等差數(shù)列和等比數(shù)列的解題技巧

1、數(shù)列的解題技巧編稿：林景飛審稿：張揚(yáng)責(zé)編：嚴(yán)春梅【命題趨向】從2007年高考題可見(jiàn)數(shù)列題命題有如下趨勢(shì)：1.等差（比）數(shù)列的基本知識(shí)是必考內(nèi)容，這類問(wèn)題既有選擇題、填空題，也有解答題；難度易、中、難三類皆有.2.數(shù)列中與之間的互化關(guān)系也是高考的一個(gè)熱點(diǎn).3.函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想方法在解決問(wèn)題中常常用到，解答試題時(shí)要注意靈活應(yīng)用.4.解答題的難度有逐年增大的趨勢(shì),還有一些新穎題型,如與導(dǎo)數(shù)和極限相結(jié)合等.因此復(fù)習(xí)中應(yīng)注意：1.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，學(xué)習(xí)時(shí)要善于利用函數(shù)的思想來(lái)解決.如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等.2.運(yùn)用方程的思想解等差（比）數(shù)列，是常見(jiàn)題型，解決此類問(wèn)題需要抓

2、住基本量、（或），掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過(guò)“設(shè)而不求，整體代入”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算.3.分類討論的思想在本章尤為突出.學(xué)習(xí)時(shí)考慮問(wèn)題要全面，如等比數(shù)列求和要注意和兩種情況等等.4.等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中常常運(yùn)用的，數(shù)列也不例外.如與的轉(zhuǎn)化；將一些數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差（比）數(shù)列來(lái)解決等.復(fù)習(xí)時(shí)，要及時(shí)總結(jié)歸納.5.深刻理解等差（比）數(shù)列的定義，能正確使用定義和等差（比）數(shù)列的性質(zhì)是學(xué)好本章的關(guān)鍵.6.解題要善于總結(jié)基本數(shù)學(xué)方法.如觀察法、類比法、錯(cuò)位相減法、待定系數(shù)法、歸納法、數(shù)形結(jié)合法，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，定能達(dá)到事半功倍的效果.7數(shù)列應(yīng)用題將是命題的熱點(diǎn)，這類題關(guān)鍵在于建模及數(shù)列的一

3、些相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用.【考點(diǎn)透視】1理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).2理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解答簡(jiǎn)單的問(wèn)題.3理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.4數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位.高考對(duì)本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏.解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問(wèn)題的能力，試題大多有較好的區(qū)分度.有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識(shí)和

4、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來(lái)，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法.應(yīng)用問(wèn)題考查的重點(diǎn)是現(xiàn)實(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)化，常需構(gòu)造數(shù)列模型，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決.【例題解析】考點(diǎn)一：正確理解和運(yùn)用數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式理解數(shù)列的概念,正確應(yīng)用數(shù)列的定義，能夠根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式.1（2006年廣東卷）在德國(guó)不來(lái)梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若

5、干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個(gè)球；第2，3，4，堆最底層（第一層）分別按圖所示方式固定擺放，從第二層開(kāi)始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則_；_（答案用n表示）. 思路啟迪：從圖中觀察各堆最低層的兵乓球數(shù)分別是1，3,6,10, ，推測(cè)出第n層的球數(shù)。解答過(guò)程：顯然.第n堆最低層（第一層）的乒乓球數(shù)，第n堆的乒乓球數(shù)總數(shù)相當(dāng)于前n堆乒乓球的低層數(shù)之和，即所以： 2（2007年湖南卷理）將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的0-1三角數(shù)表從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是

6、第3行，第次全行的數(shù)都為1的是第_行；第61行中1的個(gè)數(shù)是_第1行 1 1第2行1 0 1第3行 1 1 1 1第4行1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1 思路啟迪：計(jì)算圖形中相應(yīng)1的數(shù)量的特征，然后尋找它們之間的規(guī)律。解：第1次全行的數(shù)都為1的是第=1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第=3行，第3次全行的數(shù)都為1的是第=7行，第次全行的數(shù)都為1的是第行；第61行中1的個(gè)數(shù)是25=32考點(diǎn)二：數(shù)列的遞推關(guān)系式的理解與應(yīng)用在解答給出的遞推關(guān)系式的數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要對(duì)其關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的類型進(jìn)行解題。如疊加法：若且；我們可把各個(gè)關(guān)系式列出來(lái)進(jìn)行疊加求和，可得到數(shù)列的通項(xiàng). ，

7、再看疊乘法：且，可把各個(gè)商列出來(lái)求積。另外可以變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列與等比數(shù)列，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)解決問(wèn)題。3（2007年北京卷理）數(shù)列中，（是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列（I）求的值；（II）求的通項(xiàng)公式思路啟迪：（1）由成公比不為的等比數(shù)列列方程求；（2）可根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后分析每一項(xiàng)與該項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，歸納概括出與n之間的一般規(guī)律，從而作出猜想，寫出滿足前4項(xiàng)的該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.解：（I）， 因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，解得或 當(dāng)時(shí)，不符合題意舍去，故（II）當(dāng)時(shí)，由于， ，所以又，故當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以小結(jié)：從特殊的事例，通過(guò)分析、歸納、抽象總結(jié)出一般規(guī)律

8、，再進(jìn)行科學(xué)地證明，這是創(chuàng)新意識(shí)的具體體現(xiàn)，這種探索問(wèn)題的方法，在解數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題中經(jīng)常用到，應(yīng)引起足夠的重視.4數(shù)列滿足，若，則( )（） （） （） （） 思路啟迪：對(duì)遞推關(guān)系變形，運(yùn)用疊加法求得，特別注意的是對(duì)兩邊同時(shí)運(yùn)用.解答過(guò)程1：，.相疊加得.， .， ，.解答過(guò)程2：由得：，因?yàn)?，所?解答過(guò)程3：由得：從而；.疊加得：.， 從而.小結(jié)：數(shù)列遞推關(guān)系是近幾年高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)，主要是一些能轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列的遞推關(guān)系式。對(duì)連續(xù)兩項(xiàng)遞推，可轉(zhuǎn)化為；對(duì)連續(xù)三項(xiàng)遞推的關(guān)系，如果方程有兩個(gè)根，則上遞推關(guān)系式可化為或.考點(diǎn)三：數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系與應(yīng)用與的關(guān)系：，數(shù)列前n項(xiàng)和和通項(xiàng)是

9、數(shù)列中兩個(gè)重要的量，在運(yùn)用它們的關(guān)系式時(shí)，一定要注意條件，求通項(xiàng)時(shí)一定要驗(yàn)證是否適合。解決含與的式子問(wèn)題時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為只含或者轉(zhuǎn)化為只的式子.5（2006年遼寧卷） 在等比數(shù)列中, ,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于（ ）(A) (B) (C) (D) 命題目的：本題考查了等比數(shù)列的定義和求和公式，著重考查了運(yùn)算能力。過(guò)程指引：因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列，則即，所以，故選擇答案C.6.已知在正項(xiàng)數(shù)列中，表示前n項(xiàng)和，且，求.思路啟迪：轉(zhuǎn)化為只含或者只含的遞推關(guān)系式.解答過(guò)程1：由已知，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，代入已知有，即.，又，故.數(shù)列是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，故.解答過(guò)程2：由已知，

10、得當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所?， ，因?yàn)?，所以，所?考點(diǎn)四：數(shù)列中與n有關(guān)的等式的理解與應(yīng)用對(duì)數(shù)列中的含n的式子，注意可以把式子中的n換為得到另外的式子。也可以把n取自然數(shù)中的具體的數(shù)1，2，3等，得到一些等式歸納證明.7（2006年福建卷）已知數(shù)列滿足()（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足(),證明:是等差數(shù)列;思路啟迪：本小題主要考查數(shù)列基本知識(shí)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考查綜合解題能力。把遞推關(guān)系式變形轉(zhuǎn)化。解答過(guò)程： （I）解： ， 是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。 即（） （II）證法一：， 即 ，得，即 ，得 ， 即 故是等差數(shù)列.考點(diǎn)五：等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)的理解與

11、應(yīng)用在等差、等比數(shù)列中，已知五個(gè)元素或，中的任意三個(gè)，運(yùn)用方程的思想，便可求出其余兩個(gè)，即“知三求二”。本著化多為少的原則，解題時(shí)需抓住首項(xiàng)和公差（或公比）。另外注意等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的運(yùn)用.例如（1）等差數(shù)列中，若，則； 等比數(shù)列中，若，則 . （2）等差數(shù)列的前n項(xiàng)為，則成等差數(shù)列，且公差為； 等比數(shù)列中（）的前n項(xiàng)和為，則成等比數(shù)列，且公比.（3）在等差數(shù)列中，項(xiàng)數(shù)n成等差的項(xiàng)也成等差數(shù)列. （4）在等差數(shù)列中，； .在復(fù)習(xí)時(shí)，要注意深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其等價(jià)形式.注意方程思想、整體思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.8（2006年江西卷）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若

12、，且A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過(guò)原點(diǎn)O），則（ ）A100 B. 101 C.200 D.201命題目的：考查向量性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)與前n項(xiàng)和。過(guò)程指引：依題意，故選A9（2007年安徽卷文、理）某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度，公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為a1，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加 , 因此，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目, ， 是一個(gè)公差為 的等差數(shù)列. 與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政府，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利. 這就是說(shuō)，如果固定年利率為（）,那么, 在第年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變成，. 以表示到第年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額.（）寫出與（）

13、的遞推關(guān)系式；（）求證，其中是一個(gè)等比數(shù)列，是一個(gè)等差數(shù)列.命題目的：本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念和基本方法，考查學(xué)生閱讀資料、提取信息、建立數(shù)字模型的能力，考查應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.解：（I）我們有（II），對(duì)反復(fù)使用上述關(guān)系式，得 = 在式兩端同乘1+r，得 ，得 即記，則，其中是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為；是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為.點(diǎn)評(píng)：解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問(wèn)的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過(guò)程中適時(shí)應(yīng)用考點(diǎn)六：等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的理解與應(yīng)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要深刻理解。等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)；等

14、比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（），因此可以改寫為是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.10（2007年廣東卷理）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和,第k項(xiàng)滿足,則k=（）A9 B8 C7 D6思路啟迪：本小題主要考查數(shù)列通項(xiàng)和等差數(shù)列等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力解：此數(shù)列為等差數(shù)列，由52k-108得到k=811（2007年湖北卷文）已知數(shù)列和滿足:且是以q為公比的等比數(shù)列. （）證明：； （）若證明數(shù)列是等比數(shù)列； （）求和：.命題目的：本小題主要考查等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式和求和公式等基本知識(shí)及基本的運(yùn)算技能，考查分析問(wèn)題能力和推理能力解法1：（I）證：由，有，（II）證：，是首項(xiàng)為5，以為公比的

15、等比數(shù)列（III）由（II）得，于是當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故解法2：（I）同解法1（I）（II）證：，又，是首項(xiàng)為5，以為公比的等比數(shù)列（III）由（II）的類似方法得， ， ， 下同解法1考點(diǎn)七：數(shù)列與函數(shù)的迭代問(wèn)題由函數(shù)迭代的數(shù)列問(wèn)題是近幾年高考綜合解答題的熱點(diǎn)題目，此類問(wèn)題將函數(shù)與數(shù)列知識(shí)綜合起來(lái)，考察函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)問(wèn)題的研究方法在數(shù)列中的應(yīng)用，涉及的知識(shí)點(diǎn)由函數(shù)性質(zhì)、不等式、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、解析幾何的曲線等，另外函數(shù)迭代又有極為深刻的理論背景和實(shí)際背景，它與當(dāng)前國(guó)際數(shù)學(xué)主流之一的動(dòng)力系統(tǒng)（拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)、微分動(dòng)力系統(tǒng)）密切相關(guān)，數(shù)學(xué)家們極為推崇，函數(shù)迭代一直出現(xiàn)在各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中，近幾年又頻頻出

16、現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)試題中.12（2006年山東卷）已知數(shù)列中，點(diǎn)在直線y=x上， 其中n=1,2,3.()令，求證是等比數(shù)列；()求數(shù)列的通項(xiàng)；(III)設(shè)、分別為數(shù)列、的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出.若不存在,則說(shuō)明理由.思路啟迪：利用等比的定義證明是等比數(shù)列；對(duì)可由已知用疊加法求出求。求出與便可順利求出第三問(wèn).解答過(guò)程：（I）由已知得 又， 是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.（II）由（I）知， ，將以上各式相加得： （III）解法一： 存在，使數(shù)列是等差數(shù)列. 數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是 （、是常數(shù) 即 又. 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列.解法二：存在，使數(shù)列是等

17、差數(shù)列.由（I）、（II）知，.又.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列.13（2007年陜西卷理） 已知各項(xiàng)全不為零的數(shù)列的前k項(xiàng)和為，且（），其中 （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）對(duì)任意給定的正整數(shù) ，數(shù)列滿足. 求.思路啟迪：注意利用解決問(wèn)題解：（）當(dāng)，由及，得當(dāng)時(shí)，由，得因?yàn)?，所以從而，故（）因?yàn)椋运怨士键c(diǎn)八：數(shù)列綜合應(yīng)用與創(chuàng)新問(wèn)題數(shù)列與其它數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，全面考察數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和運(yùn)用的情況，以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和思維的靈活性、深刻性、技巧性等，涉及的數(shù)學(xué)思想方法又從一般到特殊和從特殊到一般的思想、函數(shù)與方程的思想、探索性思想等。14（2006年湖南卷）在（）個(gè)不同數(shù)的排列中，若時(shí)（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱與構(gòu)成一個(gè)逆序. 一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù). 記排列的逆序數(shù)為，如排列21的逆序數(shù)，排列321的逆序數(shù).則=_，=_，的表達(dá)式為_(kāi)；命題目的：考查排列、數(shù)列知識(shí).過(guò)程導(dǎo)引：由已知得，.15設(shè)是定義在上的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù).已知對(duì)于任意正數(shù)， 都有，且.（）求，并求的值；（）令，證明數(shù)列是等差數(shù)列；（）設(shè)是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率（），數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.思路啟迪：根據(jù)已知條件求出函數(shù)的關(guān)系式，求出的遞推關(guān)系式然后可求解題中要求解答過(guò)程：（）取，；再取，則，即，是定義在上的單調(diào)函數(shù)，解