高中數(shù)學(xué)論文：雙曲線焦半徑應(yīng)用舉例

1、雙曲線焦半徑應(yīng)用舉例雙曲線上任意一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離稱為該點(diǎn)的焦半徑。已知點(diǎn)P(x，y)在雙曲線= 1 (a0，b0)上，F(xiàn)， F分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)。若點(diǎn)P在右半支上，則| PF| =x+ a ，| PF| =xa；若點(diǎn)P在左半支上，則| PF| =(x+ a) ，| PF| =(xa)利用焦半徑公式解題，可使解題過程簡(jiǎn)單明了，下面列舉幾例，供參考。一、求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1、 設(shè)F、F是雙曲線= 1 (a0，b0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，l為左準(zhǔn)線，離心率e=，P(,m)是左支上一點(diǎn)，P到l的距離為d，且d，| PF|，| PF|成等差數(shù)列，求此雙曲線方程。分析；利用焦半徑，結(jié)合雙曲線的第二定

2、義列出等式，求出待定系數(shù).解：由雙曲線的第二定義知：d =| PF|，又| PF| =(x+ a) = 14a, | PF| =(xa) = 14a,由已知得：d| PF| = 2| PF|，即(14a)(14a)=282a 得：a = 2， c =3， b =，故雙曲線的方程為=1。評(píng)注：利用焦半徑公式，可使運(yùn)算過程簡(jiǎn)便易行。二、求值例2 雙曲線=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F、F，點(diǎn)P在雙曲線上，若P FP F，則點(diǎn)P到x軸的距離為_.分析；利用焦半徑及勾股定理，列出等式，求出P點(diǎn)縱坐標(biāo)即可。解：不妨設(shè)P在雙曲線上右支上，設(shè)P(x，y)，則| PF| =x+ a = 3x，| PF| =xa =x3，則

3、| PF| PF|= |FF|，即：(3x)(x3) =100，所以=，又=1，所以=，所以點(diǎn)P到x軸的距離為。評(píng)注：利用雙曲線的定義和焦半徑公式，簡(jiǎn)單明了。三、求范圍例3 如圖，已知梯形ABCD中，|AB| = 2|CD|，點(diǎn)E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率的取值范圍解：以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則CDy軸，因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性可知，C、D關(guān)于y軸對(duì)稱設(shè)雙曲線的焦距為2c，則A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為c、c、，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x=xyABODCE根據(jù)雙曲線焦半徑公

4、式，有：|AE| =(xa ) =a，|BC| =xa =a，而AC與AE同號(hào)，從而=|AC| =|AE| =a =a，由雙曲線的定義有|AC|BC| = 2a，即(a)(a) = 2a，兩邊同除以a，并化簡(jiǎn)整理，得(1) = 2，=2由，得34，解得710，故所求雙曲線離心率的取值范圍是，評(píng)注：凡是遇到雙曲線上的點(diǎn)到雙曲線焦點(diǎn)距離的問題，均可考慮使用焦半徑公式四、其他問題例4 在雙曲線=1的上支上有三點(diǎn)A(x，y),B(,6),C(x,y)與F(0，5)的距離成等差數(shù)列。求證：AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點(diǎn)。分析；利用焦半徑及等差數(shù)列概念，列出等式，可解此題。證明：|AF| =eya，|BF|

5、=6ea，|CF|= eya，由已知得：2|BF|=|AF|CF|，得：y y=26 = 12。設(shè)AC的中點(diǎn)M(x，6)，其中x=，又A，C在雙曲線上，于是，兩式相減得：13(yy)(yy)12(xx)(xx)= 0，得：13(yy)12（xx）=0，得：=，所以AC的垂直平分線方程為：y6=(xx)，即13xx(2y25)=0，故經(jīng)過定點(diǎn)(0，)。評(píng)注：點(diǎn)差法是求解雙曲線問題的一種常用方法。例5 已知雙曲線= 1的左、右焦點(diǎn)分別為F、F，左準(zhǔn)線為能否在雙曲線的左支上找到一點(diǎn)P，使| PF|是P到的距離與| PF|的等比中項(xiàng)？若能，試求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由分析；此題為探索題目，一般可設(shè)存在點(diǎn)P，再利用焦半徑及等比數(shù)列概念列等式可求解。解：由a = 5，c =13，知 =，=設(shè)P(x，y)，P到的距離為d，則| PF| =ax=5x，| PF|= ax= 5x，d =x=x 令| PF|= d| PF|，即(5x)= (x)(5x)，解得：x=或x=另一方面，因?yàn)镻在左支上，所以x5 與矛盾故符合條件的P點(diǎn)不存在評(píng)注： 一般的，是雙曲線= 1左支上存在P點(diǎn)，使| PF|= d| PF|成立的充要條件。本題中雙曲線離心率=，故符合條件的P點(diǎn)不存在 例如雙曲線= 1的離心率，則這樣的P點(diǎn)一定存在。類似的可得：是