第10章習(xí)題與解答

1、習(xí) 題 解 答10-1 把單擺擺球從平衡位置向位移正方向拉開，是擺線與豎直方向成一微小角度，然后由靜止放手任其振動，從放手時開始計時.若用余弦函數(shù)表示其運(yùn)動方程，則該單擺振動的初相為（ ） (A) 2 （B）/2 (C)0 (D)解 由已知條件可知其初始時刻的位移正向最大。利用旋轉(zhuǎn)矢量圖可知，初相相位是0.故選C10-2 如圖所示，用余弦函數(shù)描述一簡諧振動。已知振幅為A，周期為T，初相，則振動曲線為（ ）習(xí)題 10-2 圖 解 由已知條件可知初始時刻振動的位移是，速度是，方向是向軸正方向，則振動曲線上時刻的斜率是正值。故選A10-3 已知某簡諧振動的振動曲線和旋轉(zhuǎn)矢量圖如附圖（a）、（b）所示

2、，位移的單位為厘米，時間單位為秒，則此簡諧振動的振動方程為（ ）（A） （B） （C) （D） 習(xí)題10-3圖解 由振動圖像可知，初始時刻質(zhì)點(diǎn)的位移是，且向軸負(fù)方向運(yùn)動，附圖（）是其對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，由圖可知，其初相位是，振動曲線上給出了質(zhì)點(diǎn)從到A的時間是，其對應(yīng)的相位從變化到，所以它的角速度簡諧振動的振動方程為故選D10-4 彈簧振子做簡諧振動，已知此振子勢能的最大值為100J,當(dāng)振子處于最大位移的一半時其動能為（ ）（A）25J （B）50J （C)75J （D)100J解 物體做簡諧運(yùn)動時，振子勢能的表達(dá)式是，其動能和勢能都隨時間做周期性變化，物體通過平衡位置時，勢能為零，動能達(dá)到最大值

3、；位移最大時，勢能達(dá)到最大值，動能為零，但其總機(jī)械能卻保持不變.當(dāng)振子處于最大位移的一半時其勢能為,所以此時的動能是故選C10-5 一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動，速度最大值Vm=0.05m/s，振幅A=2cm.若令速度具有正最大值的那一時刻為t=0，則振動表達(dá)式為 。解 速度的最大值,A =0.02m,所以 振動的一般表達(dá)式，現(xiàn)在只有初相位沒確定，速度具有正最大值時位于原點(diǎn)處，由旋轉(zhuǎn)矢量法可知，振動的表達(dá)式為.10-6 已知一個諧振子的振動曲線如圖(a)、對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖（b）所示,求:a、b、c、d、e各點(diǎn)狀態(tài)的相位分別為 。習(xí)題 10-6 圖解 結(jié)合旋轉(zhuǎn)矢量圖附圖(b),振動曲線上的a,b,c,d,e

4、對應(yīng)旋轉(zhuǎn)矢量圖上的,所以其相位分別是 10-7 一簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量如圖所示，振幅矢量長2cm,則該簡諧振動的初相為 ，振動方程為 。習(xí)題10-8圖解 振動方程的一般表達(dá)式是,是指t = 0時對應(yīng)的相位,也是初相位,由圖可知t=0時的角度是,所以該簡諧振動的初相為.角速度是 ,代入振動方程可得到(m).10-8 質(zhì)點(diǎn)的振動曲線如圖所示。試求：（1）振動表達(dá)式（2）點(diǎn)P對應(yīng)的相位（3）到達(dá)點(diǎn)P對應(yīng)位置所需時間。解 （1）根據(jù)振動曲線對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)振幅矢量可知，初相，從t=0到t=1s時間內(nèi)相位差為，所以角頻率為可得振動表達(dá)式為(2)P點(diǎn)相對應(yīng)的相位為0。(3)到達(dá)P點(diǎn)所需時間為10-9 沿x軸作簡諧

5、振動的小球，振幅A=0.04m，速度的最大值。若取速度為正的最大值時t=0。試求：（1）振動頻率；（2）加速度的最大值；（3）振動的表達(dá)式。解 （1） 速度的最大值，A=0.04m，。（2）加速度的最大值。（3）速度為正的最大值時t=0，由旋轉(zhuǎn)矢量法可知：振動的表達(dá)式為 10-10 一物體質(zhì)量為0.25 kg，在彈性力作用下作諧振動，彈簧勁度系數(shù)為 25 Nm1，如果起始振動時具有勢能0.06J和動能0.02J，求 （1）振幅； （2）動能恰等于勢能時的位移； （3）經(jīng)過平衡位置時物體的速度。解 物體做簡諧振動時，振子勢能的表達(dá)式是，動能表達(dá)式是。其動能和勢能都隨時間做周期性變化，物體通過平衡

6、位置時，勢能為零，動能達(dá)到最大值；位移最大時，勢能達(dá)到最大值，動能為零，但其總機(jī)械能卻保持不變?yōu)椤＃?）由于振動過程總機(jī)械能卻保持不變，A=0.08m。（2）動能恰等于勢能時，也就是此時勢能是總機(jī)械能的一半，（3）通過平衡位置時，勢能為零，動能達(dá)到最大值，此時， .10-11 一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動，其振動方程為。求：（1）當(dāng)x值為多大時，系統(tǒng)的勢能為總能量的一半？（2）質(zhì)點(diǎn)從平衡位置移動到上述位置所需最短時間為多少秒？解 （1）系統(tǒng)的勢能為總能量的一半時，有（2）質(zhì)點(diǎn)從平衡位置移動到上述位置所需最短時間為10-12 一質(zhì)點(diǎn)同時參與兩個同方向的簡諧振動，其振動方程分別為求合振動的振動方程。 解 作兩

7、振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖，如圖所示。由圖得合振動的振幅和初相分別為A(5-3)cm=2cm，合振動方程為10-13 火車在鐵軌上行駛，每經(jīng)過鐵軌接縫處即受到一次振動，從而使裝在彈簧上面的車廂上下振動。設(shè)每段鐵軌長12.5，彈簧平均負(fù)重5.410N，而彈簧每受9.8103N的力將壓縮1.6mm。試問火車速度多大時，振動特別強(qiáng)?解 由題意可得彈簧勁度系數(shù)系統(tǒng)的振動角頻率火車的固有周期 因此，當(dāng)火車在接軌處受到振動周期等于固有周期時，振動將最強(qiáng)，于是時，振動將特別強(qiáng)烈。習(xí)題 10-14 圖10-14 一平面簡諧波的波動方程為時的波形曲線如附圖所示，則（ ） u（A） O點(diǎn)的振幅為 0.1 （B） 波長為3m

8、 （C） 兩點(diǎn)間相位差為 O （D） 波速為9m/s 解 波動方程的一般表達(dá)式是 ，對比所給的波動方程可知：各質(zhì)點(diǎn)的振幅都是0.1m,波長=2m，角頻率所以波速 a,b兩點(diǎn)間距離差是 對應(yīng)的相位差是 故選C 10-15 某平面簡諧波在時波形圖如圖所示，則該波的波函數(shù)為（ ） （A) (B) (C) (D)習(xí)題 10 - 15 圖解 波動方程的一般表達(dá)式為 ，由圖可知，所以前的系數(shù)取負(fù)值。當(dāng)時，此時的相位是 將已知條件帶入方程可得 所以波函數(shù)為 故選A10-16 一平面簡諧波在彈性媒質(zhì)中傳播時，某一時刻在傳播方向上介質(zhì)中某質(zhì)元在負(fù)的最大位移處，則它的能量（ ）（A） 動能為零，勢能最大 （B）動

9、能為零，勢能為零（C）動能最大，勢能最大 （D）動能最大，勢能為零解 介質(zhì)中某質(zhì)元的動能表達(dá)式 ，質(zhì)元的彈性勢能，所以在波動傳播的介質(zhì)中，任一體積元的動能、勢能均隨作周期性的變化，且變化是同相位的. 體積元在平衡位置時，動能、勢能和總機(jī)械能均最大. 體積元的位移最大時，三者均為零. 故選B10-17 頻率為，傳播速度為的平面簡諧波，波線上距離小于波長的兩點(diǎn)振動的相位差為，則此兩點(diǎn)相距（ ) (A) (B) (C) (D) 解 相位差與波程差之間的關(guān)系是 ，本題中 . 故選A10-18 兩列相干波沿同一直線反向傳播形成駐波，則相鄰波節(jié)間各質(zhì)點(diǎn)的振動（ ） (A) 振幅相同，相位相同 (B)振幅不

10、全相等，相位相同 (C) 振幅相同，相位不同 (D)振幅不全相等，相位不同解 駐波方程為 ，因此根據(jù)其特點(diǎn)，兩波節(jié)間各點(diǎn)運(yùn)動振幅不同，但相位相同，故選B。10-19 時刻波形圖如附圖（a）所示，此時點(diǎn)運(yùn)動方向 ，點(diǎn)運(yùn)動方向 ，坐標(biāo)為的質(zhì)點(diǎn)振動曲線如附圖（b）所示，則時刻運(yùn)動方向 ，時刻運(yùn)動方向 。（a）（b）習(xí)題 10 - 19 圖 解 本題給出了兩個很相似的曲線圖，但本質(zhì)缺完全不同，求解本題要弄清波動圖和振動圖的不同的物理意義。（a）圖是波形曲線，由波型狀態(tài)和傳播方向可知，點(diǎn)運(yùn)動方向是沿軸負(fù)方向，點(diǎn)運(yùn)動方向是沿軸正方向。（b）圖是振動曲線，由曲線和傳播方向可知，點(diǎn)運(yùn)動方向是沿軸正向，點(diǎn)是沿軸

11、負(fù)向。10-20 一橫波波函數(shù)為 ， 則頻率 ，波長 ，初相 。解 波動方程的一般表達(dá)式是 ，對比已知波的表達(dá)式，可知頻率，波長，初相10-21 頻率為的波，其波速為，相位差為 的兩點(diǎn)間距離為 。解 相位差與波程差之間的關(guān)系為本題中Hz ,，有 m 相位差為 的兩點(diǎn)間距離為 (m) 10-22 一橫波波函數(shù)為 (m)，求： （1）振幅 、波長、頻率和初相位； （2）X=2m處質(zhì)點(diǎn)在 t=2s 時振動的位移；（3）傳播方向上時間間隔為1s 的兩質(zhì)點(diǎn)的相位差。解 （1）將給定的方程化為 與標(biāo)準(zhǔn)形式的波動方程 相比較，可得振幅 m,波長 m,角頻率 rad/s頻率 Hz, 初相位 rad（2）把 x

12、=2m,t=2s代入波動方程，可得振動的位移 (m)（3） 題中 ，傳播方向上時間間隔為 的兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離是兩個波長，對應(yīng)的相位差是 rad10-23 如圖所示為一平面簡諧波在t=0時刻的波形圖,設(shè)此簡諧波的頻率為250Hz,且此時質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動方向向下,求:(1) 該波的波動方程；(2) 在距原點(diǎn)為100m處質(zhì)點(diǎn)的振動方程的表達(dá)式。習(xí)題 10-23 圖解 （1）由P點(diǎn)的運(yùn)動方向,可判定該波向左傳播,對坐標(biāo)原點(diǎn)處質(zhì)元,t=0時的位置,有 所以 原點(diǎn)的振動方程為 波動方程為 (m)(2) 在距原點(diǎn)為100m處質(zhì)點(diǎn)的振動方程是 (m)10-24 如圖所示為平面簡諧波在時的波形曲線，已知波長，求該波

13、的波動方程。解 設(shè)處質(zhì)元的振動方程是由圖可知，當(dāng)時速度方向?yàn)榉较蛟c(diǎn)處質(zhì)元的振動方程為(m)該波的波動方程為(m)習(xí)題 10-25 圖 10-25 一平面簡諧波以的速度沿軸負(fù)方向傳播。已知距坐標(biāo)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動曲線如圖所示，試求:（1）處質(zhì)點(diǎn)的振動方程；（2）該平面簡諧波的波動方程；（3）畫出時刻的波形圖。解 （1）振動方程的表達(dá)式，由圖可知振幅，角頻率rad/s，t=0s時，位移是正的最大可知初相位.所以振動方程是y=0.05cos(2t)m(2) 沿x軸負(fù)方向傳播的平面簡諧波的波動方程的表達(dá)式式中，角頻率，波長，波動方程可寫成由處質(zhì)點(diǎn)的振動方程可知，當(dāng),處質(zhì)點(diǎn)的相位是0，代入波動方程可得相

14、位表達(dá)式波動方程是(3) 代入波動方程可得 . 圖略10-26 一平面波在介質(zhì)中以沿軸正方向傳播，已知點(diǎn)振動方程，A、B兩質(zhì)點(diǎn)相距，AB，求：（1）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)寫出波動方程；（2）以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)寫出波動方程。解 （1）A點(diǎn)振動方程，將換成就得到以A為原點(diǎn)的波動方程（m）（2） 令就得到B點(diǎn)振動方程，將式中換成就得到以B為原點(diǎn)的波動方程(m)10-27 一平面簡諧波，頻率為300Hz，波速為340，在截面積為3.0010-2 的管內(nèi)空氣中傳播，若在10內(nèi)通過截面的能量為2.7010-2J，求： （1）通過截面的能流；（2）波的能流密度；（3）波的平均能量密度。解 （1）通過該截面的能流=2.710-3 （2） 波的能流密度（3） 波的平均能量密度由于，所以習(xí)題10-28 圖10-28 如圖所示，湖面上方處有一電磁波接收器，當(dāng)某射電星從地面上漸漸升起時，接收器可測得一系列波強(qiáng)的極大值。已知射電星所發(fā)射的電磁波的波長，求第一個極大值時射電星的射線與鉛垂線夾角（湖水可看做電磁波的反射體，電磁波的干涉與機(jī)械波的干涉有同樣的規(guī)律，電磁波從空氣射向水面反射時有半波損失）。解 接收器測得的電磁波是射電星所發(fā)射的信號直接到達(dá)接收器的部分與經(jīng)湖面反射的部分相互干涉的結(jié)果。計算波程差極大時，取，則10-29 一輛機(jī)車以25的速度駛進(jìn)停車場，停車場有一位靜止的觀察者，如果機(jī)車的汽笛的頻率為550H