(完整版)高數(shù)同濟第六版下高等數(shù)學(xué)2第八章解答

1、1習(xí)題8-1向量及其線性運算1在yOz平面上，求與三點A(3,1,2)、B(4, 2, 2)和C(0,5,1)等距離的點。解 所求點在yOzyOz面上，不妨設(shè)為卩(0】心)，點P P與三點ABCABC 零零距Kd PA I =y3i-F(y-l)!-H(z-2) | =42+(y-l-2)I+(z+2)網(wǎng)IWO-W + a-lN由|禍| = |冠| =|?2|知即p+-lF + a-2)i=l+O+2F + d+2幾 幅十 】尸十芳尸=05尸十一1尸解上述方程殂，得y= 1一2故所求點坐標(biāo)為(04,一2 uujujur2設(shè)已知兩點M,(4, -2,1)和M2(3,0,2)，計算向量M,M2的模

2、、方向余弦和方向角。解向童顧區(qū)=(34 衛(wèi)一血,21) = (一 1,吃”片其模 15?嵐 17(-卜+(-厲)計 1 上=蟲=2 其方向余弦分別為 J2J21cos a 一*tcos j9=ytcos y=y,r方向角分別為 a=yir,/?=JK,/=y,”3.設(shè)向量的模是4，它與u軸的夾角是，求丨在u軸上的投影。3解 已知|r| =4,Ptj11r|r|cos9=9=4 cos 60=4X*=2.rrrp rrrrrr r rrr4.設(shè)m3i 5 j8k，r2i4j 7k和p 5i j 4k，求向量a a4m 3n p在x軸上的投影以及在y軸上的分向量。解a =4m+3n-p4(3i+5

3、j+8/t)+3(2i-4/-7Jt)(&i+/4A) =13i+7/+15fct在戈軸上的投影為1和在y軸上的分向16為7Jrrrr5.從點A 2, 1,7沿向量a 8i 9j 12k方向取長為34的線段AB，求點B的坐標(biāo)。uuuuuu解 設(shè)點B的坐標(biāo)為x, y,z，則AB x 2,y 1, z 7，且AB a，即x 28 ,y 19 ,z 712，Luni222 2 i i222 234 AB V x 2 y 1 z 7y/y/8912從而2，所以點B的坐標(biāo)為18,17, 172習(xí)題8-2數(shù)量積向量積rrr r rr rr1.設(shè)a3ij2k,bi2jk，求r rrrr(1)ag)及a b;

4、 (2)( 2a)g3b及a 2b; (3)a、b的夾角的余弦。aXb=aXb=3-1-2 =(5,1*7人12 2-12) -2a)3h=6( *耐=aX2=2(aX=2(5,lt7)(10t2,UX COS|-wI eI /3r+(-l)?4-2)VP + 22+知MJMX胚胚1 =/辟+ (4尸 +04卩=V6S=2yi?3.求向量ar(4, 3,4)在向量b(2,2,1)上的投影。a0_(4,一氛4)(2,26_丁3uuu r r uuu r r4.已知OA i 3k、OB j 3k，求OAB的面積。722-F2!+ l2解(1”訃=(3,一1,一2)(1,2，一1)3解 由向量積的幾

5、何意義卸siaAxoSnoXxoB- 10 3 = 軸且通過已知曲線的柱面方程.2.求球面x2y2z29與平面x z 1的交線在xOy面上的投影的方程。2 2x 4z 2x 30 x x2 2+丁+工=9.r+z1中消去力得5云+亍十1工尸=9丫即2/2工+才=8,卩工*2工+護=8#它表示母線平行于z軸的柱面*故了表示已知交線在MyMy面上=0的投影的方程.解 將y=E代人才十y十分=9,得2才十分=釦取 l 畚 Z 則從而可得該曲線的參數(shù)方理解從兩曲面方程消去y，得到母線平行于y軸的投影柱面方程:從而所求投影曲線方程為x24z22x 3 05.已知空間曲線C :x22y24z21222。求

6、C為準(zhǔn)線而母線平行于y軸的柱面方程;x yz求出C在xoy面的投影方程。解從C的方程消去y得到所求柱面方程：x26z21從C的方程消去z得到投影柱面方程：5x26y2124.求曲線x2z 3yz 2x 3z 30, y z 10在xoz平面上的投影方程。3.將曲線9的一般方程化為參數(shù)方6習(xí)題8-5平面及其方程1求過點(3,0, 1)且與平面3x 7y 5z 120平行的平面方程。解 所求平面與已知平面3-7j-l-5z-12 = 0平行因此所求平面的法向 量可取為，設(shè)所求平面為吐一心十缺+DF*將點(3,0,-1)代入上式得D=D=一4故所求平面方程為3丈一？y+5主一4=Q2求過(1,1,

7、1)、(2, 2,2)和(1, 1,2)三點的平面方程。工一1 y1z+1解 由一21212+1=0*得文一3$2宅801-1-1-12+1即為所求平面方程.注設(shè)JVfCr切為平面上任一點MGiMGi，召)(彳=1*23)為平面上已知 點*由胚戒麗減X何屁)=0,即工刊yyyy老一盅1龍龍 lqlq ytytyiyi空勸=0,刊一助加一閃皴一引 它就表示過已知三點MCf=bS山)的平面方程.3求平面2x 2y z 50與各坐標(biāo)面的夾角的余弦。解 平面的法向鈕為 rt =(2-2,lX設(shè)平面與三個坐標(biāo)面辺 的夾角分別為命點冊.則根據(jù)平面的方向余弦知3fe-C0SaW77I-FH-石” 也也唇尸5

8、l|j|3 - 13*4分別按下列條件求平面方程:(1)平行于xOz面且經(jīng)過點(2, 5,3)；(2)通過z軸和點(3,1, 2);(3)平行于x軸且經(jīng)過兩點(4,0, 2)和(5,1,7)。CO5 COSY=Y=料左(2*一2“(0,0,1)1血|k(,器 +(-2戶1 37解(1所求平面平行于xCfe面,故設(shè)所求平面方程為By+D二將點(2i-5t3)代人，得-5B+D=Ot即D=5B.因此*所求平面方程為B+5B=0即j+5=0. 所求乎面過z軸.故設(shè)所求平面方程為+將直(一乳1 ,-2)代人代人得得-3A+=0,即B=3A.因此，所求平面方程為Az+34y-Ot即x+3y=0t(3)所

9、求平面平行于 k 軸，故設(shè)所求平面方程為By-FCz+DO.By-FCz+DO.將點(4.0,-2)A(5A(5t tl lt t77代別代入方程得-2C-FD=O及B+7C+D-0.從面解得C C g g、B B = = _ _因此所求平面方程為gD D一號Dy十牛+D=0.即出5求點(1,2,1)到平面x 2y 2z 100的距離。解 利用點識皿）到平面AByCz+D=OAByCz+D=O的距離公式 #=丨Ar + gyo+8 + D丨加+C2=門+S2 + 2JT0 = kzll=1/V +22+ 2336求通過點P 2, 1, 1 ,Q 1,2,3且垂直于平面2x2A B C D 0

10、D 16故所求平面方程為9x y 3z 160習(xí)題8-6空間直線及其方程3y 5z 60的平面方程。解設(shè)所求平面方程為AxBy Cz則其法向量n2,3,5 , nuuuPQ2A 3BA 3B5C 04C 0A9B,CD 0,1,3,4,3B，取B 1 n 9, 1,3By Cz D以點P 2, 1, 1代入方程Ax81求過兩點M Mi(3,(3,2,1)和M2( 1,0,2)的直線方程。解 取所求直線也方向向量,r=M = (-l-3T0-(-2)J2-li = (-4,2ll因此所求直堆方程為x y z 12用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線2x y z 4解 根據(jù)題意可知已知直線的方向向量1-

11、21JU偷得汗號，尸黑這樣就得到直線經(jīng)過的一點因此直線的對稱式方程為35 JZ1=S1-213參數(shù)方程為注由于質(zhì)取的直線上的點可以不同*因此所得到的直線對稱式或參數(shù)方 程的表達式也可以是不同的*_ _x 2y 4z 7 0 _ _ 3求過點(2,0, 3)且與直線垂直的平面萬程。3x 5y 2z 10解 根據(jù)題意，所求平面的法向量可取已知直線的方向向址，即1-2435-2-2故所求平面方程為一1氏盅一2) + 14。一0) + 116 + 3=0.即16龍一14ylh65=64求直線5X 3y 3Z 9 0，與直線2X 2y Z 23 0，的夾角的余弦。3x 2y z 1 03x 8y z 1

12、8 0取龍=0,代人言線方程得9解兩已知直線的方向向箍分別為i i J J k ki i j jk k5 3 3=(昭4*一1)同=2 2 -1= 2*+42+(-2)2+(訐+mx y z 1 ” 6求點p(3, 1,2)到直線的距離。2x y z 4 1J JA解解直線的方向向ffis=11一1=(0=(0t t-3-3r r-3X-3X211在直線上取點(b-2,0)，這樣直線的方程可表示成參數(shù)方程形式工=1,2 3tt=3L(1)又，過點F(氛一1/人以 l氛一3為法向曲的平面方程為-3(ybl)-3-2)=O-3(ybl)-3-2)=Ot t即y+g1=0.(2)將式代人或得上=一召

13、于是直線與平面的交點為故d3-以 +(-1+荀+(2訂=警.2x 4y z ,7求直線，在平面4x y z 1上的投影直線的方程。3x y 2z 9 解作過已知直線的平面束,在該平面束中找出與已知平面垂直的平面，該 平面與已知平面的交線即為所求*設(shè)過直線f f丁=:的平面束方程為為cos9 9=cos(si 沾$)=x5求直線X3Z，與平面x z i o的夾角。解 已知直線的方向向fit $=3-1血尸|遊 5 沾)|=前而Ji ftft102?4+i+A(3xy2s9) =0*經(jīng)整理得(2+3A)H+一4Xy+l 2A工一9人=0*由(2 + 3A)4 + (-4-A) (-D + C1-2

14、A)1=0*得& = 一琴優(yōu)入平面束方程入平面束方程得得17+31-371-1170,因此所求投影直線的方程為1?龍+31丁一37 1170!L4J:+藝=1*8求過點3,2,5且與兩個平面2x y 5z 1和x 4z 3的交線平行的直線的方程。解 方法一先求過點3,2,5且與已知平面平行的平面1 1:2:2 x x 3 3y 25 z 50,2: x 34 z 50方法二 所求直線的方向向量為兩平面的法向量的向量積2, 1, 5 ,n21,0, 4i jk故m n22 154i 3j k1 04又直線過點3,2,5，故所求直線方程為x 3 y2z 5431復(fù)習(xí)題八1設(shè)| a | .3,|b|

15、 1,(a,b)，求向量a b與a b的夾角。6所求直線的一般方程為2x y 5z 33 0 x 4z 23 0即1: 2x y 5z 330,2：x 4z 23011z3求曲線2yZ (x 1)2(y2 x2在三個坐標(biāo)面上的投影曲線的方程。1）2解=U+fc) (a+W |fl|a+ |6|a+2|tf| |6|eos(Ar)= (-/3)!H-l2+2 *75 * 1 * cos-D=4 + 273會=7,|AP =T(a) |a |24- Ifr22|a| |b| cos(叭b)= (V3)2+ la2、崔、崔* 1cos號號u=42 y=lf5+0) (flfr)= |fl|21=2,

16、y z 102設(shè)一平面垂直于平面Z 0,并通過從點（1,1,1）到直線的垂線，求此平面x 0的方程。解直級空空= =o 111 0 0作過點（1,一1,1）且以$=厲，一1*一1）為法向fit的平面,-1 * O+1）=5即y+尸0,A卄=0,聯(lián)直工=0*1卄址=0所求平面垂直于平面z=0.z=0.設(shè)平面方程Az+Bjf-FD=0.平面過點（1, 1,1）及垂足（山一寺冷卜故有故有B+DOtE+D=0*由此解得B=2DB=2Dt tA=D.A=D.因此所求平面方程為 DH+2D$+D=0,即衛(wèi)+野+1 = 0*所UKa+baB =rccos24f4f辺0：(a二處|a4-t| letfrl2

17、_2眉八眉八77向量(12解 在帛中消去利得 2_F_ =H_I尸十G士Gr1尸十(y+左一,=5為曲線在面上的投影曲z=0線方程.在仁二需 6”中消去川土 Qn 幾3y z方程。e1 e2 e3n v1v2121(1,1,3)2111尸* 即故即2護+必加+疋一4工一麻+2 = 6故圧十撿十十=。,為曲線y=0y=0在血面上的投影曲線方程.同理，可得曲線方程.4.求過點M 1,2,野如Tyf+27它就是曲線在心面上的投影x=0+x1且與直線L: yzt 23t 4垂直的平面方程。t 1解 因所求平面過定點M且與直線 直線L的參數(shù)方程改寫為標(biāo)準(zhǔn)方程：L：rJ13L垂直，所以L的方向向量與平面的法向量平行，將L的方向向量為1,3,1，故所求平面方程為5.已知直線xL!:xL2：二-，求經(jīng)過L1且平行L2的