線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)呂代數(shù)ch5-1

1、 ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型110142010122a12n？111212122212nnnnnnaaaaaaaaaa5.1 特征值與特征向量特征值與特征向量5.2 相似矩陣相似矩陣5.3 對稱矩陣及其對角化對稱矩陣及其對角化 ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積定義定義1:設(shè)有設(shè)有n維向量維向量12,nxxxx 12,nyyyy 1122, nnx yx yx yx y稱為稱為向量向量 與與 的內(nèi)積的內(nèi)積.xy即：即：yxyxt,(i) ,;x yy x (ii) ,;x yx y (iii) ,;xy zx zy z 性質(zhì)：性質(zhì)：定義定義設(shè)設(shè)

2、 為為n維向量維向量,為實數(shù)為實數(shù). ., ,x y z ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型當(dāng)當(dāng) 時，時，1x 稱稱 為為單位向量單位向量. .x定義定義2: ,xx x 22212,nxxx 當(dāng)當(dāng) 時，時，0, 0 xy ,arccos x yxy 稱為稱為n維向量維向量 與與 的夾角的夾角.xy若若 ，0 x 則則 與任何向量都正交與任何向量都正交. .x 稱為稱為n 維向量維向量 的的長度長度或或范數(shù)范數(shù).x ,00tx yx y 或或若若 則稱則稱 與與 正交正交. .xy ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型（正交向量組）（正交向量組）定理定理1: 若若 n 維向量維向量

3、是一組是一組兩兩正交的非零向量兩兩正交的非零向量, ,則則12,ra aa12,ra aa線性無關(guān)線性無關(guān). .證：證：設(shè)有一組數(shù)設(shè)有一組數(shù) 使使12,r 1 1220.rraaa 111212110ttttrra aa aa aa 1110.ta a 10a 21110,ta aa 10. 類似可證類似可證20,0.r 因此向量組因此向量組 線性無關(guān)線性無關(guān). .12,ra aa ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型例例1: 已知已知3維向量空間維向量空間r3中兩個向量中兩個向量121 01 , 21 -2aa 正交正交, ,試求一個非零向量試求一個非零向量 , ,使使 兩兩正交兩兩正交

4、. .3a123,a a a解：解：1323,xaxx 設(shè)設(shè) 022032321xxxxx則則 22011 1a 11011 1 .,23231xxxx令令 ，31x 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系2 1 . 1 取取32 1 1a 即為所求即為所求. . 11020 1 ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型定義定義3： 設(shè)設(shè) n 維向量維向量 是向量空間是向量空間v (v rn)的一個基的一個基,12,re ee 如果如果 兩兩正交兩兩正交，且都是，且都是單位向量單位向量，則稱，則稱12,re ee12,re ee是是v的一個的一個規(guī)范正交基規(guī)范正交基. .（正交基）正交基）若若 是是v的一個規(guī)范

5、正交基，的一個規(guī)范正交基，12,re ee那么那么v 中的任一向量中的任一向量a應(yīng)能由應(yīng)能由 線性表示，線性表示，12,re ee設(shè)表示式為：設(shè)表示式為：1 122rraeee ttiiiie ae e 2iie i 證：證：,tiiie ae a 則則 ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型如何求如何求v的規(guī)范正交基的規(guī)范正交基？設(shè)設(shè) 是向量空間是向量空間v的一個基，的一個基，12,ra aa要求要求v的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基也就是要找一組兩兩正交的單位向量也就是要找一組兩兩正交的單位向量 ,12,re ee使使12,re ee與與12,ra aa等價等價.把把12,ra aa這個

6、基這個基規(guī)范正交化規(guī)范正交化. ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型把把 規(guī)范正交化的步驟：規(guī)范正交化的步驟：12,ra aa取取11;ba 1222111,;,b ababb b 121121112211,.,rrrrrrrrrb ab abababbbb bb bbb 容易驗證容易驗證 兩兩正交，兩兩正交，12,rb bb且且 與與 等價等價. .12,rb bb12,ra aa首先把首先把 正交化：正交化：12,ra aa再把再把 單位化：單位化：12,rb bb取取1111,ebb 2221,ebb ,1,rrrebb 就得到就得到v的一個的一個規(guī)范正交基規(guī)范正交基. .施密特正交

7、化過程施密特正交化過程132333121122,;,b ab ababbb bb b ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型例例2 用施密特正交化方法用施密特正交化方法,將向量組將向量組123(1,1,1,1) ,(1, 1,0,4) ,(3,5,1, 1)tttaaa正交規(guī)范化正交規(guī)范化. .解解 先先正交化正交化，取，取 111,1,1,1tba 1222111,b ababb b 1 1 41, 1,0,41,1,1,11 1 1 1tt 0, 2, 1,3t 132333121122 , ,b ab ababbb bb b 8143,5,1, 11,1,1,10, 2, 1,3414

8、ttt 1,1, 2,0t ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型再再單位化單位化， 22212130, 2, 1,30,14141414ttbeb 33311121,1, 2,0,06666ttbeb 得規(guī)范正交向量組如下得規(guī)范正交向量組如下 11111 1 1 11,1,1,1,22 2 2 2ttbeb ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型定義定義4:若若n階矩陣階矩陣a滿足滿足,ta ae 則稱則稱a為為正交矩陣正交矩陣. 1212100010,0001ttntnaaa aaa 即即方陣方陣a為為正交矩陣正交矩陣a的列向量組都是的列向量組都是單位向量單位向量, ,且兩兩且兩兩正交

9、正交. .a的行向量組都是的行向量組都是單位向量單位向量, ,且兩兩且兩兩正交正交. .注：注：正交矩陣正交矩陣a的的n個列個列( (行行) )向量構(gòu)成向量空間向量構(gòu)成向量空間rn的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基.注：注：a是正交矩陣，則是正交矩陣，則a-1=at也是正交矩陣，且也是正交矩陣，且(|a|=1或或-1) ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型解：解：所以所以a的每個列向量都是單位向量的每個列向量都是單位向量, ,且兩兩正交且兩兩正交, ,故故a是正交矩陣是正交矩陣. .定義定義5: 若若p為正交矩陣為正交矩陣, ,則線性變換則線性變換 稱為稱為正交變換正交變換. .ypx 設(shè)設(shè)

10、 為正交變換，為正交變換，ypx 則有：則有：tyy y .tttx p pxx xx正交變換不改變向量的長度正交變換不改變向量的長度. .例例4: 驗證矩陣驗證矩陣是正交矩陣是正交矩陣. . 979494949198949891a 979494949198949891184999814999447999t 100010001 ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型一一 特征值與特征向量的概念特征值與特征向量的概念axxn個未知數(shù)個未知數(shù)n個方程的個方程的齊次線性方程組齊次線性方程組注注: :由由() 0ae x可得可得:axx 則稱則稱 為方陣為方

11、陣a 的的特征值特征值,非零非零向量向量 稱為稱為a的對應(yīng)于的對應(yīng)于特征值特征值 的的特征向量特征向量.x 定義定義 設(shè)設(shè)a是是 n 階階方陣方陣,如果存在數(shù)如果存在數(shù) 和和n 維維非零非零列向量列向量 滿足：滿足：xea 稱為稱為a的的特征矩陣特征矩陣. ( ) |afae |稱為稱為a的的特征多項式特征多項式.0 |ea |稱為稱為a的的特征方程特征方程.非零非零 ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型利用定義利用定義: ax=x 且且x非零非零例例 110011a解解11100( 1)0111a 例例解解ax=x. 所以所以, a2x=a(ax)=a(x)(ax)=2x. 2適用于適用

12、于抽象矩陣抽象矩陣二二 特征值與特征向量的求法特征值與特征向量的求法 ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型|0,ae |特征值特征值利用利用有有非零解非零解() 0ae x() 0,ae x非零解非零解對應(yīng)于對應(yīng)于的特征向量的特征向量適用于適用于數(shù)字矩陣數(shù)字矩陣 111111111a例例 求求的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解 a的特征多項式為：的特征多項式為： |e-a 111111111所以所以a的特征值為：的特征值為：232 )1()2(2 11 2重重 特征值特征值 ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型當(dāng)當(dāng) 時時,11 e-a 211121112初初等等行行變變換換

13、000110101:(-)0.a e x 組解解方方程程由由：得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系: 1(1,1,1)tp當(dāng)當(dāng) 時時, 232 a+2e = 111111111初初等等行行變變換換 000000111得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系: 2( 1,1,0)t p3( 1,0,1)t p所以對應(yīng)于所以對應(yīng)于 的全部特征向量為的全部特征向量為:2233,kkpp32,kk不全為零不全為零.:(2 )0.ae x組解解方方程程由由：232 所以所以 對應(yīng)于對應(yīng)于111, 0.kk p的的全部全部特征向量為特征向量為: 11 線性無關(guān)線性無關(guān)的的特征向量的特征向量的最大個數(shù)為最大個數(shù)為 ch5 相似矩陣及二次型相似

14、矩陣及二次型解解 a 的特征多項式為的特征多項式為:ea 2010340112)1)(2( 所以所以a的特征值為的特征值為:21 231.當(dāng)當(dāng) 時時, 解方程組解方程組 由由21 (2 0.ae)x ea2 001014013初初等等行行變變換換 000010001得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系 : 1(0,0,1)tp所以對應(yīng)于所以對應(yīng)于 的的全部全部特征向量為特征向量為 21 11k p10k 例例 求求 201034011a的特征值和特征向量的特征值和特征向量.2重重 特征值特征值 ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型ae= 101024012初初等等行行變變換換 000210101132 當(dāng)

15、當(dāng) 時時, 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系 :2( 1, 2,1)t p線性無關(guān)線性無關(guān)的特征的特征向量的最大個數(shù)向量的最大個數(shù)為為注注: 1 屬于同一個特征值的特征向量有屬于同一個特征值的特征向量有無窮多個無窮多個！ 2 屬于同一特征值的屬于同一特征值的線性無關(guān)線性無關(guān)特征向量的特征向量的最大個數(shù)最大個數(shù)不一不一定等于它的重數(shù)，但定等于它的重數(shù)，但不會超過它的重數(shù)不會超過它的重數(shù).的的全部全部特征向量是特征向量是222,0.kk p132 所以對應(yīng)于所以對應(yīng)于 ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型三三 特征值與特征向量的性質(zhì)特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 的特征向量.的特征向量.是對應(yīng)于是對應(yīng)于

16、的特征值,的特征值,是矩陣是矩陣設(shè)設(shè)xa矩陣矩陣特征值特征值特征向量特征向量axkakmaminiiaaaf0)(0( )niiifa1ata*a1| |,0axxxxx ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型axx, (1)由 (1)由 ()() .ka xkx所所以以, , . xxamm : :同理同理.a則(2)若(2)若 可可逆逆, 0, 0.0000矛盾矛盾可得可得則則假設(shè)假設(shè)，xxxax.11xx a : :進(jìn)而可得進(jìn)而可得有相同的特征值.有相同的特征值.和和下面證明下面證明taa)3(.有相同的特征多項式有相同的特征多項式和和只需證明只需證明taa. |e|a|e)|(ae|

17、att.|0)4(的的特特征征值值是是: :證證明明若若*aa， ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型（1）矩陣矩陣a 的的n個特征值之和等于個特征值之和等于a 的的n個對角線元素之和，即個對角線元素之和，即:1122.nnaaan 21（2）矩陣矩陣a的的n個特征值的乘積等于個特征值的乘積等于a的行列式的值的行列式的值, 即即:. |21an 性質(zhì)性質(zhì) 2 注注1:tr(a)注注2全不為零全不為零 ch5 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型.75321323aaaa ，求求，的的特特征征值值為為階階矩矩陣陣已已知知)(7523 的的特特征征值值只只須須求求aaa 75)(23 而而特特征征值值, 3)1( 3)3(, 2)2( 183237523 aaa例例解解: :例例. .的的特特