解三角形題型總結(jié)原創(chuàng)

1、解三角形題型總結(jié)中的常見結(jié)論和定理：一、 內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式：1因?yàn)椋?所以； ；因?yàn)樗裕?大邊對(duì)大角3.在abc中，熟記并會(huì)證明tana+tanb+tanc=tanatanbtanc; (2)a、b、c成等差數(shù)列的充要條件是b=60； (3)abc是正三角形的充要條件是a、b、c成等差數(shù)列且a、b、c成等比數(shù)列.二、 正弦定理：文字：在中，各邊與其所對(duì)角的正弦的比值都相等。符號(hào)：公式變形：(邊轉(zhuǎn)化成角） （角轉(zhuǎn)化成邊） 三、 余弦定理：文字：在中，任意一邊的平方，等于另外兩邊的平方和，減去這兩邊與它們夾角的余弦值的乘積的兩倍。符號(hào)： 變形： 四、面積公式：（1） （2）（其中為三角形內(nèi)切

2、圓半徑）（3）五、 常見三角形的基本類型及解法：（1）已知兩角和一邊（如已知邊） 解法：根據(jù)內(nèi)角和求出角；根據(jù)正弦定理求出其余兩邊（2）已知兩邊和夾角（如已知）解法：根據(jù)余弦定理求出邊；根據(jù)余弦定理的變形求；根據(jù)內(nèi)角和定理求角.（3）已知三邊（如：）解法：根據(jù)余弦定理的變形求；根據(jù)余弦定理的變形求角；根據(jù)內(nèi)角和定理求角（4）已知兩邊和其中一邊對(duì)角（如：）（注意討論解的情況）解法1：若只求第三邊，用余弦定理：；解法2：若不是只求第三邊，先用正弦定理求（可能出現(xiàn)一解，兩解或無解的情況，見題型一）；再根據(jù)內(nèi)角和定理求角；.先看一道例題：例：在中，已知，求角c。（答案：或）六、 在中，已知，則解的情況

3、為：法一：幾何法（不建議使用）（注：表中，為銳角時(shí)，若，無解；為鈍角或直角時(shí)，若，無解.為銳角為鈍角或直角圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解法二：代數(shù)法（建議使用）通過例子說明步驟：大角對(duì)大邊 結(jié)合 正弦定理 一起使用（見題型一）題型總結(jié)：題型一、利用正弦定理解決“兩邊一對(duì)角”的類型模型：在中，已知邊和角,若不是求第三邊c，用正弦定理。例1：在中，已知，求c。（答案：）例2：在中，已知，求c。（答案：或）例3：在中，已知，求a。（答案：無解）例4：（3）在中，已知，求a。（答案：一解）練習(xí)：1。在中，已知解三角形。2在中，已知解三角形。3在中，已知解三角形。題型二、利用正弦定理解決“已知兩角一

4、邊”的類型兩角一邊（兩角一對(duì)邊，兩角一夾邊） 模型1：在中，已知角和邊,解三角形。 模型2：在中，已知角和邊,解三角形。 用正弦定理例題：例題1：在中，已知解三角形。解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得，再根據(jù)正弦定理，得，再根據(jù)余弦定理，得，所以綜上：。例題2：在中，已知解三角形。解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得，再根據(jù)正弦定理，得，再根據(jù)正弦定理，得。綜上，。練習(xí)：1在中，已知解三角形。2在中，已知解三角形。題型三、利用余弦定理解決“已知兩邊一夾角”的類型模型：在中，已知邊和角,解三角形。用余弦定理 例題1：在中，已知解三角形。 解析：根據(jù)余弦定理，得，所以，再根據(jù)余弦定理，得，又因?yàn)?，所以，再

5、根據(jù)內(nèi)角和定理，得。綜上，。練習(xí)：1在中，已知解三角形。題型四、利用余弦定理解決“已知三邊”的類型 模型：已知邊解三角形。根據(jù)余弦定理，分別求得角（或根據(jù)內(nèi)角和定理求得角)。例題1：在中，已知解三角形。 解析：根據(jù)余弦定理，得，又因?yàn)?，所以，再根?jù)余弦定理，得，又,所以,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得。綜上，。練習(xí)：1在中，已知解三角形。題型五、利用余弦定理解決“已知兩邊一對(duì)角”的類型模型：在中，已知邊和角,若只求第三邊c，用余弦定理。模型： 在中，已知邊和角,若不是只求第三邊c，用正弦定理。例題：例題1：在中，已知，求邊b。解析：根據(jù)余弦定理，得，既，解得或（舍去），練習(xí)：在中，已知，求邊a。（

6、答案：）題型六、三角形面積例1在中，求的值和的面積。解：由計(jì)算它的對(duì)偶關(guān)系式的值。 , +得， 得。從而。以下解法略去。練習(xí)1在中,角,對(duì)應(yīng)的邊分別是,.已知.(i)求角的大小;(ii)若的面積,求的值.解:(i)由已知條件得: ,解得,角 (ii),由余弦定理得:, 練習(xí)2. 已知的周長為，且（i）求邊的長；（ii）若的面積為，求角的度數(shù)解：（i）由題意及正弦定理，得，兩式相減，得（ii）由的面積，得，由余弦定理，得，所以練習(xí)3在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長分別是，已知，（）若的面積等于，求；（）若，求的面積解：（）由余弦定理及已知條件得，又因?yàn)榈拿娣e等于，所以，得聯(lián)立方程組解得，（）由題意得，即，當(dāng)

7、時(shí)，當(dāng)時(shí)，得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組解得，所以的面積題型七：看到 “a2 = b2+c2bc”想到余弦定理例1：在abc中，a、b、c分別是a、b、c的對(duì)邊長，已知，且a2c2=acbc，求a的大小及的值。分析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求a，需找a與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理。由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值。解法一：b2=ac。又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。在abc中，由余弦定理得：cosa=，a=60。在abc中，由正弦定理得sinb=，b2=ac，a=60，=sin60=。解法二：在abc中，由面積公式得bcsina=acsinb。b2=ac，

8、a=60，bcsina=b2sinb。=sina=。評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。題型八：利用正、余弦定理判斷三角形形狀邊角互化問題例1. 在中，已知，那么一定是（ ）a直角三角形 b等腰三角形 c等腰直角三角形 d正三角形解法1：由sin(ab)sinacosbcosasinb，即sinacosbcosasinb0，得sin(ab)0，得ab故選(b)解法2：由題意，得cosb，再由余弦定理，得cosb ，即a2b2，得ab，故選(b)評(píng)注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1)，統(tǒng)一化為邊，再判斷(如解法2

9、)例2. 在中，若，試判斷abc的形狀。答案：故abc為等腰三角形或直角三角形。練習(xí)1. 在中，判斷abc的形狀。答案：為等腰三角形或直角三角形。練習(xí)2、在中,，這個(gè)三角形是_三角形。練習(xí)3、題型九：三角形中最值問題例1的三個(gè)內(nèi)角為，求當(dāng)a為何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值。解析：由a+b+c=，得=，所以有cos =sin。cosa+2cos =cosa+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；當(dāng)sin = ，即a=時(shí), cosa+2cos取得最大值為。點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用三角恒等式簡化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。練習(xí). 設(shè)銳角的

10、內(nèi)角的對(duì)邊為，（1） 求b的大小。 （2）求的取值范圍。題型十、邊角互化問題例1、在中，已知2b=a+c，證明：2 sinb= sina+ sinc例2、在中，a、b、c分別是a、b、c的對(duì)邊，試證明：a = b cosc + c cosb例3、已知為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，向量，若，且，則角 例4、在中，已知bc=a，ac=b，且a，b是方程的兩個(gè)根，求：角c的度數(shù) ab的長例5. 已知的周長為，且求邊的長；若的面積為，求角的度數(shù)練習(xí)1設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊長分別為，且， 求邊長； 若的面積，求的周長練習(xí)2. 在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長分別是，已知，（）若的面積等于，求；（）若，求的面積練習(xí)3.在中分別為的對(duì)邊，若，（1）求的大?。唬?）若，求和的值。題型十一：正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用例6（2009遼寧卷文，理）如圖，a,b,c,d都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，b，d為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面a處測得b點(diǎn)和d點(diǎn)的仰角分別為，于水面c處測得b點(diǎn)和d點(diǎn)的仰角均為，ac=0.1km。試探究圖中b，d間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求b，d的距離（計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449） 解:在abc中，dac=30, adc=60dac=30,所以cd=ac=0.1 又bcd