陳維新線性代數(shù)簡明教程ch1.34

1、1.4 1.4 行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開1.3 1.3 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)1.3 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)行列式計(jì)算行列式計(jì)算是本章的中心課題。是本章的中心課題。按照定義，n階行列式是n！項(xiàng)的代數(shù)和，而在n較大時(shí)n！就變成一個(gè)很龐大的數(shù)據(jù)，從定義出發(fā)計(jì)算上、下三角等一些特殊的行列式有公式，而對一般行列式的計(jì)算則需要借助于行列式的一些性質(zhì)，以簡化行列式的計(jì)算。首先引入轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式的概念，考慮稱dt為d的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式 .將它的行依次變?yōu)橄鄳?yīng)的列（行、列互換），得dt，111212122212nnnnnnaaaaaaaaad 12,nnnnaaatd 11121

2、naaa21222naaad=dt (行列互換，行列式的值不變）即( ,1,2, )ijjibai jn證：事實(shí)上，若記111212122212nntnnnnbbbbbbdbbb1 2121 2()12()( 1)nnnj jjtjjnjj jjdb bb1 2121 2()12()( 1)nnnj jjjjj nj jja aad性質(zhì)11 2121 2()12()( 1)nnni iiijiii nni iiaa aa1 2121 2()12()( 1)nnnj jjijjjnjnj jjaa aa取行指標(biāo)為標(biāo)取行指標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)排列準(zhǔn)排列取列指標(biāo)為標(biāo)取列指標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)排列準(zhǔn)排列性質(zhì)性質(zhì)1 1的意的意

3、義何在呀？義何在呀？行列式的行與列地位平等，因而后面行列式的行與列地位平等，因而后面對行成立的性質(zhì)，對列也成立。對行成立的性質(zhì)，對列也成立。矩陣可以有如下定義矩陣可以有如下定義:行列式的兩行（列）互換，行列式的值變號(hào) ，性質(zhì)2即1212iiinkkknaaaaaai行k行1212kkkniiinaaaaaai行k行行列式若有兩行（列）對應(yīng)元素完全相同，則行列式為零.推論1證：設(shè)行列式d 的i行和k行相同，則若將i行和k行互換，所得仍為d。但是由性質(zhì)2知，互換前后變號(hào)，即dd，所以，d0。行列式某一行（列）的所有元素都乘以數(shù) k，等于數(shù)k乘以此行列式，換言之， 行列式某一行(列)所有元素的公因子

4、k可提到行列式的外面相乘，即性質(zhì)3111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaakkaaaakk若行列式中一行(列)所有元素為零，則行列式等于零；推論2即為性質(zhì)即為性質(zhì)3 3中中k k0 0的的情況情況如果行列式的兩行（列）元素對應(yīng)成比例，則行列式為零。性質(zhì)41212iiintttnaaaaaa1212iiiniiinaaakakaka1212iiiniiinkaaaaaa0例例21433364541074982計(jì)算行列式13第 列和第 列成比例0例例1112132122233132331aaaaaaaaa已知313233212223111

5、213?aaadaaaaakakk求：3132332122231112133aaadaaaaaka性質(zhì)解解1112132122233132332.aaak aaakaaa 性質(zhì)(分行列相加性）性質(zhì)511121112212.niiiiininnnnnaaacbcbcbaaa111211212.niiinnnnnaaacccaaa111211212.niiinnnnnaaabbbaaa推論31112111122212.niiiiiiinininnnnnaaabchbchbchaaa111211212.niiinnnnnaaacccaaa111211212.niiinnnnnaaabbbaaa111

6、211212.niiinnnnnaaahhhaaa行列式的某一行（列）加上另一行（列）對應(yīng)元素的k倍，行列式的值不變 ，性質(zhì)6即1212iiinjjjnaaaaaai行j行k倍112212ijijinjnjjjnakaakaakaaaa注注: 交換i j兩行記作rij 交換i j兩列記作cij 以數(shù)k乘第j行(列)加到第i行(列)上 記作rikrj (cikcj) 為了書寫方便，特作如下約定： 例例111222333123123123aaaaaaaaa計(jì)算21cc31cc123111aaa111222性質(zhì)40右邊右邊n n階行列階行列式等式成立嗎？式等式成立嗎？1112221212012nnn

7、aanaaanaaana 上（下）三角行列式等于主對角線上元上（下）三角行列式等于主對角線上元素的乘積，因此計(jì)算行列式常利用行列式的素的乘積，因此計(jì)算行列式常利用行列式的性質(zhì)，性質(zhì)，把行列式化成上（下）三角行列式把行列式化成上（下）三角行列式。這是計(jì)算行列式最基本這是計(jì)算行列式最基本的方法必須掌握的方法必須掌握例例191372513315528710計(jì)算19137212rr0132517313rr0263426412rr0 26332419137013251732rr0012422rr0017101913701325174317rr0012000241 ( 13) ( 1) ( 24)312

8、2 1 4 3 1 1 3 3 1 1 0 5 d 3 1 2 15 1 4 3 2 0 1 1 1 5 3 3 例 計(jì)算 解： 3 5 2 1 c12 d最好把首個(gè)位置變成1 1 3 21r2r1r45r1 0 08166 4 0 21 1 72 1 3 21 0 16 72 0 1 2 31 2 11 0 010 8 0 1 2 31 2 11 0 21 1 0 86 4 r23 0 010 8 0 01510 r34r2r48r2 0 05/2 040 4354rr例例abbbbabbdbbabbbba計(jì)算n階行列式解法一解法一把d的第2列，第3列，.，第n列都加到第1列，得到：(1)(

9、1)(1)(1)anbbbbanbabbdanbbabanbbba11(1) 11bbbabbanbbabbba1(1) bbbanb21rr000ab31rr1nrr000a b000a b1(1) ()nanb a b當(dāng)每一行（列）元素當(dāng)每一行（列）元素之和都相等時(shí)，這是之和都相等時(shí)，這是經(jīng)常采用的方法經(jīng)常采用的方法.解法二解法二abbbd21rr00b a a b31rr1nrr00b aa b1(1) ()nanb a b00b aa b12njjcc(1)anbbbb000a b000a b000a b稱為“箭”型行列式.若把行列式中的a改成x，則可以得到結(jié)果：xbbbbxbbdbb

10、xbbbbx1(1) ()nxnb x b這是關(guān)于這是關(guān)于x的的n n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式. .當(dāng)行列式中元素包含x的整數(shù)次冪時(shí)，該行列式就是關(guān)于x的一個(gè)多項(xiàng)式.1111111111111111xxdxx例如例如1.3 行列式按行行列式按行(列列)展開展開由于三階、二階行列式可直接寫出，因而計(jì)算行列式中一個(gè)常用方法就是把高階行列式歸化為低階行列式把高階行列式歸化為低階行列式。余子式，代數(shù)余子式余子式，代數(shù)余子式在n階行列式 中，劃去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原來的順序構(gòu)成的n-1階行列式，稱為元素aij的余子余子式式，記作mij；111212122212nnnnnnaaaaaad

11、aaa而aij=(-1)i+jmij稱為元素aij的代數(shù)余子式代數(shù)余子式.返回返回定義11?m例如例如222112nnnnaamaa例例 求出行列式求出行列式解解:.65131022323的的值值的的余余子子式式及及代代數(shù)數(shù)余余子子式式中中，元元素素 ad 13)1(,13215512323322323 mam行列式按一行（列）展開定理行列式按一行（列）展開定理n階行列式121112112iiinnnnnnaaaadaaaaa等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即1122(1,2, )iiiiinind a aa aa ain定理i行1122(1,2, )jjjjnj

12、njd a aa aa ajn或證(i)d的第一行只有元素a110，其余元素均為零,即11212221200nnnnnaaaadaaa1 21 2121211222 3()()121211()112()( 1)( 1)( 1)(nnnnnnnj jjj jjjjnjjjnjjjjjjnjj jja aaa aaaaa上式中第二項(xiàng)得零）1111ma 而 a11=(-1)1+1m11=m11 ,故d= a11a11 ; (ii)當(dāng)當(dāng)d的第的第i行只有元素行只有元素aij 0時(shí)，即時(shí)，即 nnnjnijnjaaaaaaad1111100 將將d中第中第i行依次與前行依次與前i-1行對調(diào)行對調(diào),調(diào)換調(diào)

13、換i-1次后位于第次后位于第1行行 d中第中第j列依次與前列依次與前j-1列對調(diào)列對調(diào),調(diào)換調(diào)換j-1次后位于第次后位于第1列列經(jīng)經(jīng)(i-1)+(j-1)= i+j-2次對調(diào)后次對調(diào)后, aij 位于第位于第1行、第行、第1列列,即即(iii) 一般地一般地ijijijijjiijijjiaamamad )1()1(2由由 (i)111211212000000niiinnnnnaaadaaaaaa 11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaininiiiiaaaaaa 2211由由(ii)njnjj

14、jjjaaaaaad 2211同理有同理有n n 階行列式階行列式1212iiinsssnaaadaaa的任意一行（列）的各元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子的任意一行（列）的各元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零，式的乘積之和為零，定理i行s行11220 ()jtjtnjnta aa aa ajt或1 ia1sa即即1 ia2sa1 iasna0證證1212iiinsssnaaadaaa sirr121122iiinsisisninaaaaaaaaa按s行展開，s行11122()(2)()sissssninsndaaaaaaaaa 11221122sssssnsnisisi

15、nsnaaaaaaaaaaaa 1122isisinsndaaaaaa 所以，11220isisinsnaaaaaa 同理可證，11220 ()jtjtnjnta aa aa ajt 利用行列式按一行(列)展開，可將n階行列式化為n個(gè)n1階行列式，若選取的行(列)只有個(gè)別數(shù)不為零，就可達(dá)到降階化簡的目的。 所以通常先利用行列式的性質(zhì)使得某一行(列)含有較多的零，并選取含選取含0元素比較多的行或者列來展開元素比較多的行或者列來展開。 1 1 2 1 -3 1 -2 0 0 01 0 3 4 1 4 c1+c4c1c4 計(jì)算行列式計(jì)算行列式1112101124311122d 例例111344-31

16、0(-1) (1)2+1r24r1111-100-3102 111( 1)( 1) ( 1)10 1 別丟了代數(shù)余別丟了代數(shù)余子式的符號(hào)子式的符號(hào)例例 計(jì)算行列式計(jì)算行列式1240273100202130d 解解1112131411240aaaa按第 行展開3132333430020aaaa按第 行展開1 11 21 37312312711 ( 1)0202 ( 1)0204 ( 1)000130230210 3 31202 ( 1)271210 12321621 2+3按第 列展開（-1)1240273100202130d d通常選取含通常選取含0元素比較多的行或者列來展開元素比較多的行或者

17、列來展開2+86例例證明證明n n（n1)n1)階行列式階行列式12222121211112111(,.,)nnnnnnnaaaaaad a aaaaa 所有右邊所有右邊元素減去元素減去左邊元素左邊元素的乘積的乘積213113221()().()().().()nnnnaaaaaaaaaaaa 1().jinj iaa 記為稱為稱為n階范德階范德蒙德蒙德行列式行列式證利用數(shù)學(xué)歸納法，n2時(shí)結(jié)論成立，221211211().jijidaaaaaa 假設(shè)對n1時(shí)結(jié)論成立，即12111(,.,)().njinj id a aaaa 則n階范德蒙德行列式112122211212121212221121

18、11(,.,0)00nnnnnnnnnnnnnnnnnnra raaaara raa aaa ara raaaaaad a aa 1212221+n121121222121111n(-1)()()()nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa 按 列展開,并提取公因子1+n112121(-1)()()()(,.,)nnnnnaaaad aaaaa 1+n12111(-1)()()()().nnnnjinj iaaaaaaaa 1().jinj iaa 計(jì)算行列式計(jì)算行列式11111111139271248d 例例解d是4階范德蒙德行列式的轉(zhuǎn)置， 所以11111132119411278d (1, 1,3, 2)d( 11)(31)( 21)(31)( 21)