū)間 上驗證上驗證0,2f因而對函數(shù)因而對函數(shù) 及區(qū)間及區(qū)間 羅爾定理是正確的羅爾定理是正確的. f x3,44例例2.46 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) yf x爾定理條件爾定理條件, 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù), 在在, a b, a b開區(qū)間開區(qū)間 上可導(dǎo)上可導(dǎo), 且且 0,fx證明對任意常數(shù)證明對任意常數(shù),c方程方程 f xc在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)至多有一個根內(nèi)至多有一個根., a b證證 用反證法用反證法, 若方程在若方程在 上

6、有上有2個根個根 , a b12,x x即即12,f xf xc則在以則在以 為端點的區(qū)間上為端點的區(qū)間上, 函數(shù)函數(shù)12,x x yf x滿足羅滿足羅所以在所以在 和和 之間有之間有1x2x,使得使得 0,f這和已知條件矛盾這和已知條件矛盾, 所以根至多只有一個所以根至多只有一個.二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 再觀察下面的幾何現(xiàn)象再觀察下面的幾何現(xiàn)象. 如圖所示如圖所示,c f b f aabxoba yf xty連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧 是是ab函數(shù)函數(shù) ,yf xxa b的圖形的圖形, 圖中圖中 ,f af b弦弦 的斜率是的斜率是ab( )( ),f bf aba而在曲線弧而在

7、曲線弧 上至少有一點上至少有一點ab,c曲線在該點的切線曲線在該點的切線 恰好與恰好與ct弦弦 平行平行. 若記若記 的橫坐標的橫坐標abc( )( )( ).f bf afba 這個幾何現(xiàn)象可以表述為下面的拉格朗日中值定理這個幾何現(xiàn)象可以表述為下面的拉格朗日中值定理.c f b f aabxoba yf xty為為,則有則有或?qū)懗苫驅(qū)懗?( )( ),()f bf afba（2.18）拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 若函數(shù)若函數(shù) 使得使得( , )a b( )f x滿足在閉區(qū)間滿足在閉區(qū)間, a b上連續(xù)上連續(xù), 在開區(qū)間在開區(qū)間 上可導(dǎo)上可導(dǎo), 則至少存在點則至少存在點, a b( )(

8、 )( )().f bf afba（2.19） 分析分析 當當( )( ),f bf a則由（則由（2.18）得）得( )0.f因此該定理可以看作是羅爾定理的推廣因此該定理可以看作是羅爾定理的推廣. 為使用羅爾定為使用羅爾定理理, 需要構(gòu)造一個與需要構(gòu)造一個與 有密切關(guān)系的輔助函數(shù)有密切關(guān)系的輔助函數(shù)( )f x( ),h x并使得并使得 滿足羅爾定理條件滿足羅爾定理條件, 并能把所得到的結(jié)論并能把所得到的結(jié)論 h x轉(zhuǎn)化到轉(zhuǎn)化到 上上, 從而證得所從而證得所( )f xc f b f aabxoba yf xty需要的結(jié)果需要的結(jié)果, 借助右圖來構(gòu)借助右圖來構(gòu)造輔助函數(shù)造輔助函數(shù)( ).h

9、x 由于弧由于弧 的方程為的方程為ab( ),yf x弦弦 的方程為的方程為abc f b f aabxoba yf xty( )( )( ),f bf ayf axaba在同一個橫坐標在同一個橫坐標 處處, 弧弧 與弦與弦 的高度差為的高度差為xabab ( )( )h xf xf a( )( ),f bf axaba并且由于弧與弦在端點重合并且由于弧與弦在端點重合, 即即 ( )0.h ah b因此函數(shù)因此函數(shù) 滿足羅爾定理條件滿足羅爾定理條件, 容易驗證該函數(shù)滿容易驗證該函數(shù)滿( )h x足羅爾定理條件足羅爾定理條件.證證 構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù) ( )( )( ),f bf ah xf xf

10、 axaba則容易驗證函數(shù)滿足羅爾定理條件則容易驗證函數(shù)滿足羅爾定理條件和和, 由此存在由此存在,a b使得使得 0.h即即: ( )( )0,f bf ahfba也就是也就是 ( )( ).()f bf afba注注1 拉格朗日中值定理的幾何描述拉格朗日中值定理的幾何描述( )( )( )().f bf afba公式（公式（2.18）與（）與（2.19）稱為）稱為注注2 當當 時時, 上式仍然成立上式仍然成立, 即即ba yf x yh xbaxyo拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.注注3 微分中值定理僅說明了微分中值定理僅說明了點點 的存在性的存在性, 并沒有說明其并沒有說明其具體值具體值

11、, 這在使用時要注意這在使用時要注意.例例2.47 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)4,yxx畫出曲線在畫出曲線在 中中 0,100,10的圖形的圖形, 在同一平面上畫出過點在同一平面上畫出過點 的割線的割線, 并并 1,5 , 8,8.5割線的斜率為割線的斜率為:0.5.k 為求切點的為求切點的 坐標坐標, 求解方程求解方程:x所以所以, 割線方程割線方程:0.54.5.yx2410.5.x即即:20.54.x 作相應(yīng)的切線作相應(yīng)的切線.再求出相應(yīng)切點坐標再求出相應(yīng)切點坐標4.24260.52.8284 .yx2.8284,4.2426由此得到切線方程由此得到切線方程:4yxx切線切線割線割線切點切點 我們知道

12、我們知道, 若函數(shù)為常數(shù)若函數(shù)為常數(shù), 則其導(dǎo)數(shù)為零則其導(dǎo)數(shù)為零; 作為該定理作為該定理 212112()( ) ,f xf xfxxxx證證 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)任取兩點內(nèi)任取兩點 （不妨設(shè)（不妨設(shè) ）, 則由則由12,x x12xxi么么 在在 內(nèi)是一個常數(shù)內(nèi)是一個常數(shù).( )f xi定理定理2.2 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零, 那那 ( )f xi的應(yīng)用的應(yīng)用, 我們導(dǎo)出如下事實我們導(dǎo)出如下事實: 若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒為零若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒為零, 則該則該函數(shù)必為常數(shù)函數(shù)必為常數(shù).公式公式:由條件知由條件知 0f12( )(),f xf x意性意性, 得得 為常數(shù)為常數(shù).( )f x12,x x由由 的任的任 ( )(0)( ),f xff xfx因因 ，因而上式為，因而上式為 11fxxln(1) 0