排列組合與概率初步

1、a111級(jí)15班 雷寅排列組合與概率初步排列組合與概率初步 a2引入：兩個(gè)根本原理a3分類計(jì)數(shù)原理亦稱加法原理 做一件事，完成它可以有 n 類方案，在第 一類方案中有 m1 種不同的方法，在第二類方案中有 m2 種不同的方法， ， 在 第n 類方法中有 mn 種不同的方法 那么 完成這件事共有 Nm1 十 m2 十 十 mn 種不同的方法 a4A地B地飛機(jī)有a班次火車有b班次汽車有c班次那么從那么從A A地到地到B B地的方法有地的方法有a+b+ca+b+c種種a5分步計(jì)數(shù)原理亦稱乘法原理 做一件事， 需要分成 n 個(gè)步驟， 做第一 步有 m1 1 種不同的方法， 做第二步有 m2 2 種不同

2、的方法， ， 做第 n 步有 mn n 種 不同的方法，那么完成這件事共有：Nm1 1m2 2mn n 種不同的方法a6那么從那么從A A地到地到B B地的方法有地的方法有a ab b種種從從A A地到地到B B地須經(jīng)由地須經(jīng)由C C地轉(zhuǎn)車地轉(zhuǎn)車A地B地C地火車有a班次汽車有b班次a7有何區(qū)別？( o?)a8 備選方案中選哪一種方案都行，方案中的每一種方法 都能實(shí)現(xiàn)目的A地B地飛機(jī)有a班次火車有b班次汽車有c班次a9 任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，那么對(duì)應(yīng)的完成此事的方法也不同A地B地C地火車有a班次

3、汽車有b班次a10Example 書(shū)架上層放有書(shū)架上層放有 6 6 本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，下層放本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，下層放 有有 5 5 本不同的語(yǔ)文書(shū)本不同的語(yǔ)文書(shū) 1 1從中任取一本，取法種數(shù)有從中任取一本，取法種數(shù)有 A.5 B.6 C.10 D.11 A.5 B.6 C.10 D.11 2 2從中任取數(shù)學(xué)書(shū)與語(yǔ)文書(shū)各一從中任取數(shù)學(xué)書(shū)與語(yǔ)文書(shū)各一本，有多少的取法？本，有多少的取法？ A.5 B.6 C.10 D. 30 A.5 B.6 C.10 D. 30a11排列組合a12排列 所謂排列，就是指從給定個(gè)數(shù)的元素中取出指定個(gè)數(shù)的元素進(jìn)行排序 從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素 按照一定的順序排

4、成一列，叫做從n個(gè)不 同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列a13排列數(shù) 從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排 列數(shù)，用符號(hào) A(n,m)表示。 A(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)! 此外規(guī)定0!=1a14Example 有0,1,2,，8這9個(gè)數(shù)字用這9 個(gè)數(shù)字組 成4位位數(shù)互不相同的密碼，共有多少個(gè)不同的密碼？ A(9，4)=9!/5!a15Example 有0,1,2,，8這9個(gè)數(shù)字用這9 個(gè)數(shù)字組 成位數(shù)互不相同的四位數(shù)，共有多少個(gè)不同的密碼？ 8A(8，3)A(9，4)-A(8，3)a16組合組合那么是指

5、從給定個(gè)數(shù)的元素中僅僅取出指定個(gè)數(shù)的元素，不考慮排序從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元 素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一個(gè)組合a17組合數(shù) 從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)。用符號(hào) C(n,m) 表示。 C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(n-m)!m!) C(n,m)=C(n,n-m)a18Example 從4名男生中和3名女生中選出男女各2人參加某個(gè)座談會(huì)，那么不同的選法有多少種？ C(4，2)C(3，2)a19二項(xiàng)式定理a+b)n=Cn，0anb0+Cn，1a(n-1b1+Cn，na0bna20二項(xiàng)式

6、定理a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式共有n+1項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù)Cn，r(r0，1，2，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)。a21二項(xiàng)式定理二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式簡(jiǎn)稱通項(xiàng)為Cn，r(a)(n-r)br，用Tr+1表示其中“r+1為角標(biāo)，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)a22二項(xiàng)式定理與楊輝三角楊輝三角的第n行就是n項(xiàng)二項(xiàng)式 展開(kāi)式的系數(shù)列a23Example (x+2)10(x2-1)的展開(kāi)式中x10的系數(shù)為 22C(10,2)-1=179a24排列組合綜合例題排列組合綜合例題 打包法 插空法 反面法a25打包法打包法 在解決某幾個(gè)元素要求相鄰問(wèn)題時(shí)，可在解決某幾個(gè)元素要求相鄰問(wèn)題時(shí)，可整體考慮將相鄰元素視為一個(gè)大元素整體考慮

7、將相鄰元素視為一個(gè)大元素a26Example 有有8 8個(gè)不同的球，其中紅球個(gè)不同的球，其中紅球3 3個(gè)，黑球個(gè)，黑球2 2個(gè)，個(gè)， 白球白球3 3個(gè)，假設(shè)將這些球排成一列，個(gè)，假設(shè)將這些球排成一列，那么紅球恰好排在一起，黑球也恰好排在那么紅球恰好排在一起，黑球也恰好排在一起的一起的 排法共有多少種？排法共有多少種？ A(3,3)A(2,2)A(5,5)a27Example 假設(shè)有假設(shè)有A,B,C,D,EA,B,C,D,E五個(gè)人排成一排照相，五個(gè)人排成一排照相，A A和和B B不不 能相鄰，那么不同的排法有多少種？能相鄰，那么不同的排法有多少種？C(3,1)A(2,2)A(3,3)+A(3,2

8、)A(2,2)A(2,2)+A(3,3)A(2,2)a28插空法插空法 插空法一般用于解決間隔問(wèn)題要求某插空法一般用于解決間隔問(wèn)題要求某 些元素不能相鄰，由其他元素將其隔開(kāi)的些元素不能相鄰，由其他元素將其隔開(kāi)的 問(wèn)題，解決此類問(wèn)題，可以先將其他的問(wèn)題，解決此類問(wèn)題，可以先將其他的 元素排號(hào)，再將指定的不相鄰元素插入元素排號(hào)，再將指定的不相鄰元素插入 他們的空隙及兩端位置他們的空隙及兩端位置a29Example 假設(shè)有假設(shè)有A,B,C,D,EA,B,C,D,E五個(gè)人排成一排照相，五個(gè)人排成一排照相，A A和和B B不不 能相鄰，那么不同的排法有多少種？能相鄰，那么不同的排法有多少種？A(3,3)

9、A(4,2)a30反面法反面法 含含“至多、至多、“至少的排列組合問(wèn)題是至少的排列組合問(wèn)題是需需 要分類的，有時(shí)從反面思考，能夠簡(jiǎn)化運(yùn)要分類的，有時(shí)從反面思考，能夠簡(jiǎn)化運(yùn) 算算a31Example 在一批共在一批共100100件產(chǎn)品中，有件產(chǎn)品中，有3 3件次品，件次品，9797件件 正品，某次質(zhì)檢過(guò)程中須從這批產(chǎn)正品，某次質(zhì)檢過(guò)程中須從這批產(chǎn)品中抽檢品中抽檢3 3件，那么抽到次品的抽法有多少件，那么抽到次品的抽法有多少種？種？C(100,3)-A(97,3)a32組合中的分組問(wèn)題組合中的分組問(wèn)題 非平均分組與分配 平均分組與分配 局部平均分組與分配a33非平均分組與分配非平均分組與分配 某高

10、中在一次舉行校園舞蹈大賽活動(dòng)中邀某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動(dòng)中邀請(qǐng)了請(qǐng)了9位評(píng)委老師位評(píng)委老師 (1)假設(shè)將假設(shè)將9位評(píng)委老師分成三組進(jìn)行打分，位評(píng)委老師分成三組進(jìn)行打分，使一組使一組2人、一組人、一組3人、一組人、一組4人的不同分法人的不同分法共有多少種？共有多少種？C(9,2)C(7,3)C(4,4)a34非平均分組與分配非平均分組與分配 某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動(dòng)中邀某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動(dòng)中邀請(qǐng)了請(qǐng)了9位評(píng)委老師位評(píng)委老師 (2)假設(shè)將假設(shè)將9位評(píng)委老師分到賽場(chǎng)周圍的東、位評(píng)委老師分到賽場(chǎng)周圍的東、南、西三個(gè)位置進(jìn)行打分，使一處南、西三個(gè)位置進(jìn)行打分，使一處2人，一人

11、，一處處3人，一處人，一處4人的不同分法有多少種？人的不同分法有多少種？C(9,2)C(7,3)C(4,4)A(3,3)a35非平均分組與分配非平均分組與分配 某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動(dòng)中邀某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動(dòng)中邀請(qǐng)了請(qǐng)了9位評(píng)委老師位評(píng)委老師 (3)假設(shè)將假設(shè)將9位評(píng)委老師分到賽場(chǎng)周圍的東、位評(píng)委老師分到賽場(chǎng)周圍的東、南、西三個(gè)位置進(jìn)行打分，使東邊南、西三個(gè)位置進(jìn)行打分，使東邊2人，南人，南邊邊3人，西邊人，西邊4人的不同分法有多少種？人的不同分法有多少種？C(9,2)C(7,3)C(4,4)a36非平均分組與分配非平均分組與分配總結(jié)：假設(shè)總結(jié)：假設(shè)n個(gè)元素分成個(gè)元素分成m

12、組，組，m1,m2,.,mm為各組的元素個(gè)數(shù)且各不相為各組的元素個(gè)數(shù)且各不相等，那么非平均非組的方法種數(shù)等，那么非平均非組的方法種數(shù)N=C(n,m1)C(n-m1,m2)C(n-m1-m2,m3).C(mm,mm);不定向分不定向分配的分法種數(shù)配的分法種數(shù)M=NA(m,m);定向的非平定向的非平均分配問(wèn)題與非平均分組一樣均分配問(wèn)題與非平均分組一樣a37平均分組與分配平均分組與分配 某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動(dòng)中某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動(dòng)中 邀請(qǐng)了邀請(qǐng)了9位評(píng)委老師位評(píng)委老師 (1)假設(shè)將假設(shè)將9位評(píng)委老師平均分成三組打分，位評(píng)委老師平均分成三組打分，那么那么 不同分法有多少種？不同分

13、法有多少種？C(9,3)C(6,3)C(3,3)/A(3,3)a38平均分組與分配平均分組與分配 某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動(dòng)中某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動(dòng)中 邀請(qǐng)了邀請(qǐng)了9位評(píng)委老師位評(píng)委老師 (2)假設(shè)將假設(shè)將9位評(píng)委老師平均分成三組，并分位評(píng)委老師平均分成三組，并分到到 東、西、南三個(gè)位置打分，那么不同分法東、西、南三個(gè)位置打分，那么不同分法 有多少種？有多少種？C(9,3)C(6,3)C(3,3)a39平均分組與分配平均分組與分配總結(jié)：總結(jié)：(1)問(wèn)由于平均分組在分步取的過(guò)程中問(wèn)由于平均分組在分步取的過(guò)程中隱含了排列問(wèn)題，而實(shí)際中不含排列問(wèn)題，隱含了排列問(wèn)題，而實(shí)際中不含排列問(wèn)

14、題，故要除以組數(shù)的全排列數(shù)，而第二問(wèn)那么故要除以組數(shù)的全排列數(shù)，而第二問(wèn)那么直接得出了答案。也可以理解為直接得出了答案。也可以理解為(2)問(wèn)問(wèn)的答案為的答案為(1)問(wèn)的答案乘以組數(shù)的全排列數(shù)問(wèn)的答案乘以組數(shù)的全排列數(shù)a40局部平均分組與分配局部平均分組與分配 某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動(dòng)中某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動(dòng)中 邀請(qǐng)了邀請(qǐng)了9位評(píng)委老師位評(píng)委老師 (1)假設(shè)將假設(shè)將9位評(píng)委老師平均分成四組打分，位評(píng)委老師平均分成四組打分，一一 組組3人，其余每組人，其余每組2人，那么不同分法有多人，那么不同分法有多 少種？少種？C(9,3)C(6,2)C(4,2)C(2,2)/A(3,3)a4

15、1局部平均分組與分配局部平均分組與分配 某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動(dòng)中某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動(dòng)中 邀請(qǐng)了邀請(qǐng)了9位評(píng)委老師位評(píng)委老師 (2)假設(shè)將假設(shè)將9位評(píng)委老師分到東、南、西、北位評(píng)委老師分到東、南、西、北四四 處打分，一處處打分，一處3人，其余每處人，其余每處2人，那么不人，那么不 同分法有多少種？同分法有多少種？ C(9,3)C(6,2)C(4,2)C(2,2)/A(3,3)A(4,4)a42局部平均分組與分配局部平均分組與分配 某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動(dòng)中某高中在一次舉行校園舞蹈大賽活動(dòng)中 邀請(qǐng)了邀請(qǐng)了9位評(píng)委老師位評(píng)委老師 (3)假設(shè)將假設(shè)將9位評(píng)委老師分到四處打

16、分，使東位評(píng)委老師分到四處打分，使東 邊邊3人，其余每處人，其余每處2人，那么不同分法有多人，那么不同分法有多 少種？少種？ C(9,3)C(6,2)C(4,2)C(2,2)a43局部平均分組與分配局部平均分組與分配總結(jié)：局部平均分組問(wèn)題先按總結(jié)：局部平均分組問(wèn)題先按“非平均分組非平均分組列式后再除以等分組的階乘；局部均勻列式后再除以等分組的階乘；局部均勻分配問(wèn)題可以遵循先分組后排列的原那么分配問(wèn)題可以遵循先分組后排列的原那么a44概率a45相互獨(dú)立事件事件事件A A是否發(fā)生對(duì)事件是否發(fā)生對(duì)事件B B發(fā)生的概率沒(méi)有影發(fā)生的概率沒(méi)有影響，那么稱兩個(gè)事件響，那么稱兩個(gè)事件A A、B B相互獨(dú)立相互

17、獨(dú)立a46二項(xiàng)分布用用表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果如果事件發(fā)生的概率是如果事件發(fā)生的概率是P,P,那么不發(fā)生的那么不發(fā)生的概概 率率q=1-pq=1-p，N N次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中發(fā)生次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中發(fā)生K K次的概次的概率是率是P(=K)= C(n,k) P(=K)= C(n,k) pk pk (1-p)(n- (1-p)(n-k)k)a47Example 隨機(jī)拋擲隨機(jī)拋擲100100次硬幣，恰有次硬幣，恰有5050次正面朝上次正面朝上的概率是多少？的概率是多少？C(100，50)(1/2)50(1-1/2)50a48幾何分布幾何分布幾何分布Geometric distributionGeometric distribution是離是離散型散型概率分布。其中一種定義為：