概率與統(tǒng)計初步(含習題訓練)

1、第九章 概率與統(tǒng)計初步一、計數(shù)原理1、 （分類計數(shù)）加法原理：完成一件事情，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事情，共有：種不同的方法；2、 （分步計數(shù)）分步乘法原理：完成一件事情，需要分成個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，做第步有種不同的方法，那么完成這件事情，共有：種不同的方法；3、 區(qū)分做事情的方法是“分類”還是“分步”主要看能否一步做完，能夠一步做完的就是分類（用加法原理），不能一步做完的，就是分步（用乘法原理）；二、排列與組合1、 排列數(shù)公式：從個不同的元素中取出個不同元素的所有排列的個

2、數(shù)，叫做從個不同的元素中取出個不同元素的排列數(shù)，用符號表示，且： 2、 的階乘：自然數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘，記作：，且： 3、 組合數(shù)公式：從個不同的元素中取出個不同元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同的元素中取出個不同元素的組合數(shù)，用符號表示，且：組合數(shù)公式也可寫為：4、 組合數(shù)的兩個性質(zhì)：5、 排列與組合的區(qū)別：排列與順序有關；組合與順序無關。三、概率1、 基本概念（1） 隨機現(xiàn)象：在相同的條件下，具有多種可能的結(jié)果，而事先又無法確定會出現(xiàn)哪種結(jié)果的現(xiàn)象；（2） 隨機試驗的特征：可以在相同的條件下重復進行；試驗的所有可能結(jié)果是可以明確知道的，并且這些可能結(jié)果不止一個；每次試驗之前不能準確

3、預言哪一個結(jié)果會發(fā)生；（3） 隨機事件：隨機試驗的結(jié)果叫做隨機事件，簡稱事件，常用大寫字母A、B、C表示；（4） 必然事件：在一次隨機試驗中必然要發(fā)生的事件，用表示（讀作“omiga”， 對應的小寫希臘字母是“”）；（5） 不可能事件：在一次隨機試驗中不可能發(fā)生的事件，用表示（讀作“fai”）；（6） 基本事件：隨機事件中不能分解的事件稱為基本事件，即：最簡單的隨機事件；（7） 復合事件：由若干個基本事件組成的事件稱為復合事件；2、 頻數(shù)與頻率（1） 頻數(shù)：在次重復試驗中，事件發(fā)生了次，叫做事件發(fā)生的頻數(shù)；（2） 頻率：在次重復試驗中，事件發(fā)生的頻數(shù)在試驗總次數(shù)中所占的比例，叫做事件A發(fā)生的頻

4、率；3、 概率（1） 一般地，當試驗的次數(shù)充分大時，如果事件發(fā)生的頻率總穩(wěn)定在某個常數(shù)附近，那么就把這個常數(shù)叫做事件發(fā)生的概率，記作：；（2） 概率的性質(zhì)：i. 對于必然事件：ii. 對于不可能事件：iii.4、 古典概型（1） 古典概型：如果一個隨機試驗的基本事件只有有限個，并且各個基本事件發(fā)生的可能性相同，那么稱這個隨機試驗屬于古典概型；（2） 概率：設試驗共有個基本事件，并且每一個基本事件發(fā)生的可能性都相同，事件包含個基本事件，那么事件發(fā)生的概率為：（3） 事件的“交”：“”表示同時發(fā)生，記作：；（4） 事件的“并”：“”表示中至少有一個會發(fā)生，又稱為事件與事件的和事件；（5） 事件的“

5、否”：表示事件的對立事件；（讀作a bar，“A拔”）（6） 互為對立的事件：若事件是事件的對立面，且;（對立事件的理解：在任何一次隨機試驗中，事件與有且僅有一個發(fā)生）（7） 互斥事件（互不相容事件）：不可能同時發(fā)生的兩個事件，即：；（對立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件）（8） 相互獨立事件：在隨機試驗中，如果事件的發(fā)生不會影響事件發(fā)生的可能性的大小，即在事件發(fā)生的情況下，事件發(fā)生的概率等于事件原來的概率，那么稱事件與事件相互獨立；(事件發(fā)生與否，不影響事件的概率)（9） 若、是互斥事件，則：（10） 若、是對立事件，則：，即：（11） 若、不是互斥事件，則：（12） 若、是相互獨

6、立事件，則：四、總體、樣本與抽樣方法 例1：為了了解全校1120名一年級學生的身高情況，從中抽取100名學生進行測量；1、 總體：在統(tǒng)計中，所研究對象的全體；例1中“全校1120名一年級學生的身高”是總體；2、 個體：組成總體的每一個對象；例1中“全校每一位一年級學生的身高”是個體；3、 樣本：被抽取出來的個體的集合；例1中“抽取的100名一年級學生的身高”是樣本；4、 樣本容量：樣本所含個體的數(shù)目；例1中“100”是樣本容量；5、 抽樣的方法有三種：簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣；6、 說明：當總體中的個數(shù)比較小時，常采取簡單隨機抽樣；當總體中的個數(shù)比較多，且其分布沒有明顯的不均勻情況，常

7、采用系統(tǒng)抽樣；當總體由差異明顯的幾個部分組成時，常采用分層抽樣；五、用樣本估計總體1、 樣本均值：2、 樣本方差：3、 樣本標準差：4、 說明：均值反映了樣本和總體的平均水平；方差和標準差則反映了樣本和總體的波動大小程度；5、 作頻率分布直方圖的方法：把橫軸分成若干段，每一線段對應一個組的組距；然后以此線段為底作一矩形，它的高等于該組的頻率/組距；這樣得出一系列的矩形，每個矩形的面積恰好是該組上的頻率，這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖。注：頻數(shù)是指各組內(nèi)數(shù)據(jù)的個數(shù)；每組的頻數(shù)與全體數(shù)據(jù)的個數(shù)之比叫做該組的頻率；例：作出表格1中數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖（本例題引用來自百度搜索）表格 1分 組（組距=3

8、）頻 數(shù)頻 率頻率/組距150.5，153.5）40.040.013153.5，156.5）80.080.026156.5, 159.5)80.080.026159.5, 162.5)110.110.036162.5, 165.5)220.220.073165.5, 168.5)190.190.063168.5, 171.5)140.140.046171.5, 174.5)70.070.023174.5, 177.5)40.040.013177.5, 180.5)30.030.01合 計1001如果將頻率分布直方圖中相鄰的矩形的上底邊的中點順次連結(jié)起來，就得到一條折線，我們稱這條折線為本組數(shù)據(jù)

9、的頻率折線圖六、章節(jié)習題9.1 計數(shù)原理(1) 某人到S城出差，在解決住宿問題時發(fā)現(xiàn)只有甲、乙兩間旅社還有空房，其中甲旅社還剩4間單人房、6間雙人房，乙旅社剩下9間單人房、2間雙人房，則現(xiàn)在住宿有種不同的選擇；(2) 一家人到S城旅游，入住旅社的空房只剩下12間單人房和8間雙人房，現(xiàn)需要訂一間單人房和一間雙人房，有種不同的選擇；(3) 4封不同的信，要投到3個不同的信箱中，共有種不同的投遞的方法；(4) 4封不同的信，要投到3個不同的信箱中，并且每個信箱中至少有一封信，不同的投遞方法共有種；(5) 3封不同的信，要投到4個不同的信箱中，共有種不同的投遞的方法；(6) 一個學生從7本不同的科技書

10、、8本不同的文藝書、6本不同的外語書中任選一本閱讀，不同的選法有種；(7) 一個學生從7本不同的科技書、8本不同的文藝書、6本不同的外語書中任選一本文藝書和一本科技書回家閱讀，不同的選法有種；(8) 由1，2，3，4，5五個數(shù)字組成的三位數(shù)，共有個；(9) 由1，2，3，4，5五個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，共有個；9.2 排列組合(10) 7人站成一排，一共有種不同的排法；(11) 7人中選出3人排成一排，一共有種不同的排法；(12) 7人中選出3人組成一組，代表班級參加辯論比賽，一共有種不同的選法；(13) 人站成一排，若甲必須站在第一位，一共有種不同的排法；(14) 8人排成一排，其中

11、A、B兩人必須排在一起，一共有種不同的排法；(15) 8人排成一排，其中A、B、C三人不在排頭并且要互相隔開，一共有種不同的排法；(16) 10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，至少有一件次品的取法共有種；(17) 10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，至多有一件次品的取法共有種；(18) 集合，每次取五個元素，按由小到大順序排列，共有種不同的排列（取法）；(19) 10位乒乓球選手舉行單打單循環(huán)比賽，一共需要舉行場比賽；(20) 學生要從六門課中選學兩門：如果有兩門課時間沖突，不能同時學，有 種選法；如果有兩門特別的課，至少選學其中的一門，有 種選法；(21) 一個口袋內(nèi)有6個小球，另一個口

12、袋內(nèi)有5個小球，所有這些小球的顏色互不相同，現(xiàn)從兩個口袋各取出一個小球，有種不同的取法；9.3 概率(22) 表示必然事件，；表示不可能事件，；(23) 一道選擇題共有4個答案，其中只有一個是正確的，有位同學隨意的選了一個答案，那么它選對的概率是；(24) 擲一顆骰子，第一次得到6點，那么他第二次擲這顆骰子得到6點的概率（ ） A.大于 B. 等于 C. 等于 D. 等于(25) 甲擲兩次骰子，每次擲一顆骰子，兩次都得到6點的概率為（ ） A.大于 B. 等于C. 等于 D. 等于(26) 在10件產(chǎn)品中有2件次品，從中任取2件都是合格品的概率是(27) 有一批蠶豆種子，如果每一粒種子發(fā)芽的概

13、率均為，那么播下粒種子恰好3粒種子都發(fā)芽的概率是（ ）A. B. C. D. (28) 拋擲一骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，設事件為“出現(xiàn)1點”，事件為“出現(xiàn)2點”,已知，則事件“出現(xiàn)1點或2點”的概率為 (29) 做某個隨機試驗，所有的基本事件構(gòu)成的集合可用表示，設事件，事件，則，(30) 有一個問題，在半小時內(nèi)，甲能解決它的概率是，乙能解決它的概率是，如果兩人試圖獨立在半小時內(nèi)解決它，兩人都未解決的概率是；問題得到解決的概率是 (31) 甲、乙、丙三人在相同條件下射擊，他們擊中靶心的概率分別是：甲為，乙為，丙為，求三人同時各射擊一次，沒人擊中靶心的概率是多少？(32) 某射手在一次射擊訓練中，射中

14、10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21、0.23、0.25、0.28，則這個射手在一次射擊中射中10環(huán)或7環(huán)的概率是： 9.4 總體、樣本與抽樣方法(33) 在統(tǒng)計中，所研究對象的全體叫做，組成總體的每個對象叫做 ，被抽取出來的個體的集合叫做 ，樣本所含個體的數(shù)目叫做 (34) 為了了解所購買的一批商品的質(zhì)量，抽測了其中225個商品，在這個問題中，225個商品的質(zhì)量是（ ） A.個體 B.總體 C.樣本 D.樣本容量(35) 要了解某種電子產(chǎn)品的質(zhì)量，從中抽取450個產(chǎn)品進行檢驗，在這個問題中，450叫做（ ） A.個體 B.總體 C.樣本 D.樣本容量(36) 為了了解全年級523名同

15、學的視力情況，從中抽取90名同學進行測量，在這個問題中，總體是指，個體是指 ，樣本是指 ；樣本容量是 (37) 要完成以下兩項調(diào)查：從某社區(qū)125戶高收入家庭、280戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶調(diào)查社會購買力的某項指標；從某中學高三年級的12名體育特長生中選出3人調(diào)查學習負擔情況；應采用的抽樣方法是：A. 用隨機抽樣法，用系統(tǒng)抽樣法 B. 用系統(tǒng)抽樣法，用分層抽樣法C. 用分層抽樣法，用隨機抽樣法D. 用分層抽樣法，用系統(tǒng)抽樣法(38) 無論是簡單隨機抽樣還是系統(tǒng)抽樣，抽樣過程中每個個體被抽取的 相等；(39) 抽簽法、隨機數(shù)法都是抽樣；(40) 當總體的個體數(shù)目較多時，可將

16、總體分成均衡的幾個部分，然后按照預先定出的規(guī)則，從每個部分抽取一定數(shù)目的樣本，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做 (41) 當總體由差異明顯的幾個部分組成時，一般采用 抽樣；(42) 某校高一、高二、高三三個年級的學生數(shù)分別為1500人、1200人和1300人，現(xiàn)采用按年級分層的抽樣方法了解學生的視力狀況，已知在高一年級抽查了75人，則這次調(diào)查中，高二年級共抽查了 人，三個年級全部抽查了 人；9.5 用樣本估計總體(43) 數(shù)據(jù)90、87、91、92、90的平均值是 ，方差是 ，標準差是 (44) 在頻率分布直方圖中，小矩形的面積表示(45) 畫頻率分布直方圖，根據(jù)頻率分布表，在直角坐標系中橫坐標表示數(shù)據(jù)的取值，縱坐標表示(46) 在對個數(shù)據(jù)進行整理的頻率分布表中，各組的頻數(shù)之和與頻率之和分別等于（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，(47) 甲、乙兩個總體各抽取一個樣本，測得甲樣本的數(shù)據(jù)為：10、9、5、8、7、15，乙樣本的數(shù)據(jù)為：9，7，8，12，14，4，計算甲、乙樣本的均值和樣本方差，說明哪一個樣本的數(shù)據(jù)波動更小一些。（精確到小數(shù)點后兩位）(48