2021屆高考數(shù)學一輪復習第八章平面解析幾何第八節(jié)第2課時定點定值探究性問題課時規(guī)范練文含解析北師大版

1、第八章第八章平面解析幾何平面解析幾何第八節(jié)直線與圓錐曲線的綜合問題第二課時定點、定值、探究性問題課時規(guī)范練1已知拋物線 c：x22py(p0)，圓 o：x2y21.(1)若拋物線 c 的焦點 f 在圓 o 上，且 a 為拋物線 c 和圓 o 的一個交點，求|af|；(2)若直線 l 與拋物線 c 和圓 o 分別相切于點 m，n，求|mn|的最小值及相應 p 的值解析：(1)由題意得 f(0，1)，從而拋物線 c：x24y.解方程組x24y，x2y21得 y2 5.不妨設 ya 52，|af| 51.(2)設 m(x0，y0)(y00)，則切線 l：yx0p(xx0)y0，結(jié)合 x202py0，

2、整理得 x0 xpypy00.由 onl 且|on|1 得|py0|x20p21，即|py0| x20p2 2py0p2，p2y0y201且 y2010.|mn|2|om|21x20y2012py0y2014y20y201y20144y201(y201)8，當且僅當 y0 3時等號成立|mn|的最小值為 2 2，此時 p 3.2.已知橢圓 c 的方程為x24y221，a 是橢圓上的一點，且 a 在第一象限內(nèi)，過 a 且斜率等于1 的直線與橢圓 c 交于另一點 b，點 a 關(guān)于原點的對稱點為 d.(1)證明：直線 bd 的斜率為定值；(2)求abd 面積的最大值解析： (1)證明： 設 d(x1

3、， y1)， b(x2， y2)， 則 a(x1， y1)， 直線 bd 的斜率 ky2y1x2x1， 由x214y2121，x224y2221，兩式相減得y2y1x2x112x1x2y1y2，kaby1y2x1x21，ky2y1x2x112，故直線 bd 的斜率為定值12.(2)連接 ob(圖略)，a，d 關(guān)于原點對稱，sabd2sobd，由(1)可知 bd 的斜率 k12，設 bd 的方程為 y12xt，d 在第三象限， 2t1 且 t0，o 到 bd 的距離 d|t|1142|t|5，由y12xtx24y221，整理得 3x24tx4t280，x1x24t3，x1x24（t22）3，sa

4、bd2sobd212|bd|d52（x1x2）24x1x22|t|5|t| （x1x2）24x1x2|t|9632t234 23 t2（3t2）2 2.當且僅當 t62時，sabd取得最大值 2 2.3. (2020承德模擬)如圖所示，橢圓 e：x2a2y2b21(ab0)的離心率是22，點 p(0，1)在短軸cd 上，且pcpd1.(1)求橢圓 e 的方程；(2)設 o 為坐標原點，過點 p 的動直線與橢圓交于 a，b 兩點是否存在常數(shù)，使得oaobpapb為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由解析：(1)由已知，點 c，d 的坐標分別為(0，b)，(0，b)又點 p 的坐標為(0，1

5、)，且pcpd1，于是1b21，ca22，a2b2c2，解得 a2，b 2.所以橢圓 e 的方程為x24y221.(2)當直線 ab 的斜率存在時，設直線 ab 的方程為 ykx1，點 a，b 的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)聯(lián)立x24y221，ykx1，得(2k21)x24kx20.其判別式(4k)28(2k21)0，所以 x1x24k2k21，x1x222k21.從而，oaobpapbx1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)1（24）k2（21）2k2112k212.所以，當1 時，12k2123.此時，oaobpapb3 為定值當直線

6、ab 斜率不存在時， 直線 ab 即為直線 cd.當1 時， oaobpapbocodpcpd213.故存在常數(shù)1，使得oaobpapb為定值3.4已知拋物線 c：y22px(p0)的焦點為 f，a 為 c 上位于第一象限的任意一點，過點 a 的直線 l 交 c 于另一點 b，交 x 軸的正半軸于點 d.(1)若當點 a 的橫坐標為 3，且adf 為以 f 為頂點的等腰三角形，求 c 的方程；(2)對于(1)中求出的拋物線 c，若點 d(x0，0)x012 ，記點 b 關(guān)于 x 軸的對稱點為 e，ae 交 x軸于點 p，且 apbp，求證：點 p 的坐標為(x0，0)，并求點 p 到直線 ab

7、 的距離 d 的取值范圍解析：(1)由題知 fp2，0，|fa|3p2，則 d(3p，0)，fd 的中點坐標為323p4，0，則323p43，解得 p2，故 c 的方程為 y24x.(2)證明：依題可設直線 ab 的方程為 xmyx0(m0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 e(x2，y2)，由y24x，xmyx0消去 x，得 y24my4x00，因為 x012.所以16m216x00，y1y24m，y1y24x0，設 p 的坐標為(xp，0)，則pe(x2xp，y2)，pa(x1xp，y1)，由題知pepa，所以(x2xp)y1y2(x1xp)0，即 x2y1y2x1(y1y2)xp

8、y22y1y21y24y1y2（y1y2）4，顯然 y1y24m0，所以 xpy1y24x0，即證 p(x0，0)，由題知epb 為等腰直角三角形，所以 kap1，即y1y2x1x21，也即y1y214（y21y22）1，所以 y1y24，所以(y1y2)24y1y216.即 16m216x016，m21x0，x01，又因為 x012，所以12x01，d|x0 x0|1m22x01m22x02x0，令 2x0t1，62 ，x02t2，d2（2t2）t4t2t，易知 f(t)4t2t 在1，62 上是減函數(shù)，所以 d63，2.5.如圖所示，已知 f( 3，0)為橢圓 c：x2a2y2b21(ab

9、0)的右焦點，b1，b2，a 為橢圓的下、上、右三個頂點，b2of 與b2oa 的面積之比為32.(1)求橢圓 c 的標準方程；(2)試探究在橢圓 c 上是否存在不同于點 b1，b2的一點 p 滿足下列條件：點 p 在 y 軸上的投影為 q，pq 的中點為 m，直線 b2m 交直線 yb0 于點 n，b1n 的中點為 r，且mor 的面積為3 510.若不存在，請說明理由；若存在，求出點 p 的坐標解析：(1)由已知得sb2ofsb2oa12bc12abca32.又 c 3，所以 a2，所以 b2a2c21，所以橢圓 c 的標準方程為x24y21.(2)假設存在滿足條件的點 p，設其坐標為 p(x0，y0)(x00)，則 q(0，y0)，且 mx02，y0.又 b2(0，1)，所以直線 b2m 的方程為 y2（y01）x0 x1.因為 x00，所以 y01，令 y1，得 nx01y0，1.又 b1(0，1)，則 rx02（1y0），1，所以|mr|x02x02（1y0）2（y01）21y01y0.直線