橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(第二課時(shí))

1、2021/3/1712.2.22.2.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第二第二課時(shí)課時(shí)2021/3/172定定 義義圖圖 形形方方 程程范范 圍圍對(duì)稱性對(duì)稱性焦焦 點(diǎn)點(diǎn)頂頂 點(diǎn)點(diǎn)離心率離心率 0 12222 babyax 0 12222 baaybxF1F2MyxOyxOMF1F2|MF1|+|MF2|=2a (2a|F1F2|)(c,0)、( c,0)(0,c)、(0, c)( a,0) (0, b)|x| a |y| b|x| b |y| a關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸、軸、原點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱稱( b,0) (0, a)01ceea 一個(gè)框一個(gè)框, ,四個(gè)點(diǎn)四個(gè)點(diǎn), ,注意光滑和圓扁注意光滑和

2、圓扁, ,莫忘對(duì)稱要體現(xiàn)莫忘對(duì)稱要體現(xiàn) 2021/3/173已知橢圓方程為已知橢圓方程為6x6x2 2+y+y2 2=6=6它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是: : 。短軸長(zhǎng)是。短軸長(zhǎng)是: : 。焦距是焦距是: : . .離心率等于離心率等于: : 。焦點(diǎn)坐標(biāo)是焦點(diǎn)坐標(biāo)是: : 。頂點(diǎn)坐標(biāo)是。頂點(diǎn)坐標(biāo)是: : 。 外切矩形的面積等于外切矩形的面積等于: : 。 262)5, 0( 52630(0,6) ( 1,0)4 616122 yx其其標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程是是5 1 622bacba則練習(xí)練習(xí)1.1.2021/3/174例例2 2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1 1）

3、經(jīng)過(guò)點(diǎn)）經(jīng)過(guò)點(diǎn) 、 ；（2 2）長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于）長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于 , ,離心率等于離心率等于 ( 3,0)P (0, 2)Q2035解解: :（1 1）由題意，）由題意， , ,又又長(zhǎng)軸在長(zhǎng)軸在軸上，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程軸上，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為為 3a 2b x22194xy（2 2）由已知，由已知， ， ， ， ，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 或或 220a 35cea10a 6c 22210664b 22110064xy22110064yx2021/3/175例例3 橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為 ,其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程02，A分析分析:題目沒有指出焦點(diǎn)的位置,要考慮兩種位置

4、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；11422yx橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；116422yx解：解：（1）當(dāng) 為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)， ， ， 2a1b02，A（2）當(dāng) 為短軸端點(diǎn)時(shí)， , ， 2b4a02，A綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 或 11422yx116422yx2021/3/176已知橢圓 的離心率 ，求 的值 19822ykx21ek21e4k由 ，得：解：解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在 軸上時(shí)， ， ，得 82 ka92b12 kcx 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在 軸上時(shí)， ， ，得 92a82 kbkc12y21e4191k45k由 ，得 ，即 滿足條件的 或 4k45k思考:2021/3/177【變式與拓展】3從橢圓短軸的一個(gè)端

5、點(diǎn)看長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的視角為 120,則此橢圓的離心率 e 為()D2021/3/178例例5 如圖如圖,一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過(guò)對(duì)稱軸的截口其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過(guò)對(duì)稱軸的截口BAC是橢圓的一部分是橢圓的一部分,燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1上上,片門位于另一個(gè)片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)焦點(diǎn)F2上上,由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F1出發(fā)的光線出發(fā)的光線,經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)集中到另一個(gè)焦點(diǎn)F2.所在橢圓的方程。求截口已知BACcm

6、FFcmBFFFBC,5 . 4,8 . 2,21121解解:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)所求橢圓方程為設(shè)所求橢圓方程為. 12222byax22221212215 . 48 . 2FFBFBFFBFRt中，在所以由橢圓的性質(zhì)知，,221aBFBF1 . 4)5 . 48 . 28 . 2(21)(212221BFBFayF2F1xoBC4 . 325. 21 . 42222cab14 . 31 . 42222yx為所以，所求的橢圓方程A2021/3/179的軌跡。，求點(diǎn)的距離的比是常數(shù)的距離和它到直線與定點(diǎn)點(diǎn)例MxlFyxM54425:)0 , 4(),(6,5442

7、5:dMFMPMxlMd的軌跡就是集合點(diǎn)的距離，根據(jù)題意，到直線是點(diǎn)解：設(shè).54425)4(2xyx由此得,22525922yx簡(jiǎn)，得將上式兩邊平方，并化192522yx即所以所以,點(diǎn)點(diǎn)M的軌跡是長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別為的軌跡是長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別為10、6的橢圓。的橢圓。FlxoyMHd2021/3/1710回憶回憶:直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系1.位置關(guān)系位置關(guān)系:相交、相切、相離相交、相切、相離2.判別方法判別方法(代數(shù)法代數(shù)法) 聯(lián)立直線與圓的方程聯(lián)立直線與圓的方程 消元得到二元一次方程組消元得到二元一次方程組 (1)0直線與圓相交直線與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)有兩個(gè)公共點(diǎn); (2)=0 直線

8、與圓相切直線與圓相切有且只有一個(gè)公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn); (3)0直線與橢圓相交直線與橢圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)有兩個(gè)公共點(diǎn); (2)=0 直線與橢圓相切直線與橢圓相切有且只有一個(gè)公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn); (3)k-3366-k0因?yàn)橐驗(yàn)樗运?方程（）有兩個(gè)根方程（）有兩個(gè)根,那么那么,相交所得的弦的相交所得的弦的弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)是多少是多少?則原方程組有兩組解則原方程組有兩組解.- (1)由韋達(dá)定理由韋達(dá)定理51542121xxxx222212121212126()()2()2 ()425ABxxyyxxxxx x 2021/3/1721設(shè)直線與橢圓交于設(shè)直線與橢圓交于P1(x1,y1),P2(x

9、2,y2)兩點(diǎn)兩點(diǎn),直線直線P1P2的斜率為的斜率為k弦長(zhǎng)公式弦長(zhǎng)公式:221|1|1|ABABABkxxyyk知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)2:弦長(zhǎng)公式弦長(zhǎng)公式可推廣到任意二次曲線2021/3/1722例例3:已知斜率為已知斜率為1的直線的直線L過(guò)橢圓過(guò)橢圓 的右焦點(diǎn)的右焦點(diǎn),交橢圓于交橢圓于A,B兩點(diǎn)兩點(diǎn),求弦求弦AB之長(zhǎng)之長(zhǎng)題型二題型二:弦長(zhǎng)公式弦長(zhǎng)公式222:4,1,3.abc解 由橢圓方程知( 3,0).F右焦點(diǎn):3.lyx直線 方程為22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB xy設(shè)12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxx

10、x852021/3/1723題型二題型二:弦長(zhǎng)公式弦長(zhǎng)公式2021/3/17242021/3/1725例例5、如圖、如圖,已知橢圓已知橢圓 與直線與直線x+y-1=0交交于于A、B兩點(diǎn)兩點(diǎn), AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)M與橢圓中心連線的與橢圓中心連線的斜率是斜率是 ,試求試求a、b的值。的值。221axby2 2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b =4-4(abab1122( ,), (,)A x yB x y設(shè)121221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中點(diǎn)22121 21()4ABkxxx x又MOakb

11、222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab 2021/3/1726例例6 :已知橢圓已知橢圓 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(2,1)引一弦引一弦,使弦在這點(diǎn)被使弦在這點(diǎn)被 平分平分,求此弦所在直線的方程求此弦所在直線的方程.解解:韋達(dá)定理韋達(dá)定理斜率斜率韋達(dá)定理法韋達(dá)定理法:利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)構(gòu)造利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)構(gòu)造題型三題型三:中點(diǎn)弦問題中點(diǎn)弦問題2021/3/1727例例 6 已知橢圓已知橢圓 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(2,1)引一弦引一弦,使弦在這點(diǎn)被使弦在這點(diǎn)被 平分平分,求此弦所在直線的方程求此弦所在直線的方程.點(diǎn)差法點(diǎn)差法:利用端點(diǎn)在曲線上利用端點(diǎn)在曲線上,坐標(biāo)滿足方程坐標(biāo)

12、滿足方程,作差構(gòu)造作差構(gòu)造 出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率點(diǎn)點(diǎn)作差作差題型三題型三:中點(diǎn)弦問題中點(diǎn)弦問題2021/3/17282222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa 即2111221211AByyxxbkxxayy 2020 xbay 直線和橢圓相交有關(guān)弦的中點(diǎn)問題,常用設(shè)而不求的思想方法 2021/3/1729例例6已知橢圓已知橢圓 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(2,1)引一弦引一弦,使弦在這點(diǎn)被使弦在這點(diǎn)被 平分平分,求此弦所在直線的方程求此弦所在直線的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2,整理得整理得x+2y-4=0從而從而A ,B在直線在直線x+2y-4=0上上而過(guò)而過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線有且只有一條兩點(diǎn)的直線有且只有一條解后反思解后反思:中點(diǎn)弦問題求解關(guān)鍵在于充分利用中點(diǎn)弦問題求解關(guān)鍵在于充分利用“中點(diǎn)中點(diǎn)”這一這一 條件條件,靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理,題型三題型三:中點(diǎn)弦問題中點(diǎn)弦問題2021/3/17303、弦中點(diǎn)問題弦中點(diǎn)問題的兩種處理方法的兩種處理方法: （1）聯(lián)立方程組）聯(lián)立方程組,消去一個(gè)未知數(shù)消去一個(gè)未知數(shù),利用韋達(dá)定理利用韋達(dá)定理; （2）設(shè)兩端點(diǎn)坐標(biāo)）設(shè)兩端點(diǎn)坐標(biāo),代入曲線方程