數(shù)學(xué)建模席位分配問題

1、 某校有某校有200200名學(xué)生，甲系名學(xué)生，甲系100100名，乙系名，乙系6060名，丙系名，丙系4040名，若學(xué)生代表會議設(shè)名，若學(xué)生代表會議設(shè)2020個席位，個席位，問三系各有多少個席位？問三系各有多少個席位？按慣例分配席位方案，即按人數(shù)比例分配原則按慣例分配席位方案，即按人數(shù)比例分配原則npqmmp 表示總?cè)藬?shù)表示總?cè)藬?shù)n 表示總席位數(shù)表示總席位數(shù)q1 問題的提出（美國憲法問題的提出（美國憲法 1788）2020個席位的分配結(jié)果個席位的分配結(jié)果現(xiàn)丙系有現(xiàn)丙系有6名學(xué)生分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各名學(xué)生分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各3名。名。10641064現(xiàn)象現(xiàn)象1 1 丙系少了丙系少了6 6人，但席位仍

2、為人，但席位仍為4 4個。個。( (不公平！）不公平?。﹉almiton(1790)先按整數(shù)分配再按余數(shù)較大者分配由于在表決提案時可能出現(xiàn)由于在表決提案時可能出現(xiàn)1010：1010的平局，再設(shè)一的平局，再設(shè)一個席位。個席位。2121個席位的分配結(jié)果（個席位的分配結(jié)果（halmitonhalmiton方法）方法）1173現(xiàn)象現(xiàn)象2 2 總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平！）總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平?。T例分配方法慣例分配方法（halmiton方法）方法） ：按比例分配完取整數(shù)按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。的名額后，剩下的名額按慣例分給小

3、數(shù)部分較大者。存在不公平現(xiàn)象（存在不公平現(xiàn)象（alabama悖論），能否給出更公平悖論），能否給出更公平的分配席位的方案？的分配席位的方案？2 建模分析建模分析目標(biāo)：建立公平的分配方案。目標(biāo)：建立公平的分配方案。反映公平分配的數(shù)量指標(biāo)可用每席位代表的人數(shù)來衡量反映公平分配的數(shù)量指標(biāo)可用每席位代表的人數(shù)來衡量。一般地一般地，1p2p1n2n11np22np當(dāng)當(dāng)2211npnp席位分配公平席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下標(biāo)準(zhǔn)來判斷。下標(biāo)準(zhǔn)來判斷。準(zhǔn)。稱為“絕對不公平”標(biāo) ) 12211npnp此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個好

4、的衡量標(biāo)準(zhǔn)。此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個好的衡量標(biāo)準(zhǔn)。c,d的不公平程度大為改善！的不公平程度大為改善！2 2） 相對不公平相對不公平np表示每個席位代表的人數(shù)，總?cè)藬?shù)一定時，表示每個席位代表的人數(shù)，總?cè)藬?shù)一定時，此值越大，代表的人數(shù)就越多，分配的席位此值越大，代表的人數(shù)就越多，分配的席位就越少。就越少。2211npnp則則a a吃虧吃虧, ,或?qū)驅(qū) a是不公平的。是不公平的。定義定義“相對不公平度相對不公平度”則稱，若 2211npnp11221211( ,)ap npnr n np n對對a a的相對不公平值；的相對不公平值；則稱，若 2211npnp22111222( ,)

5、bpnp nr n npn對對b b的相對不公平值；的相對不公平值；建立了衡量分配不公平程度的數(shù)量指標(biāo)建立了衡量分配不公平程度的數(shù)量指標(biāo)barr ,制定席位分配方案的原則是使它們的盡可能的小。制定席位分配方案的原則是使它們的盡可能的小。3 3 模型構(gòu)成模型構(gòu)成若若a a、b b兩方已占有席位數(shù)為兩方已占有席位數(shù)為,21nn用相對不公平值用相對不公平值討論當(dāng)席位增加討論當(dāng)席位增加1 1個時，個時，應(yīng)該給應(yīng)該給a a還是還是b b方。方。不失一般性不失一般性， 2211，若npnp有下面三種情形。有下面三種情形。情形情形1 1 1 2211，npnp說明即使給說明即使給a a單位增加單位增加1 1

6、席，仍對席，仍對a a 不公平，所增這一席必須給不公平，所增這一席必須給a a單位。單位。情形情形2 2 1 2211，npnp說明當(dāng)對說明當(dāng)對a a不公平時，給不公平時，給a a單單位增加位增加1 1席，對席，對b b又不公平。又不公平。計算對計算對b b的相對不公平值的相對不公平值221112122221(1)(1,)1(1)bpnpnp nr nnpnp n 情形情形3 3 1 2211，npnp說明當(dāng)對說明當(dāng)對a a不公平時，給不公平時，給b b單單位增加位增加1 1席，對席，對a a不公平。不公平。計算對計算對a a的相對不公平值的相對不公平值11222 1121112(1)( ,1

7、)1(1)ap npnp nr n np np n ),1,(), 1(2121nnrnnrab若則這一席位給則這一席位給a a單位，否則給單位，否則給b b單位。單位。121221(1,)1(1)bp nr nnp n 211212( ,1)1(1)ap nr n np n 122 12112(1)(1)p np np np n(*) ) 1() 1(11222212nnpnnp結(jié)論結(jié)論：當(dāng)（當(dāng)（* *）成立時，增加的一個席位應(yīng)分配給）成立時，增加的一個席位應(yīng)分配給a a單位，反之，應(yīng)分配給單位，反之，應(yīng)分配給b b單位。單位。),1,(), 1(2121nnrnnrab記記21 ) 1(2

8、, innpqiiii則增加的一個席位應(yīng)分配給則增加的一個席位應(yīng)分配給qq值較大的一方。值較大的一方。這樣的分配席位的方法稱為這樣的分配席位的方法稱為qq值法值法。若若a a、b b兩方已占有席位數(shù)為兩方已占有席位數(shù)為,21nn4 4 推廣推廣 有有mm方方分配席位的情況分配席位的情況設(shè)設(shè)ia方人數(shù)為方人數(shù)為ip，已占有已占有in個席位，個席位，mi,2, 1當(dāng)總席位增加當(dāng)總席位增加1 1席時，計算席時，計算m, innpqiiii, 21 ) 1(2則則1 1席應(yīng)分給席應(yīng)分給qq值最大的一方。值最大的一方。1in開始，即每方至少應(yīng)得到開始，即每方至少應(yīng)得到1 1席，席，（如果有一方（如果有一

9、方1 1席也分不到，則把它排除在外。）席也分不到，則把它排除在外。）從從5 舉例舉例甲、乙、丙三系各有人數(shù)甲、乙、丙三系各有人數(shù)103103，6363，3434，有，有2121個個席位，如何分配？席位，如何分配？按按q值法：值法：3 , 21 ) 1(2, innpqiiii1, 1, 1321nnn785) 11 ( 134, 5 .9841) 11 ( 163 5304.5,) 11 ( 1103232221qqq785) 11 ( 134, 5 .9841) 11 ( 1632 .7681) 12(2103232221qqq785)11 (1345 .661)12(2632 .7681)12(2103232221qqq785)11 (1345 .661)12(2634 .888)13(3103232221qqq45678910111213141516 1718192021甲：11，乙：6，丙：4dhondt方法方法有有k個單位，每單位的人數(shù)為個單位，每單位的人數(shù)為 pi ，總席位數(shù)為，總席位數(shù)為n。做法：做法：用自然數(shù)用自