文天數(shù)學(xué)建模———微分方程模型

1、微分方程模型微分方程模型時(shí)正華 數(shù)學(xué)系2015年8月數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟1.了解問題的實(shí)際背景，明確建模目的，收集掌握了解問題的實(shí)際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。必要的數(shù)據(jù)資料。2.2.通過對資料的分析計(jì)算，找出起主要作用的因素，通過對資料的分析計(jì)算，找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精練、簡化，提出若干符合客觀實(shí)際的經(jīng)必要的精練、簡化，提出若干符合客觀實(shí)際的假設(shè)。假設(shè)。3.3.在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻畫各變量之間的關(guān)系，即建立模型。畫各變量之間的關(guān)系，即建立模型。4.4.模型求解（包括解方程、圖解、邏輯推理

2、、定理模型求解（包括解方程、圖解、邏輯推理、定理證明等）。證明等）。5.5.模型的分析與檢驗(yàn)。模型的分析與檢驗(yàn)。1.0常微分方程基本理論常微分方程基本理論與建模方法與建模方法a. a. 常微分方程解的存在唯一性常微分方程解的存在唯一性c. c. 常微分方程的定性方法常微分方程的定性方法-相圖與穩(wěn)定性分析相圖與穩(wěn)定性分析1.0.1常微分方程的基本問題b. b. 常微分方程的求解方法常微分方程的求解方法-初等積分法與數(shù)值方法初等積分法與數(shù)值方法d. d. 常微分方程建模常微分方程建模-兩個(gè)簡單實(shí)例兩個(gè)簡單實(shí)例定義定義：一般高階線性常微分方程具有形式通解初值問題（初值問題（IVPIVP）與特解 00

3、( , ),( ),dxf t xdtx tx),.,;(11 nnnndtxddtdxxtfdtxd),.,1 , 0(niydtxdiii 令令 ),.,;(.,11012110nnyyytfdtdyydtdyydtdya. a. 常微分方程基本概念及解的存在唯一性常微分方程基本概念及解的存在唯一性定理：定理：對初值問題（IVP）00( , )(1)( )(2)dxf t xdtx tx001212120( , )( , ):|,|.0,|( ,)( ,)|,( ,),( ,).(1)|(2)( )min( ,),max |( )|.Rf t xRt xtta xxbxLipschitzL

4、f t xf t xL xxt xt xRtthxtbhaMf xm設(shè)函數(shù)在矩形域上連續(xù),且關(guān)于 滿足條件 即存在常數(shù)使得則方程在區(qū)間上存在滿足的解且解唯一.其中常微分方程解的存在唯一性常微分方程解的存在唯一性b. b. 微分方程的求解方法微分方程的求解方法-解析解與數(shù)值解解析解與數(shù)值解一階微分方程：一階微分方程：可分離變量可分離變量, , 齊次方程齊次方程, , 線性方程等線性方程等. .二階齊次微分方程二階齊次微分方程: :0axbxcx121121221212212240,40,240,(cossin)4,22rtr trtrttbacxc ec ebbacxc ec terrabacx

5、ectctbacbaa 221244,22bbacbbacrraa （1 1）解析解法）解析解法-初等積分法初等積分法解特征方程解特征方程用用MatlabMatlab求微分方程的解析解求微分方程的解析解命令：命令：dsolve(方程方程1 1, , 方程方程2 2, ,方程方程n n, , 初始條件初始條件, , 自變量自變量)記號: 在表達(dá)微分方程時(shí)，用字母D表示求微分，D2、D3等表示求高階微分. 任何D后所跟的字母為因變量，自變量可以指定或由系統(tǒng)規(guī)則選定為確省.例如，微分方程有 應(yīng)表達(dá)為：D2y=0.220d ydx用用MatlabMatlab求微分方程的解析解求微分方程的解析解例例1

6、1：求微分方程求微分方程 的通解。的通解。解：輸入命令:dsolve(Du=1+u2,t)21duudt 輸出結(jié)果:u=tan(t+c1)例例 2 求微分方程的特解. 15)0( , 0)0(029422yyydxdydxyd解解: : 輸入命令:y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)輸出結(jié)果:y=3e-2xsin（5x） 例例 3 求微分方程組的通解. zyxdtdzzyxdtdyzyxdtdx244354332解解: : 輸入命令 ：x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2

7、*z,t)；x=simple(x)%將x化簡y=simple(y)z=simple(z)輸出結(jié) 果：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2ty=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2tz=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2tb. b. 微分方程的求解方法微分方程的求解方法-解析解與數(shù)值解解析解與數(shù)值解數(shù)學(xué)軟件：數(shù)學(xué)軟件：matlab, mathematica, mapleMatlab：ode45（非剛性方程非剛性方程） ode23（剛性方程剛性方程）（2 2）數(shù)值解法數(shù)值解法Mathematica：ode45（非剛

8、性方程非剛性方程） ode23（剛性方程剛性方程）用用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解軟件求常微分方程的數(shù)值解t，x=solver（f,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程寫成的m-文件名ts=t0，tf，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)的初值ode23：組合的2/3階龍格-庫塔-芬爾格算法ode45：運(yùn)用組合的4/5階龍格-庫塔-芬爾格算法自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時(shí)設(shè)定相對誤差10-3,絕對誤差10-6),命令為：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）,rt，at：分別為設(shè)定的相對誤差和

9、絕對誤差.例1. 求解下列初值問題：2,(0)1.xxx 解： （1）創(chuàng)建函數(shù)文件：xprim1.mfunctiony=xprim1(t,x)y=-x.2;調(diào)用matlab的函數(shù)ode45求方程的數(shù)值解，并畫出解曲線。t,x=ode45(xprim1,0,1,1);plot(t,x,-,t,x,o);xlabel(Time:t0=0,tend=1);ylabel(xvalues:x(0)=1);（2）創(chuàng)建求解函數(shù)文件：solplot.m（腳本文件），文件中解解: 令 y1=x，y2=y1則微分方程變?yōu)橐浑A微分方程組：0)0(, 2)0()1 (1000211221221yyyyyyyy1、建立

10、m-文件vdp1000.m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0，tf=3000，輸入命令：T,Y=ode15s(vdp1000,03000,20);plot(T,Y(:,1),-)3、結(jié)果如圖050010001500200025003000-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52例3.求解下列初值問題：11121221220.10.01 ,(0)30,0.020.04 ,(0)20.xxx xt xxxx xt x 解：（1）創(chuàng)建函

11、數(shù)文件：xprim2.mfunctiony=xprim2(t,x)y=x(1)-0.1*x(1)*x(2)+0.01*t;-x(2)+0.02*x(1)*x(2)+0.04*t;調(diào)用matlab的函數(shù)ode45求方程的數(shù)值解，并畫出解曲線及相圖。t,x=ode45(xprim2,0,20,30;20)plot(t,x);xlabel(Time:t0=0,tend=20);ylabel(xvalues:x1(0)=30,x2(0)=20);（2）創(chuàng)建求解函數(shù)文件：solplot.m（腳本文件），文件中解解 1、建立m-文件rigid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=

12、zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，輸入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3、結(jié)果如圖024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81圖中，y1的圖形為實(shí)線，y2的圖形為“*”線，y3的圖形為“+”線.C.C. 常微分方程的定性方法常微分方程的定性方法-相圖與穩(wěn)定性分析相圖與穩(wěn)定性分析如果如果0)(limxtxt則稱平衡點(diǎn)則稱

13、平衡點(diǎn)x0是是穩(wěn)定穩(wěn)定的的.d( )(1)dxf xt稱代數(shù)方程稱代數(shù)方程f (x)=0的實(shí)根的實(shí)根x =x0為方程的為方程的平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)(或奇點(diǎn)或奇點(diǎn)).它也是方程的解它也是方程的解.定義：定義：設(shè)設(shè)定性分析方法（幾何方法）：定性分析方法（幾何方法）：不求方程的解，而直不求方程的解，而直接分析解的（幾何）性質(zhì)。接分析解的（幾何）性質(zhì)。穩(wěn)定性判別方法穩(wěn)定性判別方法由于由于),)()(00 xxxfxf在討論方程在討論方程(1)(1)的的00d()()(2)dxfxxxt來代替來代替. .穩(wěn)定性時(shí)，可用其線性近似穩(wěn)定性時(shí)，可用其線性近似 易知易知x0也是方程也是方程(2)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn).(2)

14、的通解為的通解為,e)(0)(0 xCtxtxf關(guān)于關(guān)于x0是否穩(wěn)定有以下結(jié)論：是否穩(wěn)定有以下結(jié)論：若若, 0)(0 xf則則x0是穩(wěn)定的；是穩(wěn)定的；若若則則x0是不穩(wěn)定的是不穩(wěn)定的., 0)(0 xf 常微分方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性常微分方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性d( , ),d(3)d( , ).dxf x ytyg x yt代數(shù)方程組代數(shù)方程組.0),(, 0),(yxgyxf的實(shí)根的實(shí)根x =x0, y =y0稱為方程稱為方程(3)的的平衡點(diǎn)平衡點(diǎn),記作記作P0(x0,y0).它也是方程它也是方程(3)的解的解.設(shè)設(shè)定義：定義：如果如果,)(lim,)(lim00ytyxtxtt則稱平衡

15、點(diǎn)則稱平衡點(diǎn)P0是是穩(wěn)定穩(wěn)定的的. 下面給出判別平衡點(diǎn)下面給出判別平衡點(diǎn)P P0 0是否穩(wěn)定的是否穩(wěn)定的判別準(zhǔn)則判別準(zhǔn)則. . 定理：定理：設(shè)設(shè) 則則（1）當(dāng)）當(dāng)p0且且q0時(shí)時(shí),平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)P0是穩(wěn)定的；是穩(wěn)定的；（2）當(dāng)）當(dāng)p0或或q0時(shí)時(shí),平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定的是不穩(wěn)定的.00()() , fgpPPxy0000()()det,()()ffPPxyqgfPPxyd.d.微分方程建模微分方程建模兩個(gè)簡單實(shí)例兩個(gè)簡單實(shí)例 在實(shí)際問題中，如果直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)在實(shí)際問題中，如果直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或

16、微分的關(guān)系式較為容易，可用建立微分方程模型。對于系式較為容易，可用建立微分方程模型。對于連續(xù)變連續(xù)變量量的問題，微分方程是十分常用的數(shù)學(xué)工具之一。的問題，微分方程是十分常用的數(shù)學(xué)工具之一。微分方程建模微分方程建模 根據(jù)函數(shù)及其根據(jù)函數(shù)及其變化率變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)之間的關(guān)系確定函數(shù) 根據(jù)建模目的和問題分析作出根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè)簡化假設(shè) 按照內(nèi)在規(guī)律（按照內(nèi)在規(guī)律（機(jī)理分析機(jī)理分析）或用）或用類比法類比法建立建立微微分方程分方程例例1 1（理想單擺運(yùn)動(dòng)）建立理想單擺運(yùn)動(dòng)滿足的微（理想單擺運(yùn)動(dòng)）建立理想單擺運(yùn)動(dòng)滿足的微分方程，并得出分方程，并得出理想單擺理想單擺運(yùn)動(dòng)的周期公式。

17、運(yùn)動(dòng)的周期公式。 從圖從圖3-1中不難看出，小球所受的合力為中不難看出，小球所受的合力為mgsin，根據(jù)根據(jù)牛頓第二定律牛頓第二定律可得：可得：sinmlmg 從而得出兩階微分方程：從而得出兩階微分方程： 0sin0(0)0, (0)gl（5.0.1）這是理想單擺應(yīng)這是理想單擺應(yīng)滿足的運(yùn)動(dòng)方程滿足的運(yùn)動(dòng)方程（5.0.15.0.1）是一個(gè)兩階非線性方程，）是一個(gè)兩階非線性方程，不易求解。當(dāng)不易求解。當(dāng)很小時(shí)，很小時(shí)，sin，此時(shí)，此時(shí)，可考察（可考察（5.0.15.0.1）的近似線性方程：）的近似線性方程： 由此即可得出由此即可得出2gTl00(0)0, (0)gl（5.0.2） （5.0.25

18、.0.2）的解為）的解為: : (t)= 0cost gl其中其中當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),(t)=04Tt 42g Tl故有故有MQPmgl圖圖5-0.1（5.0.15.0.1）的近似方的近似方程程例例2 一根長度為一根長度為l l的金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上，一的金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上，一端的溫度恒為端的溫度恒為T T1 1，另一端溫度恒為，另一端溫度恒為T T2 2，（，（T T1 1、T T2 2為常數(shù)，為常數(shù)，T T1 1 T T2 2）。）。金屬桿橫截面積為金屬桿橫截面積為A A，截面的邊界長度為，截面的邊界長度為B B，它完全暴露在空氣中，它完全暴露在空氣中，空氣溫度為空氣溫

19、度為T T3 3，（，（T T3 3 10ti 11-1/ i0t 1di/dt 0模型模型43）假設(shè)傳染病有免疫性假設(shè)傳染病有免疫性病人治愈后即病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱為移出感染系統(tǒng)，稱為移出者移出者. . 病人、健康人病人、健康人和移出者的比例分別為和移出者的比例分別為SIR模型模型改變假改變假設(shè)設(shè)4）假設(shè)總?cè)藬?shù)假設(shè)總?cè)藬?shù)N不變不變：1.)()()(trtsti5）病人的日接觸率病人的日接觸率 , , 日日治愈率治愈率 , , 接觸數(shù)接觸數(shù) = / 建模建模1)()()(trtits需建立需建立的兩個(gè)方程的兩個(gè)方程)(),(),(trtsti).(),(),(trtstittNitti

20、tNstittiN)()()()()(模型模型4-第三次改進(jìn)第三次改進(jìn)SIR模型模型很?。┩ǔ?00)0(1rrsi無法求出無法求出的解析解的解析解)(),(tsti在相平面在相平面 上研究解的性質(zhì)上研究解的性質(zhì)is ttitNststtsN)()()()(00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi模型模型400)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi/消去消去dtSIR模型模型1,0,0),(isisisD相軌線相軌線 的定義域的定義域)(si相軌線相軌線11si0D在在D內(nèi)作相軌線內(nèi)作相軌線的圖形，的圖形，進(jìn)行分

21、析進(jìn)行分析)( sisi101D模型模型4SIR模型模型相軌線相軌線 及其分析及其分析)(si00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi0ln1000sssiss滿足miis,/1傳染病蔓延傳染病蔓延傳染病不蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減單調(diào)減相軌線的方向相軌線的方向0, itP1s0/1imsP1: i(t)先升后降至先升后降至0P2:i(t)單調(diào)降至單調(diào)降至0閾值閾值P3P4P2S0/10s/10s/1ssss00lnln模型模型4SIR模型模型預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 ( (日接觸率日接觸率) ) 衛(wèi)生

22、水平衛(wèi)生水平 ( (日日治愈率治愈率) ) 醫(yī)療水平醫(yī)療水平 傳染病不蔓延的條件傳染病不蔓延的條件s01/ 的估計(jì)的估計(jì)0ln1000sssis0i忽略降低降低 s0提高提高r01000ris提高閾值提高閾值 1/ 降低降低 (= / ) , 群體免疫群體免疫模型模型4SIR模型模型被傳染人數(shù)的估計(jì)被傳染人數(shù)的估計(jì)0ln1000sssis記被傳染人數(shù)比例記被傳染人數(shù)比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxs0i0s/1P10ssi0 0,s0 1 小小,s0 1提高閾值提高閾值1/ 降低降低被傳染人數(shù)比例被傳染人數(shù)比例 xs0- 1/ = 戰(zhàn)爭分類

23、：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)領(lǐng)域的建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)領(lǐng)域的實(shí)際問題提供了可借鑒的示例實(shí)際問題提供了可借鑒的示例第一次世界大戰(zhàn)第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測戰(zhàn)役結(jié)局的模型提出預(yù)測戰(zhàn)役結(jié)局的模型 戰(zhàn)爭模型戰(zhàn)爭模型0),(),()(0),(),()(tvyyxgtytuxyxftx一般模型一般模型每方戰(zhàn)

24、斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比甲乙雙方的增援率為甲乙雙方的增援率為u(t),v(t)f, g取決于戰(zhàn)爭類型取決于戰(zhàn)爭類型x(t)甲方兵力，甲方兵力，y(t)乙方兵力乙方兵力模型模型假設(shè)假設(shè)模型模型)()(tvybxytuxayx正規(guī)戰(zhàn)爭模型正規(guī)戰(zhàn)爭模型甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)xxprbbxg,忽略非戰(zhàn)斗減員忽略非戰(zhàn)斗減員假設(shè)沒有增援假設(shè)沒有增援00)0(,)0(yyxxbxyayxf(x,y)=

25、ay,a 乙方每個(gè)士兵的殺傷率乙方每個(gè)士兵的殺傷率a=ry py,ry 射擊率，射擊率， py 命中率命中率)(ty)(tx0ak0k0kbk0k正規(guī)戰(zhàn)爭模型正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求x(t),y(t)而在而在相平面上討論相平面上討論x 與與y 的關(guān)系的關(guān)系00)0(,)0(yyxxbxyayxaybxdxdy2020bxaykkbxay22000yxk時(shí)平方律平方律模型模型甲方勝 0k平局0kyyxxprprabxy200乙方勝乙方勝游擊戰(zhàn)爭模型游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn)雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn)甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵

26、力的增加而增加忽略非戰(zhàn)斗減員忽略非戰(zhàn)斗減員假設(shè)沒有增援假設(shè)沒有增援yrxxxxssrprddxyyxg/,),(00)0(,)0(yyxxdxyycxyxf(x,y)= cxy,c乙方每個(gè)士兵的殺傷率乙方每個(gè)士兵的殺傷率c =ry pyry射擊率射擊率py 命中率命中率py=sry /sxsx 甲方活動(dòng)面積甲方活動(dòng)面積sry 乙方射擊有效面積乙方射擊有效面積)(tycm0dm)(tx0m0m0m游擊戰(zhàn)爭模型游擊戰(zhàn)爭模型00)0(,)0(yyxxdxyycxyx00dxcymmdxcy乙方勝時(shí)000yxmyryyxrxxssrssrcdxy00線性線性律律模型模型甲方勝 0m平局 0mcddxd

27、y)(ty)(tx0乙方勝, 0n平局, 0n甲方勝, 0n00)0(,)0(yyxxbxycxyx混合戰(zhàn)爭模型混合戰(zhàn)爭模型甲方為游擊部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì)甲方為游擊部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì)020222bxcynnbxcy02002cxbxy乙方勝0n100)/(200 xy02002xsrsprxyryyxxx乙方必須乙方必須10倍于甲方的兵力倍于甲方的兵力設(shè)設(shè)x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等）生資源（礦業(yè)等）再生資源應(yīng)適度開發(fā)再生資源應(yīng)適度開發(fā)在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前

28、提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。問題問題及及 分析分析在在捕撈量穩(wěn)定捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。如果使捕撈量等于自然增長量，如果使捕撈量等于自然增長量，漁場魚量漁場魚量將保持不變將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。，則捕撈量穩(wěn)定。背景背景最優(yōu)捕魚問題 ExNxrxxFtx)1()()()1()()(Nxrxxftx)()()(xhxfxF記產(chǎn)量模型產(chǎn)量模型假設(shè)假設(shè)無捕撈時(shí)魚的自然增長服從無捕撈時(shí)魚的自然增長服從Logistic規(guī)律規(guī)律單位時(shí)間捕撈量與漁場魚量成正比單位時(shí)間捕撈量與漁場魚量成正比建模建模捕撈情況下漁

29、捕撈情況下漁場魚量滿足場魚量滿足不需要求解不需要求解x(t),只需知道只需知道x(t)穩(wěn)定的條件穩(wěn)定的條件r固有增長率固有增長率,N最大魚量最大魚量h(x)=Ex, E捕撈強(qiáng)度捕撈強(qiáng)度x(t)漁場魚量漁場魚量一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性) 1 ()(xFx 一階非線性（自治）方程一階非線性（自治）方程F(x)=0的根的根x0微分方程的微分方程的平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)000 xxxxx設(shè)設(shè)x(t)是方程的解，若從是方程的解，若從x0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有某鄰域的任一初值出發(fā)，都有,)(lim0 xtxt稱稱x0是方程是方程(1)的的穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)不求不求x(t),判斷判